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专题09 反比例函数
【考情预测】
反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，预计2023年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点。
【考点梳理】
1、反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
2、反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
3、反比例函数解析式的确定
1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
4、反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
5、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
6、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
【重难点突破】
考点1. 反比例函数的定义
【解题技巧】
1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
【典例精析】
例1．（2022·江苏常州·中考真题）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解．
【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系．
例2．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·海南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
变式2．（2021·湖北宜昌市·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
变式3．（2023·辽宁·三模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】解：A、不符合反比例函数的一般形式y=，（k≠0）的形式，故该选项不符合题意；
B、是一次函数，故该选项不符合题意；C、符合反比例函数的一般形式y=，（k≠0）的形式，故该选项符合题意；D、是正比例函数，故该选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=（k≠0）是解题的关键．
考点2. 反比例函数的图象和性质
【解题技巧】
当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
【典例精析】
例1．（2022·广西贺州·中考真题）己知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．
选：A
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
例2．（2022·湖北武汉·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，∴．
∵，∴．故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
例3．（2022·四川成都·中考真题）关于x的反比例函数的图像位于第二、四象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解．
【详解】根据题意得：m-2＜0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
【变式训练】
变式1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0，∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵，∴这两个点在同一象限，∴，解得：，故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
变式2．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；，解得；，解得；
∵-8<2<4，∴，故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
变式3．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
考点3. 反比例函数解析式的确定
【解题技巧】
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
【典例精析】
例1．（2022·湖北武汉·中考真题）在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值．
【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式，∴-k=±4，即k=±4，
∵在在反比例函数y=的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k-1＞0，∴k＞1．解得：k=4，∴反比例函数解析式为，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，完全平方式，根据反比例函数的性质得出k-1＞0是解此题的关键．
例2．（2022·湖南娄底·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、（且），过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ）
①点、在反比例函数的图象上；②成等腰直角三角形；③；④的值随的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ的解析式，得到A，B的坐标可判断②，由P，Q的位置可判断③，画出符合题意的图形，利用数形结合的思想可判断④，从而可得答案．
【详解】解： 点、的横纵坐标的积为
点、在反比例函数的图象上；故①符合题意；
设过点、的直线为：
解得： 直线PQ为：
当时， 当时， 所以：
所以是等腰直角三角形，故②符合题意；
点、（且）， 点、在第一象限，且P，Q不重合，
故③符合题意；，而PQ在直线上，如图，
显然是随的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意；故选D
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，设，，∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，∴，，
∴，∴，同理可证：，
∵，∴≌≌，
∴，，∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，∴，即；
∴，∴经过点D的反比例函数解析式为；故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
变式2．（2022·陕西·中考真题）已知点A( 2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
【答案】y=
【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A( 2，m)，∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数的图象上，∴m=×2，解得：m=1，∴A( 2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=，
∵A( 2，1) 在这个反比例函数的图象上，∴k=-2×1=-2，
∴这个反比例函数的表达式为y=，故答案为：y=．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
变式3．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．
【答案】
【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
∵函数经过点（1，-2），∴，得k=-2，∴反比例函数解析式为，故答案为：．
【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
考点4.反比例函数与平面几何综合
【典例精析】
例1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________．
【答案】 （，0）
【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b，），D（a，），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．
【详解】解：如图，
作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，
设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，
∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴，
∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=，
∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四边形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，
∴S梯形BEGD=S△BOD=，∴ (+) （a-b）=，
∴2a2-3ab-2b2=0，∴（a-2b） （2a+b）=0，∴a=2b，a=-（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），
在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2=OB2，
∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2，
∴b=，∴B（，2），D（2，），
∵直线OB的解析式为：y=2x，∴直线DF的解析式为：y=2x-3，
当y=0时，2x-3=0，∴x=，∴F（，0），
