资源简介

一线三垂直与一线三等角
一、基础知识回顾
1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 180°
2)1 平角 = 180 度
二、模型的概述：
1) 一线三垂直模型
[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过 45° 顶点作直线的垂线，构造三垂 直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。
基础构造 1 构造 2
一线三垂直模型一：如图 AB ⊥ BC，AB = BC，CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，则 ABD ≌ BCE，DE =
AD + EC
证明： ∵ CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，AB ⊥ BC
∴ ∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°
∴ ∠1 + ∠2 = 90° , ∠2 + ∠3 = 90°
∴ ∠1 = ∠3
∠1 = ∠3
在 ABD 和 BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°
AB = BC
∴ ABD ≌ BCE(AAS)
∴ AD = BE,EC = BD
则DE = BE + BD = AD + EC
一线三垂直模型二：如图 AB ⊥ BC，AB = BC，CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，则 ABD ≌ BCE，DE =
AD - EC
证明： ∵ CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，AB ⊥ BC
∴ ∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°
∴ ∠A + ∠ABD = 90° , ∠ABD + ∠CBE = 90°
∴ ∠A = ∠CBE
∠A = ∠CBE
在 ABD 和 BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°
AB = BC
∴ ABD ≌ BCE(AAS)
∴ AD = BE,EC = BD
则DE = BE - BD = AD - EC
一线三垂直其它模型
1) 图 1，已知 ∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90° , AB = DC，得 ADB ≌ DEC
2) 图 2，延长DE 交AC 于点F，已知 ∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90° , AC = DE，得 ABC ≌ DBE
图 1 图 2
2) 一线三等角模型
[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型：
(同侧) 已知 ∠A = ∠CPD = ∠B = ∠α , CP = PD
(异侧) 已知 ∠EAC = ∠ABD = ∠DPC = ∠α , CP = PD
证明：以右图为例
∵ ∠ACP + ∠A + ∠CPA = 180° ,
∠DPB + ∠CPD + ∠CPA = 180° 而 ∠CAP = ∠CPD = ∠PBD = ∠α
∴ ∠ACP = ∠DPB 又 ∵ CP = PD ∴ ACP ≌ BPD(AAS)
【基础过关练】
1. 如下图所示，在 △ABC 中，∠ACB = 90° , AC = BC，BE ⊥ CE 于点 E，AD ⊥ CE 于点 D ． DE = 6cm，AD = 9cm，则BE 的长是 ()
A. 6cm B. 1.5cm C. 3cm D. 4.5cm
2. 如图，在 △ABC 中，AB = AC = 9，点 E 在边 AC 上，AE 的中垂线交 BC 于点 D，若 ∠ADE = ∠B， CD = 3BD，则 CE 等于 ()
A. 3 B. 2 C. D.
3. 如图，AC = CE，∠ACE = 90° , AB ⊥ BD，ED ⊥ BD，AB = 6cm，DE = 2cm，则BD 等于 ()
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm
4. 如图，△ABC 中，AC = BC,∠ACB = 90°,A(0,3),C(1,0)，则点B 的坐标为 .
5. 如图，△ABC 为等腰直角三角形 AC = BC，若 A(-3，0)，C (0，2)，则点 B 的坐标为
.
6. 如图所示，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 90° . 直线 l 经过点 A，过点B 作BE ⊥ l 于点E，过点 C 作
CF ⊥ l 于点F ．若BE = 2,CF = 5，则EF = .
7. 如图，一个等腰直角三角形 ABC 物件斜靠在墙角处 (∠O = 90°)，若 OA = 50cm，OB = 28cm，则点 C 离地面的距离是 cm .
8. 如图，AB = BC，AB ⊥ BC，AE ⊥ BD 于F，BC ⊥ CD，求证：EC = AB - CD .
【提高测试】
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴的负半轴和正半轴上，以 AB 为边向上作正方形
ABCD，四边形 OEFG 是其内接正方形，若直线 OF 的表达式是y = 2x，则 S (S)正方形OEFG (正方形ABCD) 的值为 ()
A. B. C. D.
2. 如图，AE ⊥ AB，且 AE = AB，BC ⊥ CD，且BC = CD，EF = 6，BG = 3，DH = 4，计算图中实线所
围成的图形的面积 S 是 .
3. 已知直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 A，过点 B 和点 D 分别作直线的垂线 BM 和 DN，垂足分别为
点M、点N，如果BM = 5，DN = 3，那么点M和点N之间的距离为 .
4. 如图，已知 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90° ,分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为 E、
F .
(1) 如图 1，过A 的直线与斜边BC 不相交时，直接写出线段EF、BE、CF 的数量关系是 ； (2) 如图 2，过A 的直线与斜边BC 相交时，探究线段EF、BE、CF 的数量关系并加以证明；
(3) 在 (2) 的条件下，如图 3，直线FA 交BC 于点H，延长BE 交AC 于点 G，连接BF、FG、HG，若 ∠AHB = ∠GHC，EF = CF = 6，EH = 2FH，四边形ABFG 的面积是 90，求 △GHC 的面积.
5. 如图 1 所示，已知 △ABC 中，∠ACB = 90°,AC = BC，直线 m 经过点 C，过 A、B 两点分别作直线 m
的垂线，垂足分别为E、F .
(1) 如图 1，当直线m 在A、B 两点同侧时，求证：EF = AE + BF；
(2) 若直线m 绕点 C 旋转到图 2 所示的位置时 (BF < AE)，其余条件不变，猜想EF 与AE，BF 有什 么数量关系？并证明你的猜想；
(3) 若直线m 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时 (BF > AE) 其余条件不变，问EF 与AE，BF 的关系 如何？直接写出猜想结论，不需证明.
6. 如图 1，在平面直角坐标中，点 A 0,m ，B m,0 ，C 0,-m ，其中 m> 0，点 P 为线段 OA 上任意一 点，连接BP，CE ⊥ BP 于E，AD ⊥ BP 于D .
(1) 求证：AD = BE；
(2) 当m = 3 时，若点N -3,0，请你在图 1 中连接 CD，EN 交于点 Q ．求证：EN ⊥ CD；
(3) 若将“点P 为线段 OA 上任意一点”，改为“点P 为线段 OA 延长线上任意一点”，其他条件不变， 连接 CD，EN ⊥ CD，垂足为F，交y 轴于点H，交 x 轴于点N，请在图 2 中补全图形，求点N 的坐标 (用含m 的代数式表示) .
7. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 4,0，点B 为 y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB 为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC .
(1) 如图 1，若 OB = 3，则点 C 的坐标为 ；
(2) 如图 2，若 OB = 4，点D 为 OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰 Rt△BDE，连接AE，求证：AE ⊥ AB；
(3) 如图 3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF ．连接 CF，交y 轴于点P，求 线段BP 的长度.
8. (1) 如图 (1)，已知：在 △ABC 中，∠BAC = 90° , AB = AC，直线 m 经过点 A，BD ⊥ 直线 m，CE ⊥ 直线m，垂足分别为点D、E ．证明 ∶ DE = BD + CE .
(2) 如图 (2)，将 (1) 中的条件改为：在 △ABC 中，AB = AC，D、A、E 三点都在直线m 上，并且有
∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α ,其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论DE = BD + CE 是否成立？如
成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图 (3)，D、E 是D、A、E 三点所在直线m 上的两动点 (D、A、E 三点互不重合)， 点F 为 ∠BAC 平分线上的一点，且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若 ∠BDA =
∠AEC = ∠BAC，试判断 △DEF 的形状.
9. (1) 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图 1，已知：在 △ABC 中， ∠BAC = 90° , AB = AC，直线 l 经过点 A，BD ⊥ 直线 l，CE ⊥ 直线 l，垂足分别为点 D，E ．求证：
DE = BD + CE .
(2) 组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图 2，将 (1) 中的条件改为：在
△ABC 中，AB = AC，D，A，E 三点都在直线 l 上，并且有 ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α ,其中 α 为
任意锐角或钝角．请问结论DE = BD + CE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理
由.
(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 3，过 △ABC 的边 AB，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若
S△AEG= 7，则 S△AEI= .
