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4.2 图形的全等
第四章 三角形
4.2 图形的全等
一、 教学目标
1.通过实例理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等.
2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
3.经历全等三角形性质的探究过程，加深学生对基本几何图形特征的理解.
4.经历观察、猜想、验证等过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的直观想象能力.
二、 教学重难点
重点：通过实例理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等.
难点：掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【观察】 教师活动：教师出示图片，学生观察并思考回答. 问题：下面各组图形有什么共同特点呢？ 预设：每组图形都是完全一样的. 提问：把每组图形叠在一起，你发现了 什么？ 教师活动：让学生先说一说，然后教师动画演示，验证他们的说法. 预设：每组图形它们能够完全重合. 观察思考 积极回答 通过观察生活中的图片，发现其共同特点，为引出全等图形做准备.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：通过观察生活中的图片，引出全等图形的概念，接着探索全等图形的性质，再将图形特殊化，引出全等三角形的相关概念，最后探究全等三角形的性质. 问题：你能分别从图中找出完全一样的图 形吗？ 概念：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【议一议】 你能说出生活中全等图形的例子吗？ 预设：学生自由说一说，合理即可.下面仅供参考： 观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流. 预设：第一组是形状相同，大小不同； 第二组是大小相等，形状不同； 第三组是大小和形状都相同. (3)如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？ 预设：全等图形的形状和大小都相同. 【归纳】 能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形. 互相重合的顶点叫对应顶点. 如顶点A，D重合，它们是对应顶点. 互相重合的边叫对应边. 如边AB，DE重合，它们是对应边. 互相重合的角叫对应角. 如∠A、∠D重合，它们是对应角. △ABC与△DEF全等， 记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC全等于△DEF 注意：通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. 【想一想】 (1)在图中，△ABC≌△DEF. 对应边有什么关系 性质：全等三角形的对应边相等. 如图：AB=DE，BC=EF，AC=DF. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF. (2)在图中，△ABC≌△DEF. 对应角有什么关系 性质：全等三角形的对应角相等. 如图：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， ∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 【议一议】 (1)全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？还有哪些相等的线段？举例说明. (2)如图，已知△ABC≌△A'B'C'，你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段？ 预设答案： (1)全等三角形对应边上的高，对应边上的中线相等． 全等三角形的对应线段都相等，如：对应角 的平分线也相等． (2)在△A'B'C'中画出与点D，E相对应的点D' ，E' ，然后连接D'E'. 【做一做】 下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？ 预设答案： 学生思考并回答 说一说 观察思考 自由回答 熟悉全等三角形的相关概念 观察思考 通过观察，让学生对图形全等有个感性的认识，为得到全等图形的概念作铺垫. 鼓励学生善于观察生活，发现生活中存在大量的全等图形，体会数学与实际生活的联系. 让学生经历观察对比的过程，从中感受全等图形的特征. 前面对全等图形有了一定的认识，现将全等图形特殊成全等三角形，学生就很自然的能理解全等三角形的概念. 通过想一想，探究出全等三角形的性质，培养学生的观察意识. 通过议一议加深对全等三角形对应边相等的理解. 通过做一做进一步加深对全等三角形的理解，培养学生利用所学知识解决问题的能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答. 然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 如图，△ABC ≌△BAD，说出它们的对应边和对应角. 分析：根据全等三角形的对应边和对应角的概念，直接找出对应的边和对应的角即可. 解：AC与BD，BC与AD，AB与BA是对应边，∠ABC与∠BAD，∠BAC与∠ABD，∠C与∠D是对应角. 明确例题的做法 通过例题的探究，加深学生对全等三角形的性质的理解，同时提高应用意识.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.如图：△AOD≌△BOC，写出其中相等的角. 解：根据全等三角形的性质，因为 △AOD≌△BOC，所以∠A=∠B，∠D=∠C， ∠AOD=∠BOC. 2.如图：△ABC≌△AEC，∠B=30°， ∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数. 解：由∠B=30°，∠ACB=85°， 所以∠BAC=180°30°85°=65°. 因为△ABC≌△AEC， 所以∠E=∠B=30°，∠EAC=∠BAC=65°， ∠ACE=∠ACB=85°. 3.已知△ ABC≌ △A′B′C′，∠C=25°，BC=6 cm，AC=4 cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度 解：因为△ABC≌△A′B′C′， 所以∠C′=∠C=25°，B′C′=BC=6 cm，A′C′=AC=4 cm． 4.沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形. 解：下面4种任选两种： 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书 第95页 习题4.5 第1、2、3题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
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4.2 图形的全等
配套北师大版
学习目标
准备好了吗？一起去探索吧！
图形的全等
1.通过实例理解图形全等的概念和特征，并能识别图形的全等.