∵OE=，OF=，∴EF=OF-OE=，∴，故答案为：，（，0）．
【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．
例2．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D ∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a ∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a ∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形 ∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线上∴ 即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴ 即∴
∵∴
解得： ∴ 故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．
【变式训练】
变式1．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或 D．3
【答案】A
【分析】根据题意，得，，直线：；根据一次函数性质，得；根据勾股定理，得；连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，得，；根据勾股定理逆定理，得；结合圆的性质，得点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得；分或两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，，即，
∵直线过原点和点∴直线： ∵在直线上∴ ∴
连接，， ∴，线段的中点为点∴，
过点作轴的垂线，垂足为点 ∴
∴，，
∴ ∴
∴点、B、D、P共圆，直线和AB交于点F，点F为圆心∴
∵，∴
∵，且 ∴
∴∴ ∴或
当时，和位于直线两侧，即
∴不符合题意 ∴，且
∴，∴∴
∴故选：A．
【点睛】本题考查圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．
变式2．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据题意，图中各点的坐标均可以求出来，，，只需证明即可证明结论①；先求出直线OB的解析式，然后求直线OB与反比例函数的交点坐标，即可证明结论②；分别求出和，进行比较即可证明结论③；只需证明，即可求证结论④．
【详解】解：∵OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），∴A点坐标为(4，0)，C点坐标为(0，2)，
根据反比例函数，当时，，即D点坐标为(1，2)，
当时，，即F点坐标为(4，)，∵，∴，
∵，∴，∴，
，∴，故结论①正确；
设直线OB的函数解析式为：，点B代入则有：，解得：，
故直线OB的函数解析式为：，当时，(舍)
即时，，∴点E的坐标为(2，1)，∴点E为OB的中点，∴，结论②正确；
∵，∴，由②得：，
，∴，故结论③正确；
在和中，，∴，
∴，故结论④正确，综上：①②③④均正确，故选：A．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，反比例函数与几何综合，结合题意求出图中各点坐标是解决本题的关键．
变式3.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标． 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
【答案】5或22.5
【分析】先设一个未知数用来表示出B、C两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B、C、D的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k的值即可．
【详解】解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G；∵正方形ABCD，∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，∴∠DAE+∠BAF=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，∴≌，
同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；设AE=m，
∵点D的坐标 (,2) ，∴OE=，DE=AF=BG=2，∴B（，），C（，）,
∵，当时，，不符题意，舍去；
当时，由解得,符合题意；故该情况成立，此时 ；
当时，由 解得,符合题意，故该情况成立，此时;
故答案为：5或22.5．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．
考点5. 反比例函数中k的几何意义
【解题技巧】
三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
【典例精析】
例1.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【详解】解：如图，设OD=m，∵∴OC=
∵轴于点，轴于点，∴四边形BEOD是矩形∴BD=OE=1∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，∴k=m×1=m设AC=n
∵轴∴A（，n）∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE∴AE=在Rt△AEF中，，
由勾股定理得， 解得，（负值舍去）∴ 故选：B
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
例2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【答案】B
【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．
【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），
则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），
∴PC==，PD==，
∵，，即，
又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积===，故③正确；
==
===，故②错误；故选B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
【变式训练】
变式1．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．
【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示：
∵轴，∴ME∥BD，∵，∴，
∵，∴，
∵的面积为4，∴，∵，∴，
由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有，∴，
∵ME∥BD，∴，∴，∴，
由反比例函数k的几何意义可得：，∵，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
变式2．（2021·广西玉林市·中考真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是______．
【答案】3
【分析】设点A坐标为（，），根据已知条件可得到点B坐标为（，），点C坐标为（，），然后得到点D得坐标为（，），表示出的面积解出k即可．
【详解】解：设点A坐标为（，），∵是等腰三角形，过原点，底边轴，
∴点B坐标为（，），点C坐标为（，），
∵轴交双曲线于点，∴点D坐标为（，），∴，，
∴，∴即．故答案为：
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，利用过原点的直线与双曲线交点关于原点对称的的点得到相关点的坐标在结合等腰三角形性质是解题的关键．
变式3．（2021·四川广元市·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且．点是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接、．当时，x的取值范围是________．
【答案】
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段MN的解析式，最后联立两个解析式求出B和C两个点的坐标，再根据k的几何意义，确定P点位置，即可得到相应的x的取值范围．
【详解】解：∵点∴，所以反比例函数的解析式为：，
因为，∴,设线段MN解析式为：，
∴，∴，∴线段MN解析式为：，
联立以上两个解析式得：，解得：或，经检验，符合题意；
由图可知，两个函数的图像交点分别为点B和点C，∴，，
∵，∴P点应位于B和C两点之间，∴，故答案为：．
【点睛】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k的几何意义、待定系数法等内容，解决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交点坐标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
变式4．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．
【详解】解：设D点坐标为，∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，
∴E点坐标为，同理可得C点坐标为，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，
∵点E为AC的中点，的面积为1，
∴，即，可得，，解得，故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．
考点6. 反比例函数与一次函数的综合
【解题技巧】
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
【典例精析】
例1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，
