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2023届优质模拟试题分类汇编（新高考卷）
立体几何
一．基本原理
1.直线的方向向量：
点，那么直线的方向向量可为
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
知识点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
注：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
知识点五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，是平面的法向量，如下图所示.
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
知识点6：一些重要的空间垂直模型
1.等腰梯形：如图1，我们可以证得，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形.
图1 图2
2.内角为的菱形，如图2，，为中点，则.
3.内角为的平行四边形，如图3，，，则.
图3 图4
4.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），为中点，则.
5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有.
图5
6.“筝形翻折模型”
结论：如图，，设为中点，则，故面，则.
7. 面面垂直找交线，找到交线引垂线.
二．试题演练
例1.（2023届武汉9月调研）如图，在图1的等腰直角三角形中，，边上的点满足，将三角形沿翻折至三角形处，得到图2中的四棱锥，且二面角的大小为.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
例2（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面．
（1）求的长；
（2）若，求二面角的余弦值．
例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）三棱柱中，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
例4.（2023届佛山一模）如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．
（1）证明：平面；
（2）若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值．
例5（2023届深圳一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
例6.（广州市2023届高三一模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
例7（2023届武汉二调）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.
（1）证明：直线平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
例8（2023届南通二调）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面.
（1）证明：；
（2）已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为 若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由.
例11（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
例12（温州市2023届高三一模）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，．
（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
例13（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ．
（1）设 为棱 的中点，证明：四点共面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．2023届优质模拟试题分类汇编（新高考1卷）
立体几何
一．基本原理
1.直线的方向向量：
点，那么直线的方向向量可为
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
（i）设出平面的法向量为；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（iii）根据法向量的定义建立关于的方程；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．
知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直
设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．
（2）线面垂直
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
知识点四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，
则．
注：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
（2）求直线和平面所成的角
如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（易错点）
（3）求二面角
如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面的法向量，，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．
②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．
知识点五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
即：点A到平面的距离，是平面的法向量，如下图所示.
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 .
二．试题演练
例1.（2023届武汉9月调研）如图，在图1的等腰直角三角形中，，边上的点满足，将三角形沿翻折至三角形处，得到图2中的四棱锥，且二面角的大小为.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解析：（1）因为，所以，因为等腰直角三角形中，，所以，在四棱锥中，.所以为二面角的平面角，即.
又，所以，
满足.即，又，且，平面，
所以平面.又平面，所以平面平面.
（2）由，且，平面，故平面，则有.又，所以，即两两垂直.
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有：..
设平面的法向量.
，令，得.
设所求角的大小为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.
例2（福建省部分地市2023届高三第一次质量检测）如图，在直三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面．
（1）求的长；
（2）若，求二面角的余弦值．
解析：（1）∵面，又面，∴，又∵F为的中点，∴，又在、中，，易证得，
故．，，又，，故．
（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知，则，
不妨设是平面的一个法向量，那么，即，
令，则．又面，故是平面的一个法向量．设为二面角所成平面角，则，
即二面角的余弦值为．
例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）三棱柱中，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
解析：（1）如图所示：作中点，连接，
，是等边三角形，
又，满足，即有，而，所以，，平面，平面，
而平面，所以，又因为是中点，所以.
（2）若，则，易知，
以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，在中，，
所以，，则，，，，
设平面的法向量为，则有，即，
令，则，，所以，
同理可得：平面的法向量，则.
因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
例4.（2023届佛山一模）如图，和都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面．
（1）证明：平面；
（2）若点E到平面的距离为，求平面与平面夹角的正切值．
解析：（1）如图，取的中点，连接，则，又因为平面平面，且平面平面，平面，则平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）如图，连接，，取的中点，连接，则，
因为，则等腰的面积为，
所以三棱锥的体积为，因为平面，平面，则，又因为，，平面，平面，则平面，因为，则点到平面的距离等于点到平面的距离等于，因为，则，
又，所以，因为平面，平面，平面，则，，所以，所以，所以平面与平面夹角的平面角为，则，
例5（2023届深圳一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
解析：（1）连接DB交AC于点O，连接PO．因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，且O为BD的中点．因为PB＝PD，所以PO⊥BD．又因为AC，平面APC，且，所以BD⊥平面APC．又平面ABCD，所以平面APC⊥平面ABCD．
（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH．因为，所以△ABD是等边三角形，所以DM⊥AB．又因为PD⊥AB，，平面PDM，
所以AB⊥平面PDM．所以AB⊥PH．由（1）知BD⊥PH，且，所以PH⊥平面ABCD．由ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，，．由AP⊥PC，在△APC中，，所以．以O为坐标原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面PAB的法向量为，所以，
令得．设平面PBC的法向量为，
所以，令得．设平面PAB与平面PBC的夹角为．所以，
，所以，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．
例6.（广州市2023届高三一模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为的中点，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若，且与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
解析：（1）设的交点为，连接，已知为的重心，
所以，，所以在中，，
所以，所以平面，平面，
则平面.