10. 如图，在 ABC 中，AB = AC = 2，∠B = 40° ,点 D 在线段 BC 上运动 (点 D 不与点 B、C 重合)，连接 AD，作 ∠ADE = 40° , DE 交线段AC 于点E .
(1) 当 ∠BDA = 115° 时，∠EDC = ° , ∠AED = ° ;
(2) 线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌ △DCE，请说明理由；
(3) 在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求 ∠BDA 的度数；若不可 以，请说明理由.
11. 综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0) 且 a，b 满足 (a - 3)2+|a - 2b - 1 | = 0
(1) 求A，B 两点的坐标
(2) 已知 △ABC 中AB = CB，∠ABC = 90° ,求 C 点的坐标
(3) 已知AB = 10，试探究在 x 轴上是否存在点P，使 △ABP 是以AB 为腰的等腰三角形？若存在， 请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
12. 如图，在 △ABC 中，AB = BC .
(1) 如图①所示，直线NM过点B，AM ⊥ MN于点M，CN ⊥ MN于点N，且 ∠ABC = 90° . 求证：
MN = AM + CN .
(2) 如图②所示，直线MN过点B，AM 交MN于点M，CN 交MN于点N，且 ∠AMB = ∠ABC = ∠BNC，则MN = AM + CN是否成立？请说明理由.
13. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1) 如图 1，∠BAD = 90° , AB = AD，过点B 作BC ⊥ AC 于点 C，过点D 作DE ⊥ AC 于点E ．由
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠D = 90° ,得 ∠1 = ∠D ．又 ∠ACB = ∠AED = 90° ,可以推理得到 △ABC ≌ △DAE .
进而得到AC = ，BC = AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
(2) 如图 2，∠BAD = ∠CAE = 90° , AB = AD，AC = AE，连接BC，DE，且BC ⊥ AF 于点F，DE 与
直线AF 交于点 G ．求证：点 G 是DE 的中点；
(深入探究)
(3) 如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为 S1，△DCE 的面积为 S2，则有 S1 S2 (填“>、=、< ”)
14. 已知：CD 是经过 ∠BCA 的顶点 C 的一条直线，CA = CB ，E、F 是直线 CD 上两点，∠BEC =
∠CFA = ∠α .
(1) 若直线 CD 经过 ∠BCA 的内部，∠BCD > ∠ACD .
①如图 1，∠BCA = 90° , ∠α = 90° ,写出BE，EF，AF 间的等量关系： .
②如图 2，∠α 与 ∠BCA 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出 ∠α与 ∠BCA 的数量
关系 .
(2) 如图 3 ．若直线 CD 经过 ∠BCA 的外部，∠α = ∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证 明；若不成立，写出新结论并进行证明.
15. 通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现] 如图 1，∠BAD = 90° , AB = AD，过点B 作BC ⊥ AC 于点 C，过点D 作DE ⊥ AC 于点 E ．求证：BC = AE .
[模型应用] 如图 2，AE ⊥ AB 且AE = AB，BC ⊥ CD 且BC = CD，请按照图中所标注的数据，计算 图中实线所围成的图形的面积为 .
[深入探究] 如图 3，∠BAD = ∠CAE = 90° , AB = AD，AC = AE，连接BC，DE，且BC ⊥ AF 于点 F，DE 与直线AF 交于点 G ．若BC = 21，AF = 12，则 △ADG 的面积为 .一线三垂直与一线三等角
一、基础知识回顾
1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于 180°
2)1 平角 = 180 度
二、模型的概述：
1) 一线三垂直模型
[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过 45° 顶点作直线的垂线，构造三垂 直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。
基础构造 1 构造 2
一线三垂直模型一：如图 AB ⊥ BC，AB = BC，CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，则 ABD ≌ BCE，DE =
AD + EC
证明： ∵ CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，AB ⊥ BC
∴ ∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°
∴ ∠1 + ∠2 = 90° , ∠2 + ∠3 = 90°
∴ ∠1 = ∠3
∠1 = ∠3
在 ABD 和 BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°
AB = BC
∴ ABD ≌ BCE(AAS)
∴ AD = BE,EC = BD
则DE = BE + BD = AD + EC
一线三垂直模型二：如图 AB ⊥ BC，AB = BC，CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，则 ABD ≌ BCE，DE =
AD - EC
证明： ∵ CE ⊥ DE，AD ⊥ DE，AB ⊥ BC
∴ ∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°
∴ ∠A + ∠ABD = 90° , ∠ABD + ∠CBE = 90°
∴ ∠A = ∠CBE
∠A = ∠CBE
在 ABD 和 BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°
AB = BC
∴ ABD ≌ BCE(AAS)
∴ AD = BE,EC = BD
则DE = BE - BD = AD - EC
一线三垂直其它模型
1) 图 1，已知 ∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90° , AB = DC，得 ADB ≌ DEC
2) 图 2，延长DE 交AC 于点F，已知 ∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90° , AC = DE，得 ABC ≌ DBE
图 1 图 2
2) 一线三等角模型
[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型：
(同侧) 已知 ∠A = ∠CPD = ∠B = ∠α , CP = PD
(异侧) 已知 ∠EAC = ∠ABD = ∠DPC = ∠α , CP = PD
证明：以右图为例
∵ ∠ACP + ∠A + ∠CPA = 180° ,
∠DPB + ∠CPD + ∠CPA = 180° 而 ∠CAP = ∠CPD = ∠PBD = ∠α
∴ ∠ACP = ∠DPB 又 ∵ CP = PD ∴ ACP ≌ BPD(AAS)
【基础过关练】
1. 如下图所示，在 △ABC 中，∠ACB = 90° , AC = BC，BE ⊥ CE 于点 E，AD ⊥ CE 于点 D ． DE = 6cm，AD = 9cm，则BE 的长是 ()
A. 6cm B. 1.5cm C. 3cm D. 4.5cm
【答案】C
【分析】本题可通过全等三角形来求BE 的长. △BEC 和 △CDA 中，已知了一组直角，∠CBE 和
∠ACD 同为 ∠BCE 的余角，AC = BC，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为 CE = AD， BE = CD，因此只需求出 CD 的长即可．而 CD 的长可根据 CE 即AD 的长和DE 的长得出，由此可
得解.
【详解】解： ∵ ∠ACB = 90° , BE ⊥ CE，
∴ ∠BCE + ∠ACD = 90° , ∠BCE + ∠CBE = 90° ;
∴ ∠ACD = ∠CBE，又AC = BC，
∴ △ACD ≌ △CBE；
∴ EC = AD，BE = DC；
∵ DE = 6cm，AD = 9cm，则BE 的长是 3cm .
故选 C .
【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等， 先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去
证什么条件.
2. 如图，在 △ABC 中，AB = AC = 9，点 E 在边 AC 上，AE 的中垂线交 BC 于点 D，若 ∠ADE = ∠B， CD = 3BD，则 CE 等于 ()
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到 ∠B = ∠C，推出 ∠BAD = ∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得
到AD = ED，根据全等三角形的性质得到 CD = AB = 9，BD = CE，即可得到结论.
【详解】解： ∵ AB = AC = 9，
∴ ∠B = ∠C，
∵ ∠ADE = ∠B，∠BAD = 180° -∠B - ∠ADB，∠CDE = 180° -∠ADE- ∠ADB，
∴ ∠BAD = ∠CDE，
∵ AE 的中垂线交BC 于点D，
∴ AD = ED，
∠BAD = ∠CDE
在 △ABD 与 △DCE 中，〈 ∠B = ∠C ，
AD = ED
∴ △ABD ≌ △DCE(AAS)，
∴ CD = AB = 9，BD = CE，
∵ CD = 3BD，
∴ CE = BD = 3
故选：A .
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题.
3. 如图，AC = CE，∠ACE = 90° , AB ⊥ BD，ED ⊥ BD，AB = 6cm，DE = 2cm，则BD 等于 ()
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 4cm
【答案】B
【分析】根据题意证明 △ABC ≌ △CDE 即可得出结论.