∴m=(-) ( -2m)=2，∴反比例函数的解析式为y=，∴B（2，1），A（-，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，∴n=-3，∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD=×3×2+×3×=．故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
例2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．
【答案】-2＜x＜0或x＞4
【分析】先求出n的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过A（-2，2），∴m=-2×2=-4，∴，
又反比例函数的图象经过B（n，-1），∴n=4，∴B（4，-1），
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4．故答案为：-2＜x＜0或x＞4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出n的值是解题的关键．
例3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当时，求x的取值范围；
(3)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】(1)(2)或，(3)
【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据的面积为和直线解析式求出点P坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围；（3）作点K关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出点C的坐标，再根据求解即可．
(1)解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，∴一次函数解析式为过点P作轴于点H，
∵∴又∴∴∴，∴∴
∵在双曲线上，∴∴
(2)解：联立方程组得，解得， ，∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
(3)解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，设直线的解析式为
把代入得，解得，
∴直线的解析式为当时，，解得，，
∴∴∴
，
∴
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据图象进行分析即可得结果；
【详解】解：∵∴
由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为，
由图象可以看出当或时，函数在上方，即，故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．
变式2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
变式3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
(1)解：把代入，得
，解得，，所以反比例函数解析式是；
(2)存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，和，，和，，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，，．
【点睛】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
考点7. 反比例函数的应用
【解题技巧】用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
【典例精析】
例1.（2022·河南·中考真题）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态
【答案】C
【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D．
【详解】解：根据函数图象可得，
A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意；
B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意；
C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；D. 当时，，，
该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；故选:C.
【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键．
例2.（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；（2）；I（3）；（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据“串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压”，列出等式，进而即可求解；（3）由R1＝m＋240，，即可得到答案；（4）把时，代入，进而即可得到答案．
【详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，∴；
（3）由（1）可知：，∴R1＝m＋240，
又∵，∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程为0~6伏，∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·青海·中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）.
【答案】
【分析】先根据这块砖的重量不变可得压力的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得．
【详解】解：这块砖的重量不变，
不管三个面中的哪面向下在地上，压力的大小都不变，且，随的增大而减小，
三个面的面积之比是，，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．
变式2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
变式3．（2022·湖南永州·中考真题）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的形响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒．(1)求的值；(2)设小勇从滑雪道端滑到瑞的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒同，列出方程求解即可；
（2）称算出路程，再列出用含的代数式表示即可．
(1)根据题意，得解这个方程，得 (2)
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用，解决本题的关键是根据题中的等量关系列出方程．
变式4．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围．
(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
…… 0.25 0.5 1 2 4 ……
…… ……
【答案】(1)；(2)，表、图见解析
【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；
（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．
(1)解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．
∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，
∴2x=0.5y，∴；∵4>0，∴y随x的增大而增大，
∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，∴．
(2)解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．
∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，
∴2×0.5=xy，∴；当x=0.25时，；当x=0.5时，；
当x=1时，；当x=2时，；当x=4时，；填表如下：
…… 0.25 0.5 1 2 4 ……
…… 4 2 1 ……
画图如下：
【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．
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专题09 反比例函数
【考情预测】
反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，预计2023年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点。
【考点梳理】
1、反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
2、反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：
当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
3、反比例函数解析式的确定
1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
4、反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
5、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
6、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
【重难点突破】
考点1. 反比例函数的定义
【解题技巧】
1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．
2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．
【典例精析】
