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(共28张PPT)
9.1.2三角形的内角和与外角和
华师大版 七年级 下册
教学目标
教学目标：1.掌握三角形的内角和定理、三角形外角的性质，理解直角三
角形的两个锐角互余的性质.
2.会用三角形的内角与外角的性质来进行相关计算或比较.
教学重点:理解并掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
教学难点:三角形内角和外角的计算.
新知导入
情境引入
回顾旧知
A
B
C
D
相邻的
内角
三角形的外角
2.你还记得三角形外角的定义吗？
不相邻的内角
不相邻的内角
1.你还记得三角形的内角和是多少吗？
新知讲解
合作学习
你有什么办法可以验证它呢
方法一:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？
探索1.三角形的内角和.
1
2
3
2
1
图1
1
2
3
2
3
图2
2
3
1
如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？
方法一：
证明:作CE∥AB ,并延长BC到D，
∴∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等)
∵∠1+ ∠2+ ∠ACB=180° (平角定义)
∴∠A+ ∠B + ∠ACB=180° (等量代换)
2
1
2
3
1
已知：∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角，
证明：∠A +∠B +∠C =180°
2
1
E
D
C
B
A
辅助线
辅助线有什么意义呢？
虚线
当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新的关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况。
2
1
E
D
C
B
A
F
2
1
E
C
B
A
方法二：
证明:过点A作EF∥BC
∴∠B=∠2，∠C=∠1 （两直线平行,内错角相等）∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
已知： ∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角，
证明：∠A +∠B +∠C =180°
1
2
3
3
2
提炼概念
三角形的内角和定理
文字语言：三角形的内角和等于180°
符号语言：
∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等180°）
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
想一想
在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在直角△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC
三角形内外角有什么关系呢？
B
C
D
A
很显然：∠ACD(外角)+∠ACB(内角)=180°
那么外角 ∠ACD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
探索2：三角形的外角与内角有什么关系呢？
想一想
B
C
A
D
把 ∠ABC和 ∠BAC分别移动，放到 ∠ACD上，会出现什么结果呢？
发现：∠ACD=∠ABC+ ∠BAC
归纳总结
∠ACD=∠ABC+ ∠BAC
即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
可知：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
因为：∠ACD+∠ACB=180°
∠ABC+ ∠BAC+ ∠ACB=180 °
三角形外角的性质
探究新知
B
C
A
）
）
1
2
3
）
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个, 这两个外角是对顶角, 因此取其一作为三角形的外角.
那么∠1+ ∠2+ ∠3就是△ABC的外角和.
）
做一做
所以：∠1+ ∠2+ ∠3= 360 °
∠1+ = 180 °
∠2+ = 180 °
∠3+ = 180 °
三式相加可以得到
∠1+ ∠2+ ∠3+ + + = .
∠ACB
∠BAC
∠ABC
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540 °
而 ∠ACB +∠BAC +∠ABC= 180 °
归纳总结
三角形的外角和等于360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
典例精讲
例：D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°∠BAC=70°
求：
（1）∠B的度数（2）∠C的度数
解:(1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知）
∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)
又∵∠B=∠BAD（已知）
∴∠B=80° =40°（等量代换）
（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和是180°)
∴∠C=180°-∠B-∠BAC(等式的性质)
=180°-40°-70°
=70°
归纳概念
总结： 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
课堂练习
1．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.105°
C
2.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1
∴∠3 >∠1
解：∠3 > ∠1
E
D
C
B
A
1
2
解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C
=∠1+∠2+∠C=180°
3.如图所示：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数？
4．如图，D是△ABC中的BC边上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DAC的度数．
解：设∠1＝∠2＝x°，∵∠4是△ABD的外角，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2x°，
又∵∠BAC＋∠3＋∠2＝180°，∴66°＋2x°＋x°＝180°，∴x°＝38°，∴∠DAC＝∠BAC－∠1＝66°－38°＝28°
课堂总结
三角形内角和与外角和
三角形的
内角和
三角形内角和等于180 °
直角三角形的两锐角互余
三角形外角和
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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