【详解】解： ∵ AB ⊥ BD，ED ⊥ BD，
∴ ∠ABC = ∠CDE = 90° ,
∵ ∠ACE = 90° ,
∴ ∠ACB + ∠DCE = 90° ,
∵ ∠ACB + ∠BAC = 90° ,
∴ ∠BAC = ∠DCE，
∠ABC = ∠CDE = 90°
在 △ABC 和 △CDE 中，〈 ∠BAC = ∠DCE ，
AC = CE
∴ △ABC ≌ △CDE(AAS)，
∴ AB = CD = 6cm，BC = DE = 2cm，
∴ BD = BC + CD = 2 + 6 = 8cm，
故选：B .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本
题的关键.
4. 如图，△ABC 中，AC = BC,∠ACB = 90°,A(0,3),C(1,0)，则点B 的坐标为 .
【答案】(4，1)
【分析】如图，过点B 作BD ⊥ x 轴于D，根据点A、点 C 坐标可得 OA、OC 的长，根据同角的余角相
等可得 ∠OAC = ∠DCB，利用AAS 可证明 △OAC ≌ △DCB，根据全等三角形的性质可得BD =
OC，CD = OA，即可求出 OD 的长，进而可得答案.
【详解】如图，过点B 作BD ⊥ x 轴于D，
∵ A(0，3)，C(1，0)，
∴ OA = 3，OC = 1，
∵ ∠ACB = 90° ,
∴ ∠OCA + ∠DCB = 90° ,
∵ ∠OAC + ∠OCA = 90° ,
∴ ∠OAC = ∠DCB，
( ∠AOC = ∠CDB
在 △OAC 和 △DCB 中，〈 ∠OAC = ∠DCB ，
AC = BC
∴ △OAC ≌ △DCB，
∴ BD = OC = 1，CD = OA = 3，
∴ OD = OC + CD = 4，
∴ 点B 坐标为 (4，1) .
故答案为： (4，1)
【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关
键.
5. 如图，△ABC 为等腰直角三角形 AC = BC，若 A(-3，0)，C (0，2)，则点 B 的坐标为
(
.
)
【答案】(2，-1)
【分析】过点B 作BT ⊥ y 轴于点 T ．证明 △AOC △CTB，可得结论.
【详解】解：如图中，过点B 作BT ⊥ y 轴于点 T .
∵ A(-3，0)，C(0，2)，
∴ OA = 3，OC = 2，
∵ ∠AOC = ∠ACB = ∠CTB = 90° ,
∴ ∠ACO + ∠BCT = 90° , ∠BCT + ∠CBT = 90° ,
∴ ∠ACO = ∠CBT，
( ∠AOC = ∠CTB
在 △AOC 和 △CTB 中，〈 ∠ACO = ∠CBT ，
AC = CB
∴ △AOC △CTB(AAS)，
∴ AO = CT = 3，BT = CO = 2，
∴ OT = CT - CO = 1，
∴ B(2，-1)，
故答案为： (2，-1).
【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
6. 如图所示，△ABC 中，AB = AC,∠BAC = 90° . 直线 l 经过点 A，过点B 作BE ⊥ l 于点E，过点 C 作
CF ⊥ l 于点F ．若BE = 2,CF = 5，则EF = .
【答案】7
【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案； 【详解】解： ∵ BE ⊥ l，CF ⊥ l，
∴ ∠AEB = ∠CFA = 90° .
∴ ∠EAB + ∠EBA = 90° .
又 ∵ ∠BAC = 90° ,
∴ ∠EAB + ∠CAF = 90° .
∴ ∠EBA = ∠CAF .
在 △AEB 和 △CFA 中
∵ ∠AEB = ∠CFA，∠EBA = ∠CAF，AB =AC，
∴ △AEB ≌ △CFA .
∴ AE = CF，BE =AF .
∴ AE +AF =BE + CF .
∴ EF =BE + CF .
∵ BE = 2,CF = 5，
∴ EF = 2 + 5 = 7；
故答案为： 7 .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确
的证明三角形全等.
7. 如图，一个等腰直角三角形 ABC 物件斜靠在墙角处 (∠O = 90°)，若 OA = 50cm，OB = 28cm，则点 C 离地面的距离是 cm .
【答案】28
【分析】作 CD ⊥ OB 于点D，依据AAS 证明 ΔAOB ΔBDC,GMF，再根据全等三角形的性质即可
得到结论.
【详解】解：过点 C 作 CD ⊥ OB 于点D，如图，
∴ ∠CDB = ∠AOB = 90°
∵ ΔABC 是等腰直角三角形
∴ AB = CB，∠ABC = 90°
∴ ∠ABO + ∠CBD = 90°
又 ∠CBD + ∠BCD = 90°
∴ ∠ABO = ∠BCD
( ∠AOB = ∠BDC
在 ΔABO 和 ΔBCD 中，〈 ∠ABO = ∠BCD
AB = CB
∴ ΔABO ΔBCD(AAS)
∴ CD =BO = 28cm
故答案为： 28 .
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全
等三角形是解答本题的关键.
8. 如图，AB =BC，AB ⊥ BC，AE ⊥ BD 于F，BC ⊥ CD，求证：EC =AB - CD .
【答案】见解析
【分析】利用ASA 证明出 △ABE ≌ △BCD，在通过等量代换进行解答.
【详解】证明： ∵ AB ⊥ BC，CD ⊥ BC，
∴ ∠ABC = ∠ACD = 90°
∴ ∠AEB + ∠A = 90°
∵ AE ⊥ BD
∴ ∠BFE = 90°
∴ ∠AEB + ∠FBE = 90°
∴ ∠A = ∠FBE，
又 ∵ AB =BC，
∴ △ABE ≌ △BCD，
∴ AB =BC，BE = CD，
∴ EC =BC -BE =AB - CD
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代
换的思想来间接证明.
【提高测试】
1. 如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴的负半轴和正半轴上，以 AB 为边向上作正方形
ABCD，四边形 OEFG 是其内接正方形，若直线 OF 的表达式是y = 2x，则 S (S)正方形OEFG (正方形ABCD) 的值为 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据正方形性质易得 △GBO △FCG，从而可得 CG =BO、FC = GB，设 OB = a，BG = b ， 可得F 点坐标为 (a -b,a + b)，根据F 点在直线 OF 上，可求出 a = 3b，然后即可根据正方形面积和勾
股定理求出面积比.
【详解】解：在正方形ABCD，正方形 OEFG 中，∠OBG = ∠OGF = ∠GCF = 90° , FG = OG，
∴ ∠OGB + ∠GOB = ∠OGB + ∠CGF = 90° ,
∴ ∠GOB = ∠CGF，
( ∠OBG = ∠GCF
在 △GBO 和 △FCG 中，〈 ∠GOB = ∠FGC
OG =FG
∴ △GBO △FCG(AAS)
∴ CG =BO、FC = GB，
设 CG =BO = a、FC = GB = b，
∴ BC =BG + CG = a + b，HF = OB -FC = a -b，
∴ 点F 坐标为 (a -b,a + b)，
∵ 直线 OF 的表达式是y = 2x，
∴ 2(a -b) = a + b，
∴ a = 3b，
∴ S正方形ABCD=BC2= (a + b)2= (3b + b)2= 16b2，
S正方形OEFG= OG2= OB2+BG2= a2+b2= (3b)2+b2= 10b2，
∴ S (S)正 (正)方 (方)形 (形)O (A)E (B)F (C)G (D) = 1 (1)0 (6)b (b)2 (2) = 5 (8) ，
故选B .
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是根据正方形性质求证 △GBO △FCG (AAS)，从而用参数表示点F 坐标，再直线 OF 解析式求出线段之间关系.
2. 如图，AE ⊥ AB，且 AE = AB，BC ⊥ CD，且BC = CD，EF = 6，BG = 3，DH = 4，计算图中实线所
围成的图形的面积 S 是 .
【答案】50
【分析】易证 △AEF ≌ △BAG，△BCG ≌ △CDH 即可求得AF = BG，AG = EF，GC = DH，BG =
CH，即可求得梯形DEFH 的面积和 △AEF，△ABG，△CGB，△CDH 的面积，即可解题.