例1．（2022·江苏常州·中考真题）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【变式训练】
变式1．（2022·海南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖北宜昌市·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·辽宁·三模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 反比例函数的图象和性质
【解题技巧】
当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．
双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
【典例精析】
例1．（2022·广西贺州·中考真题）己知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·湖北武汉·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·四川成都·中考真题）关于x的反比例函数的图像位于第二、四象限，则m的取值范围是________．
【变式训练】
变式1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
变式2．（2022·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
考点3. 反比例函数解析式的确定
【解题技巧】
1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．
2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．
【典例精析】
例1．（2022·湖北武汉·中考真题）在反比例的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________．
例2．（2022·湖南娄底·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点、（且），过点、的直线与两坐标轴相交于、两点，连接、，则下列结论中成立的是（ ）
①点、在反比例函数的图象上；②成等腰直角三角形；③；④的值随的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【变式训练】
变式1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．
变式2．（2022·陕西·中考真题）已知点A( 2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
变式3．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．
考点4.反比例函数与平面几何综合
【典例精析】
例1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为时，的值为___________，点F的坐标为___________．
例2．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【变式训练】
变式1．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（ ）
A． B．3或 C．或 D．3
变式2．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式3.（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标． 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．
考点5. 反比例函数中k的几何意义
【解题技巧】
三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．
【典例精析】
例1.（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
例2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
【变式训练】
变式1．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．12
变式2．（2021·广西玉林市·中考真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是______．
变式3．（2021·广元市·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且．点是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接、．当时，x的取值范围是___．
变式4．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
考点6. 反比例函数与一次函数的综合
【解题技巧】
反比例函数与一次函数综合的主要题型：
（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；
（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；
（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；
（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
【典例精析】
例1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
例2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是_________．
例3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当时，求x的取值范围；
(3)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
变式2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
变式3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
考点7. 反比例函数的应用
【解题技巧】用反比例函数解决实际问题的步骤
（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
（5）解：用函数解析式去解决实际问题．
【典例精析】
例1.（2022·河南·中考真题）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态
例2.（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【变式训练】
变式1．（2022·青海·中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）.
变式2．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
变式3．（2022·湖南永州·中考真题）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的形响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒．(1)求的值；(2)设小勇从滑雪道端滑到瑞的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）．
变式4．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围．
(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
…… 0.25 0.5 1 2 4 ……
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专题09 反比例函数
【考场演练1】热点必刷
1．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．
【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．
2．（2023·浙江平阳·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图像，知反比例函数过点（1，4），故k=4，所以当x=2时，y=2，所以y的范围是．
【详解】如图，根据图像，知反比例函数过点（1，4），
∴，∴k=4，∴当x=2时，∴y=＝2，∴y的范围是．故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式的确定，根据自变量范围确定函数值的范围，读懂图像，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
3．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，，故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．
4．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；
对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．
【详解】解：反比例函数图象分布在第二、四象限， 当时， 当时，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解；
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∵，∴
∵∴故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键．
7．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，∴，即：，解得：k=，故选：C．
【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．
8．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（ ）