2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
3.经历全等三角形性质的探究过程，加深学生对基本几何图形特征的理解.
4.经历观察、猜想、验证等过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的直观想象能力.
重点
难点
观察
下面各组图形有什么共同特点呢？
每组图形都是完全一样的.
把每组图形叠在一起，你发现了什么？
每组图形它们能够完全重合.
思考
探究
你能分别从图中找出完全一样的图形吗？
能够完全重合的两个图形称为全等图形.
议一议
(1)你能说出生活中全等图形的例子吗？
(2)观察下面三组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
议一议
形状相同，大小不同.
大小相同，形状不同.
形状相同，大小相同.
不是全等图形
不是全等图形
是全等图形
(3)如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同吗？
议一议
全等图形的形状和大小都相同.
不是全等图形
不是全等图形
是全等图形
归纳
A
B
C
E
D
F
能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.
互相重合的顶点叫对应顶点.
如顶点A，D重合，它们是对应顶点.
△ABC与△DEF全等，
记作:△ABC ≌△DEF. 读作 :△ABC全等于△DEF.
注意：通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
互相重合的边叫对应边.
如边AB，DE重合，它们是对应边.
互相重合的角叫对应角.
如∠A、∠D重合，它们是对应角.
A
B
C
D
E
F
AB=DE
BC=EF
AC=DF
全等三角形的对应边相等.
∵ △ABC≌△DEF，
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF.
性质
几何语言
想一想
在图中，△ABC≌△DEF.对应边有什么关系
A
B
C
D
E
F
∠A=∠D
∠B=∠E
∠C=∠F
全等三角形的对应角相等.
∵ △ABC≌△DEF，
∴ ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
性质
几何语言
在图中，△ABC≌△DEF.对应角有什么关系
想一想
议一议
(1)全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？还有哪些相等的线段？举例说明.
AD=A′D′
AE=A′E′
全等三角形对应边上的高，对应边上的中线相等．
全等三角形的对应线段都相等，如：对应角的平分线也相等．
议一议
(2)如图，已知△ABC≌△A'B'C'，你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段？
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
D'
E'
在△A'B'C'中画出与点D，E相对应的点D' ，E' ，然后连接D'E'.
做一做
下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？三个呢？四个呢？
典型例题
例 如图，△ABC ≌△BAD，说出它们的对应边和对应角.
分析：根据全等三角形的对应边和对应角的概念，直接找出对应的边和对应的角即可.
解：AC与BD，BC与AD，AB与BA是对应边.
∠ABC与∠BAD，∠BAC与∠ABD，∠C与∠D是对应角.
随堂练习
1.如图：△AOD≌△BOC，写出其中相等的角.
抢答
因为△AOD≌△BOC，
解：根据全等三角形的性质，
所以∠A=∠B，∠D=∠C，
∠AOD=∠BOC.
随堂练习
2.如图：△ABC≌△AEC， ∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数.
抢答
因为△ABC≌△AEC ，
解：由 ∠B=30°， ∠ACB=85°，
所以∠E=∠B=30°，∠EAC=∠BAC=65°，
∠ACE=∠ACB=85°.
所以∠BAC=180°- 30°- 85°=65°.
A
B
C
E
随堂练习
3.已知△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6 cm，AC=4 cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度
抢答
解：因为△ABC≌△A′B′C′，
所以∠C′=∠C=25°，
B′C′=BC=6 cm，
A′C′=AC=4 cm．
随堂练习
4.沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形.
抢答
解：下面4种任选两种：
图形的
全等
定义：
全等三角形的表示方法：
全等三角形的性质：
能够完全重合的两个图形称为全等图形.
能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
△ABC ≌△DEF
全等的符号为“≌”.
教科书 第95页
习题4.5
第1、2、3题
再见

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