【详解】解： ∵ ∠EAF + ∠BAG = 90° , ∠EAF + ∠AEF = 90° ,
∴ ∠BAG = ∠AEF，
( ∠F = ∠AGB = 90°
∵ 在 △AEF 和 △BAG 中，〈 ∠AEF = ∠BAG ，
AE = AB
∴ △AEF ≌ △BAG(AAS)，
同理 △BCG ≌ △CDH，
∴ AF = BG，AG = EF，GC = DH，BG = CH，
∵ 梯形DEFH 的面积 = (EF + DH) FH = 80，
S△AEF = S△ABG = AF AE = 9，
S△BCG = S△CDH = CH DH = 6，
∴ 图中实线所围成的图形的面积 S = 80 - 2 × 9 - 2 × 6 = 50，
故答案为： 50 .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 △AEF ≌
△BAG，△BCG ≌ △CDH 是解题的关键.
3. 已知直线 l 经过正方形 ABCD 的顶点 A，过点 B 和点 D 分别作直线的垂线 BM 和 DN，垂足分别为
点M、点N，如果BM = 5，DN = 3，那么点M和点N之间的距离为 .
【答案】8 或 2##2 或 8
【分析】根据正方形的性质得出 ∠NAD = ∠MBA，再利用全等三角形的判定得出 △ABM ≌ △AND，
进而求出MN 的值，注意分类讨论.
【详解】如图 1，在正方形ABCD 中，
∵ ∠NAD + ∠BAM = 90° , ∠ABM + ∠BAM = 90° ,
∴ ∠NAD = ∠MBA，
∠AMB = ∠AND
∵ 在 △ABM 和 △DAN 中，〈 ∠ABM = ∠NAD
AB = AD
∴ △ABM ≌ △DAN(AAS)，
∴ AM = DN = 3，BM = AN = 5，
∴ MN = AM + AN = 3 + 5 = 8，
如图 2，在正方形ABCD 中，
∵ ∠DAN + ∠BAM = 90° , ∠ABM + ∠BAM = 90° ,
∴ ∠NAD = ∠MBA，
∠AMB = ∠DNA
∵ 在 △ABM 和 △DAN 中，〈 ∠ABM = ∠NAD
AB = AD
∴ △ABM ≌ △DAN(AAS)，
∴ AM = DN = 3，BM = AN = 5，
∴ MN = AN- AM = 5 - 3 = 2，
综上：MN = 8 或 2 .
故答案为： 8 或 2 .
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，将直线 l 与正方形
ABCD 的位置分类讨论是解题关键.
4. 如图，已知 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90° ,分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为 E、
F .
(1) 如图 1，过A 的直线与斜边BC 不相交时，直接写出线段EF、BE、CF 的数量关系是 ； (2) 如图 2，过A 的直线与斜边BC 相交时，探究线段EF、BE、CF 的数量关系并加以证明；
(3) 在 (2) 的条件下，如图 3，直线FA 交BC 于点H，延长BE 交AC 于点 G，连接BF、FG、HG，若 ∠AHB = ∠GHC，EF = CF = 6，EH = 2FH，四边形ABFG 的面积是 90，求 △GHC 的面积.
【答案】(1) 数量关系为： EF = BE + CF；(2) 数量关系为： EF = BE - CF ．证明见详解；(3)S△ GHC
= 15 .
【分析】(1) 数量关系为： EF = BE + CF ．利用一线三直角得到 ∠BEA = ∠AFC = 90° , ∠EBA = ∠FAC，再证 △EBA ≌ △FEC(AAS) 可得BE = AF，AE = CF 即可；
(2) 数量关系为： EF =BE - CF ．先证 ∠BEA = ∠AFC = 90° , ∠EBA + ∠EAB = 90° , ∠EAB +
∠FAC == 90° ,可得 ∠EBA = ∠FAC，再证 △EBA ≌ △FEC(AAS)，可得BE =AF，AE = CF 即可； (3) 先由 (2) 结论EF =BE - CF；EF = CF = 6，求出BE =AF = 12，由EH = 2FH，可求FH = 2，
EH = 4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG = = = 15，再求EG = 3，AH = 10，分别
求出 S△ACF = AF FC = 36，S△HCF = HF FC = 6，S△AGH = AH EG = 15，利用面积差
即可求出.
【详解】解：(1) 数量关系为： EF =BE + CF .
∵ BE ⊥ EF，CF ⊥ EF，∠BAC = 90° ,
∴ ∠BEA = ∠AFC = 90° , ∠EBA + ∠EAB = 90° , ∠EAB + ∠FAC = 180° -∠BAC = 90° ,
∴ ∠EBA = ∠FAC，
( ∠AEB = ∠CFA
∵ 在 △EBA 和 △FEC 中，〈 ∠EBA = ∠FAC ，
AB = CA
∴ △EBA ≌ △FAC(AAS)，
∴ BE =AF，AE = CF，
∴ EF =AF +AE =BE + CF；
(2) 数量关系为： EF =BE - CF .
∵ BE ⊥ AF，CF ⊥ AF，∠BAC = 90° ,
∴ ∠BEA = ∠AFC = 90° , ∠EBA + ∠EAB = 90° , ∠EAB + ∠FAC == 90° ,
∴ ∠EBA = ∠FAC，
( ∠AEB = ∠CFA
∵ 在 △EBA 和 △FEC 中，〈 ∠EBA = ∠FAC ，
AB = CA
∴ △EBA ≌ △FAC(AAS)，
∴ BE =AF，AE = CF，
∴ EF =AF -AE =BE - CF；
(3) ∵ EF =BE - CF；EF = CF = 6，
∴ BE =AF =EF + CF = 6 + 6 = 12，
∵ EH = 2FH，EH +FH =EF = 6，
∴ 2FH +FH = 6，
解得FH = 2，
∴ EH = 2FH = 4，
S四边形ABFG = 1 AF BG = 90，
2
∴ BG = 2 × 90 = 180 = 15
AF 12 ，
∴ EG =BG -BE = 15 - 12 = 3，AH =AE +EH = 6 + 4 = 10，
∵ S△ACF = AF FC = × 12 × 6 = 36，S△HCF = HF FC = × 2 × 6 = 6，S△AGH = AH
EG = 1 × 10 × 3 = 15
2 ，
∴ S△ GHC = S△ACF - S△HCF - S△AGH = 36 - 6 - 15 = 15 .
【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形 面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，
三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键.
5. 如图 1 所示，已知 △ABC 中，∠ACB = 90°,AC = BC，直线 m 经过点 C，过 A、B 两点分别作直线 m
的垂线，垂足分别为E、F .
(1) 如图 1，当直线m 在A、B 两点同侧时，求证：EF =AE +BF；
(2) 若直线m 绕点 C 旋转到图 2 所示的位置时 (BF (3) 若直线m 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时 (BF >AE) 其余条件不变，问EF 与AE，BF 的关系 如何？直接写出猜想结论，不需证明.
【答案】(1) 见解析；(2)EF =AE -BF，理由见解析；(3)EF =BF -AE，理由见解析
【分析】(1) 先证得 ∠AEC = ∠BFC = 90° , ∠EAC = ∠FCB，根据AAS 证 △EAC ≌ △FCB，推出 CE
=BF，AE = CF 即可；
(2) 类比 (1) 证得对应的两个三角形全等，由此可推出 CE =BF，AE = CF，再根据EF = CF - CE 即
可得到EF =AE -BF；
(3) 类比 (1) 证得对应的两个三角形全等，由此可推出 CE =BF，AE = CF，再根据EF = CE - CF 即
可得到EF =BF -AE .