5 … … … … … 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据电流与电路的电阻是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断
【详解】∵电流与电路的电阻是反比例函数关系
由表格：；∴在第一象限内，I随R的增大而减小
∵∴故选：A
【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减
9．（2021·辽宁大连市·中考真题）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解．
【详解】解：①反比例函数中自变量x的取值范围是，正确；
②把代入反比例函数得：，
∴点在反比例函数的图象上，正确；
③由反比例函数可得，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误；
∴说法正确的有①②；故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10．（2023·陕西白水·中考模拟）已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
【答案】-9．
【分析】根据反比例函数上点的特征得到、分别与、的关系，再把它们相乘，最后把代入即可．
【详解】将点A和B代入反比例函数得：，，所以．答案：-9
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，图像为双曲线，图像上点的横、纵坐标的积是定值．
11．（2022·山东滨州·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为_______．
【答案】y2＜y3＜ y1
【分析】将点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）分别代入反比例函数，并求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．
【详解】根据题意，得 当x=1时，y1=，当x=-2时，y2=，当x=-3时，y3；
∵-3＜-2＜6，∴y2＜y3＜ y1；故答案是y2＜y3＜ y1．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目．
12．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】-5（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k的值可以是-5；故答案为-5（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
13．（2022·广西河池·中考真题）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．
【答案】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，∴，
∵图象位于第二象限内，∴，∴该反比例函数的解析式为．故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
14．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知直线y＝2x与双曲线（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=，则k的值为 _____．
【答案】2
【分析】设点A的坐标为（m，2m），根据OA的长度，利用勾股定理求出m的值即可得到点A的坐标，由此即可求出k．
【详解】解：设点A的坐标为（m，2m），∴，
∴或（舍去），∴点A的坐标为（1，2），∴，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正确求出点A的坐标是解题的关键．
15．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
【答案】3
【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，
，，故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．
16．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．
【答案】5或或
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），∵OA=5，∴，解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．故答案为：5或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
17．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．
【答案】32
【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．
【详解】∵点B的坐标为∴∵，点C与原点O重合，∴
∵与y轴平行，∴A点坐标为∵A在上∴，解得故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
18．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，点A在x轴的正半轴上，AB＝3BC，点D在x轴的负半轴上，AD＝AB，连接BD，过点A作AE∥BD交y交于点E，点F在AE上，连接FD，FB．若△BDF的面积为9，则k的值是_______．
【答案】6
【分析】根据△BDF的面积等于△ABD的面积，设B（a，3a）（a＞0），则×3a 3a＝9，求解即可得到点的坐标，则根据求解即可．
【详解】解：∵AE∥BD，依据同底等高的原理，∴△BDF的面积等于△ABD的面积，
∵AB＝3BC，AD＝AB，∴设B（a，3a）（a＞0），则×3a 3a＝9，
解得a＝，∴3a2＝6．即k＝6．故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是利用同底等高的原理将原图形转换成面积相等的其他图像，从而得到反比例函数图像上的点的坐标，然后利用求解．
19．（2022·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
【答案】2
【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明△ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求得答案．
【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，
则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，
∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，
∴×OC×AC=ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=上，∴k=ab=2 ．故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
20．（2022·贵州遵义·中考真题）反比例函数与一次函数交于点，则的值为__________．
【答案】6
【分析】将点，代入，求得，进而即可求解．
【详解】解：将点，代入，即，，，故答案为：6．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点的坐标是解题的关键．
21．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
【答案】或
【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．
【详解】解：根据题意，∵点称为点的“倒数点”，
∴，，∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数的图像上，设点A为，则点B为，
∵点C为，∴，①当点B在边DE上时；点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，即，解得：，
经检验，是原分式方程的解；∴点B为，∴的面积为：；
②当点B在边CD上时；点B与点C的横坐标相同，∴，解得：，
经检验，是原分式方程的解；∴点B为，
∴的面积为：；故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
22．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．
（1）若点的坐标为，①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．
【答案】（1）①，；②；（2）0
【分析】（1）①根据点A关于轴的对称点为点，可求得点A的坐标是，再将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；②观察图象可解题；
（2）将点B代入，解得的值即可解题．
【详解】解（1）①由题意得，点A的坐标是，因为函数的图象过点A，所以，同理．
②由图象可知，当时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当时，．
（2）设点A的坐标是，则点的坐标是，所以，，所以．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（2022·湖南湘潭·中考真题）已知、是平面直角坐标系中两点，连接．
(1)如图①，点在线段上，以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点的反比例函数表达式；(2)如图②，点是线段上一点，连接，将沿翻折，使得点与线段上的点重合，求经过、两点的一次函数表达式．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据的坐标，可得直线的解析式，根据题意点为与的交点，求得交点的坐标，即可求解；（2）设，，根据题意求得，根据轴对称的性质结合图形求得，在中，即可求得的值，进而待定系数法求解析式即可求解．
(1)、设直线的解析式为，则，解得，
则直线的解析式为，