（2）因为所以
所以为等边三角形，所以，又因为，
所以，所以，
取的中点为，连接，则，
平面平面，平面平面，
则平面，以为坐标原点，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为与平面所成的角为，所以，
设菱形的边长为，所以，所以
，
因为，所以，
，
设平面，
，令，
所以，
设平面，
，令，
所以，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
例7（2023届武汉二调）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.
（1）证明：直线平面；
（2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
解析：（1）证明：延长和交于点，连接交于点，连接，
由，故，所以，所以，所以，所以为中点，又且，且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法向量，由，得，
取，
故所求角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
例8（2023届南通二调）如图，在中，是边上的高，以为折痕，将折至的位置，使得.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
解析：（1）证明：∵是边上的高，
∴，
∵，平面，
平面，
∵平面，
,
又平面，
∴平面；
（2）以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，垂直ADB平面为z轴，建立空间直角坐标系，
，
则，
，
设平面与平面的一个法向量分别为，
故，解得：，令，得：，
则，
，解得：，令，则，
故，
设二面角平面角为，显然为锐角，
，
.
例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面.
（1）证明：；
（2）已知，，平面与平面的交线为.在上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为 若存在，求线段的长度；若不存在，试说明理由.
解析：（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
平面，所以，
因为四边形是菱形，所以，
又因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：取中点，连接，
因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
由菱形的几何性质可知，，则也为等边三角形，
因为为的中点，则，，，
由（1）知，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以，由（1）知平面，
设，则，．
设平面的法向量，则，
取，可得，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则，解得，
因此，存在点，线段的长为．
例11（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
解析：（1）由题意，取分别为棱的中点, 连接,
则; ∵, 且, ∴, 且,
∴四边形为平行四边形, 故. ∵为棱的中点, ∴;
∵, 平面底面, 平面底面, ∴平面,
∵平面, ∴;又,且在平面内
∴平面. ∵, ∴平面,又∵平面, ∴平面平面.
（2）由题意及（1）得，取中点为, 连接, ∵为等边三角形, ∴,
∵平面底面, ∴底面, 过作, 交于点, 则; 以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,
设， 则,
则,
由（1）可知平面 故平面的法向量取,
设平面的法向量为,
由, 解得,
令, 得,
设平面与平面的夹角为,
∴,
∴平面与平面夹角的余弦值为.
例12（温州市2023届高三一模）如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，．
（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
解析：（1）如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，，
因为∥，平面，平面，则 ∥平面
同理可证∥平面，，且平面，平面
所以平面∥平面，又因为平面，所以∥平面
故存在点满足题意.因为为底面的内接正三角形，所以，即，
又因为，所以的半径为，所以劣弧的长度为.
（2）如图取的中点为，连接，以为轴，为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，又因为，设中点为.
故， ，，， ，，，易知平面的法向量
设平面的法向量为 ，
又因为，
故 即，令得
易知平面和平面夹角为锐角，
所以平面和平面夹角的余弦值为
例13（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ．
（1）设 为棱 的中点，证明：四点共面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．
解析：（1）连接,由于四边形ABCD是正方形，所以,又平面，平面,所以 ,平面，所以平面，
由于为棱的中点，，所以 ,又平面平面，平面平面，平面,所以平面 ,因此,所以四点共面，
（2）由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
,,设，
由（1）知,故，解得，故,
,
设平面，的法向量分别为则
即，取，则 ，
即，取，则 ，
设平面与平面的夹角为，则

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