【详解】(1) 证明： ∵ AE ⊥ EF，BF ⊥ EF，∠ACB = 90° ,
∴ ∠AEC = ∠BFC = ∠ACB = 90° ,
∴ ∠EAC + ∠ECA = 90° , ∠ECA + ∠FCB = 90° ,
∴ ∠EAC = ∠FCB，
∠AEC = ∠CFB
在 △EAC 和 △FCB 中，〈 ∠EAC = ∠FCB ，
AC = BC
∴ △EAC ≌ △FCB(AAS)，
∴ CE = BF，AE = CF，
∵ EF = CF + CE，
∴ EF = AE + BF；
(2) 解：EF = AE - BF，理由如下：
∵ AE ⊥ EF，BF ⊥ EF，∠ACB = 90° ,
∴ ∠AEC = ∠BFC = ∠ACB = 90° ,
∴ ∠EAC + ∠ECA = 90° , ∠ECA + ∠FCB = 90° ,
∴ ∠EAC = ∠FCB，
∠AEC = ∠CFB
在 △EAC 和 △FCB 中，〈 ∠EAC = ∠FCB ，
AC = BC
∴ △EAC ≌ △FCB(AAS)，
∴ CE = BF，AE = CF，
∵ EF = CF - CE，
∴ EF = AE - BF；
(3) 解：EF = BF - AE，理由如下：
∵ AE ⊥ EF，BF ⊥ EF，∠ACB = 90° ,
∴ ∠AEC = ∠BFC = ∠ACB = 90° ,
∴ ∠EAC + ∠ECA = 90° , ∠ECA + ∠FCB = 90° ,
∴ ∠EAC = ∠FCB，
∠AEC = ∠CFB
在 △EAC 和 △FCB 中，〈 ∠EAC = ∠FCB ，
AC = BC
∴ △EAC ≌ △FCB(AAS)，
∴ CE = BF，AE = CF，
∵ EF = CE - CF，
∴ EF = BF - AE .
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等 知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键.
6. 如图 1，在平面直角坐标中，点 A 0,m ，B m,0 ，C 0,-m ，其中 m> 0，点 P 为线段 OA 上任意一 点，连接BP，CE ⊥ BP 于E，AD ⊥ BP 于D .
(1) 求证：AD =BE；
(2) 当m = 3 时，若点N -3,0，请你在图 1 中连接 CD，EN 交于点 Q ．求证：EN ⊥ CD；
(3) 若将“点P 为线段 OA 上任意一点”，改为“点P 为线段 OA 延长线上任意一点”，其他条件不变， 连接 CD，EN ⊥ CD，垂足为F，交y 轴于点H，交 x 轴于点N，请在图 2 中补全图形，求点N 的坐标 (用含m 的代数式表示).
【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3) 见解析， -m,0
【分析】(1) 先根据点A0,m ，B m,0 ，C 0,-m ，得到 OA = OB = OC =m，则由三线合一定理得 到，AB =BC，证明 ∠ABC = 90° ,推出 ∠CBE = ∠BAD 即可证明 △ABD △BCE，得到AD =BE； (2) 先根据点N -3,0，得到 OA = OB = OC = ON = 3，则AC =BN = 6，再证明 ∠DAC = ∠EBN，
即可利用 SAS 证明 △DAC △EBN 得到 ∠ACD = ∠BNE，再由 ∠NGF = ∠CGO，可以推出 ∠NFG
= ∠COG = 90° ,即 CD ⊥ EN；
(3) 同样先证明 ∠CBE = ∠BAD，推出 △ABD △BCE，得到AD =BE，即可得到 ∠CAD = ∠NBE， 再由 ∠NOH = ∠CFH = 90° , ∠OHN = ∠FHC，得到 ∠ACD = ∠BNE，则 △ACD △BNE，推出AC
=BN = 2m .
【详解】证明： (1) 如图 1，∵ 点A0,m ，B m,0 ，C 0,-m ，
∴ OA = OB = OC =m，
∵ OB ⊥ AC，
∴ AB =BC，
∵ ∠AOB = ∠AOC = 90° ,
∴ ∠BAC = ∠BCA = ∠ABO = ∠CBO = 45° ,
∴ ∠ABC = 90° ,
∵ AD ⊥ BP，CE ⊥ BP，
∴ ∠ABC = ∠D = ∠CEB = 90°
∴ ∠ABD + ∠CBE = ∠ABD + ∠BAD = 90° ,
∴ ∠CBE = ∠BAD，
∴ △ABD △BCE AAS ，
∴ AD =BE；
(2) 如图 2，由 (1) 得 △ABD △BCE，
∴ AD =BE，
∵ m = 3，点N -3,0 ，
∴ OA = OB = OC = ON = 3，
∴ AC =BN = 6，
∵ ∠CBE = ∠BAD，∠BAC = ∠CBO = 45° ,
∴ ∠BAD - ∠BAC = ∠CBE- ∠CBO，
∴ ∠DAC = ∠EBN，
又 ∵ BE =AD，AC =BN，
∴ △DAC △EBNSAS
∴ ∠ACD = ∠BNE，
∵ ∠NGF = ∠CGO，
∴ ∠NFG = ∠COG = 90° ,
∴ CD ⊥ EN；
(3) 如图 3，由 (1) 得 OA = OB = OC =m，AB =BC，∠BAC = ∠CBO = 45° , ∠ABC = 90° ,
∵ AD ⊥ BP，CE ⊥ BP，
∴ ∠ABC = ∠ADB = ∠CEB = 90° ,
∵ ∠ABD + ∠CBE = ∠ABD + ∠BAD = 90° ,
∴ ∠CBE = ∠BAD，
∴ △ABD △BCE AAS ，
∴ AD =BE，
∵ ∠BAC + ∠BAD = ∠CBO + ∠CBE，
∴ ∠CAD = ∠NBE，
∵ EN ⊥ CD,x 轴 ⊥ y 轴，
∴ ∠NOH = ∠CFH = 90° ,
∵ ∠OHN = ∠FHC，
∴ ∠ACD = ∠BNE，
∴ △ACD △BNEAAS
∴ AC =BN = 2m，
∴ 点N 的坐标为 -m,0 .
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等， 解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件.
7. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 4,0，点B 为 y 轴正半轴上的一个动点，以B 为直角顶点，AB
为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC .
(1) 如图 1，若 OB = 3，则点 C 的坐标为 ；
(2) 如图 2，若 OB = 4，点D 为 OA 延长线上一点，以D 为直角顶点，BD 为直角边在第一象限作等腰 Rt△BDE，连接AE，求证：AE ⊥ AB；
(3) 如图 3，以B 为直角顶点，OB 为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF ．连接 CF，交y 轴于点P，求 线段BP 的长度.
【答案】(1) 点 C(3，7)；(2) 证明见详解过程；(3)2 .
【分析】(1) 如图 1，过点 C 作 CH ⊥ y 轴，由“AAS”可证 △ABO ≌ △BCH，可得 CH = OB = 3，BH =
AO = 4，可求解；
(2) 过点E 作EF ⊥ x 轴于F，由“AAS”可证 △ABO ≌ △BCH，可得BO = DF = 4，OD = EF，由等
腰直角三角形的性质可得 ∠BAO = 45° , ∠EAF = ∠AEF = 45° ,可得结论；
(3) 由 (1) 可知 △ABO ≌ △BCG，可得BO = GC，AO = BG = 4，再由“AAS”可证 △CPG ≌ △FPB，
可得PB = PG = 2 .