以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，则，点为与的交点，
，解得，则，
设点的反比例函数表达式为，则，；
(2)设，将沿翻折，使得点与线段上的点重合，
， 、
中，，，
在中，即解得则
设直线的解析式为则解得直线的解析式为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，切线的性质，勾股定理与折叠，求直线解析式，求反比例函数解析式，求两直线交点，数形结合是解题的关键．
24．（2022·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)，
(2)点的坐标为(4，2)
【分析】（1）先求出点B的坐标，得到，结合点A的横坐标为2，求出的面积，再利用求出，设，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线即可求解；
（2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解．
(1)解：∵直线与y轴交点为B，∴，即．
∵点A的横坐标为2，∴．∵，∴，
设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，
把点代入，得，∴，；
(2)解：由（1）得，∴．
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，∴，
∵，，∴，
解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
25．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．(1)求，的值：(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
(1)如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠AOE+∠EAO=90°，∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，∴△AOE≌△BOF（AAS），∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，∴AE=1，OE=4，∴OF=1，BF=4，∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，解得，，；
(2)由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
26．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）阅读下列材料 定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务(1)① _________；②_________
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．
【答案】(1)①1；② (2)，
【分析】（1）根据材料中的定义进行计算，即可求出答案；（2）由函数图像可知当时，，则，结合已知可得，即可求出b，得到一次函数解析式，求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式．
(1)解：根据题意，∵，当时，；当时，，
∴①；∵，∴②；故答案为：①1；②；
(2)解：由函数图像可知当时，，∴，
又∵，∴，∴，
∴一次函数，当x＝－2时，，∴A（－2，1），
将A（－2，1）代入得，∴反比例函数．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，零次幂，反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是掌握题意，正确的运用数形结合的思想求解．
27．（2022·辽宁大连·中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围．
【解析】(1)解：∵密度与体积V是反比例函数关系，∴设，
∵当时，，∴，∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
(2)解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴，AB∥OD，∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，∴，解得：．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=；由S△BDC= BD CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以点D的纵坐标为4；设C（m，），D（m+9，4），则k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，∴ABOC，AB=OC，∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，∴∠ADB=90°，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=，
∵S△BDC= BD CF=，∴CF=9，
∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，设C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），∴m=-12，∴k=-12．故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．
【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则
设 则
而当时，则
∴的最小值是8，∴的最小值是 故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键．
4．（2022·四川德阳·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
5．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解．
【详解】解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为，
∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，
∴点A，B，O在同一直线上，∴直线经过原点，∴m+3=0，∴m=-3，
∴一次函数的解析式为，∴一次函数的特征数是．选：D
【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．
7．（2022·安徽·中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB， ∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，∴四边形CDEB为矩形，∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，，∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，∵OC=AC，CD⊥OA，∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，∴．故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为___________．
【答案】4
【分析】如图，连结BD，证明 再求解反比例函数为：， 直线AB为： 再求解 再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连结BD，
， 而
在反比例函数图象上， 即反比例函数为：，
在反比例函数图象上， 即
设直线AB为： 解得：
∴直线AB为： 当时，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定，证明是解本题的关键．
9．（2022·广西玉林·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：① ②当时， ③ ④
则所有正确结论的序号是_____________．
【答案】②③
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误．
【详解】直线，当时，，，，
四边形是菱形，，A与B关于x轴对称，设AB交x轴于点D，
在中，，，故①错误；
在双曲线上，，，当时，，故②正确；
，，点B在直线上，
，，，故③正确；
，故④错误；综上，正确结论的序号是②③，故答案为：②③．
【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．（2020·河北中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则_________；（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
【答案】－16 5 7
【分析】（1）先确定T1的坐标，然后根据反比例函数（）即可确定k的值；
（2）观察发现，在反比例函数图像上的点，横纵坐标只积相等，即可确定另一点；
（3）先分别求出T1~T8的横纵坐标积，再从小到大排列，然后让k位于第4个和第5个点的横纵坐标积之间，即可确定k的取值范围和k的整数值的个数．
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）又∵．函数（）的图象经过T1∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）∵过点∴k=-10×4=40观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于k是解答本题的关键．
11．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：①当时，都随x的增大而增大；②当时， ；③的图像的两个交点之间的距离是2；④函数的最小值为2；则所有正确的结论是_________．
【答案】②③④
【分析】先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④．
【详解】当时，， 当时，，