(1)
如图 1，过点 C 作 CH ⊥ y 轴于H，
∴ ∠CHB = ∠ABC = ∠AOB = 90° ,
∴ ∠BCH + ∠HBC = 90° = ∠HBC + ∠ABO，
∴ ∠ABO = ∠BCH，
r ∠CHB = ∠AOB
在 △ABO 和 △BCH 中，〈 ∠BCH = ∠ABO ，
BC = AB
∴ △ABO ≌ △BCH(AAS)，
∴ CH = OB = 3，BH = AO = 4，
∴ OH = 7，
∴ 点 C(3，7)，
故答案为： (3，7)；
(2)
过点E 作EF ⊥ x 轴于F，
∴ ∠EFD = ∠BDE = ∠BOD = 90° ,
∴ ∠BDO + ∠EDF = 90° = ∠BDO + ∠DBO，
∴ ∠DBO = ∠EDF，
∠BOD = ∠EFD
在 △BOD 和 △DFE 中，〈 ∠DBO = ∠EDF ，
BD = ED
∴ △BOD ≌ △DFE(AAS)，
∴ BO = DF = 4，OD = EF，
∵ 点A 的坐标为 (4，0)，
∴ OA = OB = 4，
∴ ∠BAO = 45° ,
∵ OA = DF = 4，
∴ OD = AF = EF，
∴ ∠EAF = ∠AEF = 45° ,
∴ ∠BAE = 90° ,
∴ BA ⊥ AE；
(3)
过点 C 作 CG ⊥ y 轴 G，
由 (1) 可知：△ABO ≌ △BCG，
∴ BO = GC，AO = BG = 4，
∵ BF = BO，∠OBF = 90° ,
∴ BF = GC，∠CGP = ∠FBP = 90° ,
又 ∵ ∠CPG = ∠FPB，
∴ △CPG ≌ △FPB(AAS)，
∴ BP = GP，
∴ BP = BG = 2 .
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加 恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.
8. (1) 如图 (1)，已知：在 △ABC 中，∠BAC = 90° , AB = AC，直线 m 经过点 A，BD ⊥ 直线 m，CE ⊥ 直线m，垂足分别为点D、E ．证明 ∶ DE = BD + CE .
(2) 如图 (2)，将 (1) 中的条件改为：在 △ABC 中，AB = AC，D、A、E 三点都在直线m 上，并且有
∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α ,其中 α 为任意锐角或钝角．请问结论DE = BD + CE 是否成立？如
成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图 (3)，D、E 是D、A、E 三点所在直线m 上的两动点 (D、A、E 三点互不重合)， 点F 为 ∠BAC 平分线上的一点，且 △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若 ∠BDA =
∠AEC = ∠BAC，试判断 △DEF 的形状.
【答案】(1) 见解析 (2) 成立，证明见解析 (3)△DEF 为等边三角形，证明见解析
【分析】(1) 因为DE = DA + AE，故由全等三角形的判定AAS 证 △ADB ≌ △CEA，得出DA = EC，
AE = BD，从而证得DE = BD + CE；
(2) 成立，仍然通过证明 △ADB ≌ △CEA，得出BD = AE，AD = CE，所以DE = DA + AE = EC +
BD；
(3) 由 △ADB ≌ △CEA 得BD = AE，∠DBA = ∠CAE，由 △ABF 和 △ACF 均等边三角形，得 ∠ABF
= ∠CAF = 60° , FB = FA，所以 ∠DBA + ∠ABF = ∠CAE + ∠CAF，即 ∠DBF = ∠FAE，所以
△DBF ≌ △EAF，所以FD = FE，∠BFD = ∠AFE，再根据 ∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠DFA +
∠BFD = 600 得到 △DEF 是等边三角形.
【详解】解：(1) 证明： ∵ BD ⊥ 直线m，CE ⊥ 直线m，
∴ ∠BDA = ∠CEA = 90° .
∵ ∠BAC = 90° ,
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90° .
∵ ∠BAD + ∠ABD = 90° ,
∴ ∠CAE = ∠ABD .
又AB = AC，
∴ △ADB ≌ △CEA(AAS) .
∴ AE = BD，AD = CE .
∴ DE = AE + AD = BD + CE；
(2) 成立．证明如下：
∵ ∠BDA = ∠BAC = α ,
∴ ∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° -α .
∴ ∠DBA = ∠CAE .
∵ ∠BDA = ∠AEC = α , AB = AC，
∴ △ADB ≌ △CEA(AAS) .
∴ AE = BD，AD = CE .
∴ DE = AE + AD = BD + CE；
(3)△DEF 为等边三角形．理由如下：
由 (2) 知，△ADB ≌ △CEA，BD = AE，∠DBA = ∠CAE，
∵ △ABF 和 △ACF 均为等边三角形，
∴ ∠ABF = ∠CAF = 60° .
∴ ∠DBA + ∠ABF = ∠CAE + ∠CAF .
∴ ∠DBF = ∠FAE .
∵ BF = AF，
∴ △DBF ≌ △EAF(SAS) .
∴ DF = EF，∠BFD = ∠AFE .
∴ ∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠DFA + ∠BFD = 60° .
∴ △DEF 为等边三角形.
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全
等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定.
9. (1) 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图 1，已知：在 △ABC 中， ∠BAC = 90° , AB = AC，直线 l 经过点 A，BD ⊥ 直线 l，CE ⊥ 直线 l，垂足分别为点 D，E ．求证：
DE = BD + CE .
(2) 组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图 2，将 (1) 中的条件改为：在
△ABC 中，AB = AC，D，A，E 三点都在直线 l 上，并且有 ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α ,其中 α 为
任意锐角或钝角．请问结论DE = BD + CE 是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理
由.
(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 3，过 △ABC 的边
AB，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若
S△AEG= 7，则 S△AEI= .
【答案】(1) 见解析；(2) 结论成立，理由见解析；(3)3.5
【分析】(1) 由条件可证明 △ABD ≌ △CAE，可得DA = CE，AE = BD，可得DE = BD + CE；
(2) 由条件可知 ∠BAD + ∠CAE = 180° -α ,且 ∠DBA + ∠BAD = 180° -α ,可得 ∠DBA = ∠CAE，结 合条件可证明 △ABD ≌ △CAE，同 (1) 可得出结论；
(3) 由条件可知EM = AH = GN，可得EM = GN，结合条件可证明 △EMI ≌ △GNI，可得出结论I 是
EG 的中点.
【详解】解：(1) 证明：如图 1 中，∵ BD ⊥ 直线 l，CE ⊥ 直线 l，
∴ ∠BDA = ∠CEA = 90° ,
∵ ∠BAC = 90° ,
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90° ,
∵ ∠BAD + ∠ABD = 90° ,
∴ ∠CAE = ∠ABD，
∠ABD = ∠CAE
在 △ADB 和 △CEA 中，〈 ∠BDA = ∠CEA ，
AB = AC
∴ △ADB ≌ △CEA(AAS)，
∴ AE = BD，AD = CE，
∴ DE = AE + AD = BD + CE .
(2) 解：成立.
理由：如图 2 中，
∵ ∠BDA = ∠BAC = α ,
∴ ∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE = 180° -α ,
∴ ∠DBA = ∠CAE，
∠BDA = ∠AEC
在 △ADB 和 △CEA 中，〈 ∠DBA = ∠CAE ，
AB = AC
∴ △ADB ≌ △CEA(AAS)，
∴ AE = BD，AD = CE，
∴ DE = AE + AD = BD + CE .
(3) 如图 3，过E 作EM ⊥ HI 于M，GN ⊥ HI 的延长线于N .
∴ ∠EMI = ∠GNI = 90°
由 (1) 和 (2) 的结论可知EM = AH = GN
∴ EM = GN
在 △EMI 和 △GNI 中，
(
EM
=
GN
) (
,
)〈 ∠GIN = ∠EIM
∠GNI = ∠EMI
∴ △EMI ≌ △GNI(AAS)，
∴ EI = GI，
∴ I 是EG 的中点.
∴ S△AEI = S△AEG = 3.5 .
故答案为： 3.5 .
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质， 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
10. 如图，在 ABC 中，AB = AC = 2，∠B = 40° ,点 D 在线段 BC 上运动 (点 D 不与点 B、C 重合)，连接 AD，作 ∠ADE = 40° , DE 交线段AC 于点E .
(1) 当 ∠BDA = 115° 时，∠EDC = ° , ∠AED = ° ;
(2) 线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌ △DCE，请说明理由；
(3) 在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求 ∠BDA 的度数；若不可 以，请说明理由.
【答案】(1)25° , 65° ; (2)2，理由见详解；(3) 可以，110° 或 80° .
【分析】(1) 利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
(2) 当DC = 2 时，利用 ∠DEC + ∠EDC = 140° , ∠ADB + ∠EDC = 140° ,求出 ∠ADB = ∠DEC，再利
用AB = DC = 2，即可得出 △ABD ≌ △DCE .
(3) 当 ∠BDA 的度数为 110° 或 80° 时，△ADE 的形状是等腰三角形.
【详解】解：(1) ∵ ∠B = 40° , ∠ADB = 115° ,
∴ ∠BAD = 180° -∠B - ∠ADB = 180° -115° -40° = 25° ,
∵ AB = AC，
∴ ∠C = ∠B = 40° ,
∵ ∠EDC = 180° -∠ADB - ∠ADE = 25° ,
∴ ∠DEC = 180° -∠EDC- ∠C = 115° ,
∴ ∠AED = 180° -∠DEC = 180° -115° = 65° ;
(2) 当DC = 2 时，△ABD ≌ △DCE，
理由： ∵ ∠C = 40° ,
∴ ∠DEC + ∠EDC = 140° ,
又 ∵ ∠ADE = 40° ,
∴ ∠ADB + ∠EDC = 140° ,
∴ ∠ADB = ∠DEC，
又 ∵ AB = DC = 2，
( ∠ADB = ∠DEC
在 △ABD 和 △DCE 中，〈 ∠B = ∠C
AB = DC
∴ △ABD ≌ △DCE(AAS)；
(3) 当 ∠BDA 的度数为 110° 或 80° 时，△ADE 的形状是等腰三角形，
∵ ∠BDA = 110° 时，
∴ ∠ADC = 70° ,
∵ ∠C = 40° ,
∴ ∠DAC = 70° ,
∴ △ADE 的形状是等腰三角形；
∵ 当 ∠BDA 的度数为 80° 时，
∴ ∠ADC = 100° ,
∵ ∠C = 40° ,
∴ ∠DAC = 40° ,
∴ △ADE 的形状是等腰三角形.
【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性 质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.
11. 综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0) 且 a，b 满足 (a - 3)2+|a - 2b - 1 | = 0
(1) 求A，B 两点的坐标
(2) 已知 △ABC 中AB = CB，∠ABC = 90° ,求 C 点的坐标
(3) 已知AB = 10，试探究在 x 轴上是否存在点P，使 △ABP 是以AB 为腰的等腰三角形？若存在，
请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)A(0，3)、B(1，0)；(2)C(4，1)；(3) 存在，P1 (1 - 10 ,0)，P2 (1 + 10 ,0)，P3 (-1,0)
【分析】(1) 由平方数和绝对值的非负性可得 a - 3 = 0，a - 2b - 1 = 0，从而求得 a = 3，b = 1，即可得
到A，B 两点的坐标.
(2) 过点 C 向 x 轴作垂线，垂足为D，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明 ΔAOB
ΔBDC，则 CD = OB = 1，BD = OA = 3，易得点 C 的坐标.
(3) 若 △ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：① BP =BA = 10，则P 在B 的左 侧，P 1 - 10 ,0 ；P 在B 右侧，P 1 + 10 ,0；② AP =AB，则易证 OP = OB = 1，故P -1,0 .
【详解】解：(1) ∵ a、b 满足 (a - 3)2+|a - 2b - 1 | = 0 .
∴ a - 3 = 0，a - 2b - 1 = 0，
∴ a = 3，b = 1，
∴ A(0，3)、B(1，0)；
(2) 如图，过点 C 向 x 轴作垂线，垂足为D，则 ∠AOB = ∠ABC = ∠BDC = 90° ,
∵ ∠1 + ∠3 = 90° , ∠2 + ∠3 = 90° ,
∴ ∠1 = ∠2
在 ΔAOB 和 ΔBDC 中，
∠AOB = ∠BDC
∵〈 ∠1 = ∠2
!AB =BC
∴ ΔAOB ΔBDC
∴ CD = 0B = 1，BD = OA = 3，
∴ C(4，1).
(3) 若AB 为腰，则分两种情况讨论：
①当BP =BA = 10 时，
若P 在B 的左侧，则 OP =BP - OB = 10 - 1，∴ P 1 - 10 ,0 ；
若P 在B 的右侧，则 OP = OB +BP = 1 +10，∴ P 1 +10 ,0 ；
②当AP =AB = 10 时，
∵ AO ⊥ BP，∴ 由等腰三角形三线合一可知 OP = OB = 1，
∴ P -1,0 .
综上所述，存在P1 (1 - 10 ,0)，P2 (1 + 10 ,0)，P3 (-1,0).
【点睛】本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性的方
法为解题关键.
12. 如图，在 △ABC 中，AB =BC .
(1) 如图①所示，直线NM过点B，AM ⊥ MN于点M，CN ⊥ MN于点N，且 ∠ABC = 90° . 求证：
MN =AM + CN .
(2) 如图②所示，直线MN过点B，AM 交MN于点M，CN 交MN于点N，且 ∠AMB = ∠ABC = ∠BNC，则MN =AM + CN是否成立？请说明理由.
【答案】(1) 见解析；(2)MN =AM + CN仍然成立，理由见解析
【分析】(1) 首先根据同角的余角相等得到 ∠BAM = ∠CBN，然后证明 △AMB △BNC AAS ，然后
根据全等三角形对应边相等得到AM =BN，BM = CN，然后通过线段之间的转化即可证明MN =
AM + CN；
(2) 首先根据三角形内角和定理得到 ∠MAB = ∠CBN，然后证明 △AMB △BNC AAS ，根据全等
三角形对应边相等得到MN = MB +BN，最后通过线段之间的转化即可证明MN =AM + CN .
【详解】证明： (1) ∵ AM ⊥ MN，CN ⊥ MN，
∴ ∠AMB = ∠BNC = 90° ,
∴ ∠ABM + ∠BAM = 90° ,
∵ ∠ABC = 90° ,
∴ ∠ABM + ∠CBN = 90° ,
∴ ∠BAM = ∠CBN，
(
,
) ∠AMB = ∠BNC
在 △AMB 和 △BNC 中，〈 ∠BAM = ∠CBN
AB =BC
∴ △AMB △BNC AAS ，
∴ AM =BN，BM = CN，
∵ BN + MB =MN，
∴ MN =AM + CN；
(2)MN =AM + CN仍然成立，理由如下：
∵ ∠AMB + ∠MAB + ∠ABM = ∠ABM + ∠ABC + ∠CBN = 180° ,
∵ ∠AMB = ∠ABC，
∴ ∠MAB = ∠CBN，
(
,
) ∠AMB = ∠BNC
在 △AMB 和 △BNC 中，〈 ∠BAM = ∠CBN
AB =BC
∴ △AMB △BNC AAS ，
∴ AM =BN，NC = MB，
∵ MN = MB +BN，
∴ MN =AM + CN .
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，解题的关键
是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到 ∠BAM = ∠CBN .
13. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1) 如图 1，∠BAD = 90° , AB =AD，过点B 作BC ⊥ AC 于点 C，过点D 作DE ⊥ AC 于点E ．由
∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠D = 90° ,得 ∠1 = ∠D ．又 ∠ACB = ∠AED = 90° ,可以推理得到 △ABC ≌ △DAE .
进而得到AC = ，BC =AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；
(2) 如图 2，∠BAD = ∠CAE = 90° , AB =AD，AC =AE，连接BC，DE，且BC ⊥ AF 于点F，DE 与
直线AF 交于点 G ．求证：点 G 是DE 的中点；
(深入探究)
(3) 如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为 S1，△DCE 的面积为 S2，则有 S1 S2 (填“>、=、< ”)
【答案】(1)DE；(2) 见解析；(3) =
【分析】(1) 根据全等三角形的性质可直接进行求解；
(2) 分别过点D 和点E 作DH ⊥ FG 于点H，EQ ⊥ FG 于点 Q，进而可得 ∠BAF = ∠ADH，然后可 证 △ABF ≌ △DAH，则有AF =DH，进而可得DH =EQ，通过证明 △DHG ≌ △EQG 可求解问题； (3) 过点D 作DO ⊥ AF 交AF 于 O，过点E 作EN ⊥ OD 交 OD 延长线于N，过点 C 作 CM ⊥ OD 交 OD 延长线于M，由题意易得 ∠ADC = ∠90° , AD =DC，DF =DE，然后可得 ∠ADO = ∠DCM，
则有 △AOD ≌ △DMC，△FOD ≌ △DNE，进而可得 OD =NE，通过证明 △ENP ≌ △CMP 及等积法
可进行求解问题.