画出两个函数的图象如下所示：则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误
当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确
当时， 即的图象位于第一象限的交点坐标为
由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为
因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确
又，当且仅当，即时，等号成立
即函数的最小值为2，结论④正确
综上，所有正确的结论是②③④故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键．
12．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
【答案】； 60
【分析】设，设直线与轴的交点为H，先求解的坐标，得到∠HAO=30°，用含的代数式表示，联立函数解析式利用根与系数的关系得到关于的方程，从而可得第一空的答案；过分别向轴作垂线，垂足分别为先根据等边三角形的性质与反比例函数的性质求解的边长，依次同法可得后面等边三角形的边长，发现规律，再前25个等边三角形的周长之和即可．
【详解】解：设，设直线与轴的交点为H，
令 则 令 则
∴H（），又A（0，b）， ∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，
过作轴于 过作轴于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，
∴AB=，AC=，∴，联立得到。
∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，
过分别向轴作垂线，垂足分别为设
由等边三角形的性质得：
得： （舍去）经检验：符合题意，
可得的边长为4，同理设 ，
解得： （舍去）
经检验：符合题意，
的边长为，同理可得：的边长为，
的边长为．
∴前25个等边三角形的周长之和为
=
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的性质的应用，锐角三角函数的应用，同时考查与反比例函数相关的规律题，掌握以上知识是解题的关键．
12．（2022·湖南长沙市·中考模拟）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．
【答案】①③④
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y=-x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，∴OM=OA，∴k=mn，∴A（m，n），M（n，m），∴，
∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA=OM=AM，1+k2=m2+，
∵m＞0，k＞0，∴m=k，∵OM=AM，∴（1-m）2+(k )2=1+k2，∴k2-4k+1=0，∴k=2±，
∵m＞1，∴k=2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，∴，∴，∵OA=OB，∴，∴，
∵KM∥OD，∴，∴DM=2AM，故④正确．故答案为①③④．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题
14．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）①证明见详解；②证明见详解．
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，可得即可；
（2）①利用锐角三角函数值tan∠EBO=，tan∠DBC=相等，可证∠EBO=∠DBC，利用平角定义∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°即可；②设AC与OD交于K，先证四边形ABCD为矩形，可得∠KAD=∠KDA，KA=KC=，由，可得AO=AK，由∠AKO为△AKD的外角，可得∠AKO=2∠ADK，由AD∥OH 性质，可得∠DOH=∠ADK即可．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，∴，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）①设点C（），则B（2，），D（），∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，
∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，∴AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，∴AF⊥AD，∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，
∵，∴AO=AK，∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，∴∠DOH=∠ADK，∴∠AOD=2∠DOH．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数，平角定义，矩形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
15．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
【答案】（1）；（2）的面积
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可．
【详解】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，∴，∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵点O是BC的中点，∴OC=2，∴OE=1，∴，∴；
（2）由（1）可得：，，
∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，解得：，
∴直线AC的解析式为，
联立与反比例函数可得：，
解得：（不符合题意，舍去），∴点，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
16．（2021·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】（1），；（2）减，证明见解析
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．
【详解】解：（1），
（2）猜想：是减函数；
证明：任取，，，则
∵且，∴，
∴，即 ∴函数是减函数．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
17．（2021·河北中考真题）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．
（1）当时，与的交点坐标为__________；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点A和，为能看到在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数__________．
【答案】 4
【分析】（1）结合题意，根据一次函数和反比例函数的性质列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，得∴
∵ ∴是的解∴当时，与的交点坐标为： 故答案为：；
（2）当时，得∴
∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为：
∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴
根据题意，得为正整数∴ ∴
同理，当时，得∴ ∴ ∴
∵要能看到在A和之间的一整段图象∴故答案为：4．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解．
18．（2021·江苏常州市·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【分析】（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；
（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵，∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴，∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，∴==；
②∵，，∴＞，即：＞．故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
===[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]=(1+1+1+1+③的面积)≥1，∴l的最小值是1．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
19．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．
（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，，
轴，，∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，，， ，
∴当时，则，即．；
．
（2）解 不改变． 理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴， ，即，
∴，，解得，
异号，，，．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
20．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为(2)或(3)，
【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标；
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标．
(1)解：把点A的坐标代入，得，解得a=1，
故点A的坐标为(1,4)，把点A的坐标代入，得k=4，故反比例函数的表达式为，
， 得，解得，，故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为；
(2)解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D，
把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得， 解得， 故点D的坐标为，
，，
如图：当AD:CD=1:2时，连接BC，
得，得，得，
解得或(舍去)，故或(舍去)，
故此时点C的坐标为(-2,-2)，，
如图：当CD:AD=1:2时，连接BC，得，得，得，
解得或(舍去)，故或(舍去)，
故此时点C的坐标为 ，，
综上，BC的长为或；
(3)解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图
∵设，，则
又
即解得或（舍去）则点
设直线的解析式为，将点，
解得直线的解析式为
设，根据题意，的中点在直线上，则
∵则
解得或（在直线上，舍去）．综上所述，．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键．
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专题09 反比例函数
【考场演练1】热点必刷
1．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
2．（2023·浙江平阳·模拟预测）已知反比例函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
5．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
7．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．4
8．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（ ）
5 … … … … … 1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
A． B． C． D．
9．（2021·辽宁大连市·中考真题）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数中自变量x的取值范围是；②点在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2023·陕西白水·中考模拟）已知，，，都在反比例函数的图象上．若，则的值为___．
11．（2022·山东滨州·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为_______．
12．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数）
13．（2022·广西河池·中考真题）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．
14．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，已知直线y＝2x与双曲线（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA=，则k的值为 _____．
15．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
16．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．
17．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．
18．（2022·辽宁辽宁·中考真题）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，点A在x轴的正半轴上，AB＝3BC，点D在x轴的负半轴上，AD＝AB，连接BD，过点A作AE∥BD交y交于点E，点F在AE上，连接FD，FB．若△BDF的面积为9，则k的值是_______．
19．（2022·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比例函数y=(x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________．
20．（2022·贵州遵义·中考真题）反比例函数与一次函数交于点，则的值为__________．
21．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．
22．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点A，点A关于轴的对称点为点．
（1）若点的坐标为，①求，的值．②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点在函数（是常数，）的图象上，求的值．
23．（2022·湖南湘潭·中考真题）已知、是平面直角坐标系中两点，连接．
(1)如图①，点在线段上，以点为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点的反比例函数表达式；(2)如图②，点是线段上一点，连接，将沿翻折，使得点与线段上的点重合，求经过、两点的一次函数表达式．
24．（2022·山东聊城·中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线于点E，且．
(1)求k，p的值；(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
25．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．(1)求，的值：(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
26．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）阅读下列材料 定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务(1)① _________；②_________
(2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．
27．（2022·辽宁大连·中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．4
4．（2022·四川德阳·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
5．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽·中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．
8．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为___________．
9．（2022·广西玉林·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在直线上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形是菱形时，有以下结论：① ②当时， ③ ④
则所有正确结论的序号是_____________．
10．（2020·河北中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则_________；（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
11．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论：①当时，都随x的增大而增大；②当时， ；③的图像的两个交点之间的距离是2；④函数的最小值为2；则所有正确的结论是_________．
12．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线与轴交于点，与双曲线 在第三象限交于两点，且 ；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则= ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．
12．（2022·湖南长沙市·中考模拟）如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是_______．
14．（2021·四川雅安市·中考真题）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；②若，求证：．
15．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
16．（2021·湖南张家界市·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
17．（2021·河北中考真题）用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．
（1）当时，与的交点坐标为__________；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点A和，为能看到在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数__________．
18．（2021·江苏常州市·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
（理解）（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
19．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．（1）如图1，过点作轴于点，连结．①若，求证：四边形是平行四边形；②连结，若，求的面积．（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
20．（2022·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
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