【详解】解：(1) ∵ △ABC ≌ △DAE，∴ AC =DE；
(2) 分别过点D 和点E 作DH ⊥ FG 于点H，EQ ⊥ FG 于点 Q，如图所示：
∴ ∠DAH + ∠ADH = 90° ,
∵ ∠BAD = 90° ,
∴ ∠BAF + ∠DAH = 90° ,
∴ ∠BAF = ∠ADH，
∵ BC ⊥ AF，
∴ ∠BFA = ∠AHD = 90° ,
∵ AB = DA，
∴ △ABF ≌ △DAH，
∴ AF = DH，
同理可知AF = EQ，
∴ DH = EQ，
∵ DH ⊥ FG，EQ ⊥ FG，
∴ ∠DHG = ∠EQG = 90° ,
∵ ∠DGH = ∠EGQ
∴ △DHG ≌ △EQG，
∴ DG = EG，即点 G 是DE 的中点；
(3)S1= S2，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥ AF 交AF 于 O，过点E 作EN ⊥ OD 交 OD 延长线
于N，过点 C 作 CM ⊥ OD 交 OD 延长线于M
∵ 四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形
∴ ∠ADC = ∠90° , AD = DC，DF = DE
∵ DO ⊥ AF，CM ⊥ OD，
∴ ∠AOD = ∠CMD = 90° , ∠OAD + ∠ODA = 90° , ∠CDM + ∠DCM = 90° ,
又 ∵ ∠ODA + ∠CDM = 90° ,
∴ ∠ADO = ∠DCM，
∴ △AOD ≌ △DMC，
∴ S△AOD= S△DMC，OD = MC，
同理可以证明 △FOD ≌ △DNE，
∴ S△FOD= S△DNE，OD = NE，
∴ MC = NE，
∵ EN ⊥ OD，CM ⊥ OD，∠EPN = ∠CMP，
∴ △ENP ≌ △CMP，
∴ S△ENP= S△CMP，
∵ S△ADF= S△AOD+S△FOD,S△DCE= S△DCM-S△CMP+S△DEN+S△ENP，
∴ S△DCE= S△DCM+S△DEN= S△AOD+S△FOD,
∴ S△DCE= S△ADF 即 S1= S2 .
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全
等三角形的判定条件是解题的关键.
14. 已知：CD 是经过 ∠BCA 的顶点 C 的一条直线，CA = CB ，E、F 是直线 CD 上两点，∠BEC =
∠CFA = ∠α .
(1) 若直线 CD 经过 ∠BCA 的内部，∠BCD > ∠ACD .
①如图 1，∠BCA = 90° , ∠α = 90° ,写出BE，EF，AF 间的等量关系： .
②如图 2，∠α 与 ∠BCA 具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出 ∠α与 ∠BCA 的数量
关系 .
(2) 如图 3 ．若直线 CD 经过 ∠BCA 的外部，∠α = ∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证 明；若不成立，写出新结论并进行证明.
【答案】(1) ① EF = BE - AF；② ∠α + ∠BCA = 180° ,理由见解析；(2) 不成立，EF = BE + AF，证明
见解析
【分析】(1) ①求出 ∠BEC = ∠AFC = 90° , ∠CBE = ∠ACF，根据AAS 证 △BCE ≌ △CAF，推出BE
= CF，CE = AF 即可得出结论；②求出 ∠BEC = ∠AFC,∠CBE = ∠ACF，根据AAS 证 △BCE ≌
△CAF，推出BE = CF，CE = AF 即可得出结论;
(2) 求出 ∠BEC = ∠AFC，∠CBE = ∠ACF，根据AAS 证 △BCE ≌ △CAF，推出BE = CF，CE =
AF 即可得出结论.
【详解】(1) ① EF、BE、AF 的数量关系： EF = BE - AF，
证明：当 α = 90° 时，∠BEC = ∠CFA = 90° ,
∵ ∠BCA = 90° ,
∴ ∠BCE + ∠ACF = 90° ,
∵ ∠BCE + ∠CBE = 90° ,
∴ ∠ACF = ∠CBE，
∵ AC = BC,
∴ △BCE ≌ △CAF,
∴ BE = CF,CE = AF,
∵ CF = CE + EF,
∴ EF = CF - CE = BE - AF；
② ∠α 与 ∠BCA 关系： ∠α + ∠BCA = 180°
当 ∠α + ∠BCA = 180° 时，①中结论仍然成立;
理由是：如题图 2，
∵ ∠BEC = ∠CFA = ∠α , ∠CBE + ∠BCE + ∠BEC = 180°,∠α + ∠ACB = 180° ,
∴ ∠ACB = ∠CBE + ∠BCE
又 ∵ ∠ACB = ∠ACF + ∠BCE
∴ ∠CBE = ∠ACF,
∠BEC = ∠CFA
在 △BCE 和 △CAF 中，〈 ∠CBE = ∠ACF
BC = AC
∴ △BCE ≌ △CAF(AAS),
∴ BE = CF,CE = AF，
∴ EF = CF - CE = BE - AF;
故答案为:∠α + ∠BCA = 180° ;
(2)EF、BE、AF 的数量关系:EF = BE + AF，理由如下
∵ ∠BEC = ∠CFA = ∠α , ∠α = ∠BCA,
又 ∵ ∠EBC + ∠BCE + ∠BEC = 180° , ∠BCE + ∠ACF + ∠ACB = 180° ,
∴ ∠EBC + ∠BCE = ∠BCE + ∠ACF
∴ ∠EBC = ∠ACF，
∠EBC = ∠FCA
在 △BEC 和 △CFA 中，〈 ∠BEC = ∠CFA
BC = CA
∴ △ABE ≌ △CFA(AAS)
∴ AF = CE，BE = CF
∵ EF = CE + CF,
∴ EF = BE + AF .
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明 △BCE ≌ △CAF 是解题的关键.
15. 通过对数学模型“K 字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现] 如图 1，∠BAD = 90° , AB = AD，过点B 作BC ⊥ AC 于点 C，过点D 作DE ⊥ AC 于点 E ．求证：BC = AE .
[模型应用] 如图 2，AE ⊥ AB 且AE = AB，BC ⊥ CD 且BC = CD，请按照图中所标注的数据，计算 图中实线所围成的图形的面积为 .
[深入探究] 如图 3，∠BAD = ∠CAE = 90° , AB = AD，AC = AE，连接BC，DE，且BC ⊥ AF 于点 F，DE 与直线AF 交于点 G ．若BC = 21，AF = 12，则 △ADG 的面积为 . 【答案】[模型呈现] 见解析；[模型应用]50；[深入探究]63
【分析】[模型呈现] 证明 △ABC ≌ △DAE，根据全等三角形的对应边相等得到BC = AE；
[模型应用] 根据全等三角形的性质得到AP = BG = 3，AG = EP = 6,CG = DH = 4，CG = BG = 3， 根据梯形的面积公式计算，得到答案；
[深入探究] 过点D 作DP ⊥ AG 于P，过点E 作EQ ⊥ AG 交AG 的延长线于 Q，根据全等三角形的
性质得到DP = AF = 12,EQ = AF = 12,AP = BF,AQ = CF，证明 △DPG ≌ △EQG，得到PG =
GQ.，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】[模型呈现] 证明： ∵ ∠BAD = 90° ,
∴ ∠BAC + ∠DAE = 90° ,
∵ BC ⊥ AC,DE ⊥ AC，
∴ ∠ACB = ∠DEA = 90° ,
∴ ∠BAC + ∠ABC = 90° ,
∴ ∠ABC = ∠DAE，
( ∠ABC = ∠DAE
在 △ABC 和 △DAE 中，〈 ∠ACB = ∠DAE ，
BA = AD
∴ △ABC ≌ △DAE(AAS)，
∴ BC = AE；
[模型应用] 解：由 [模型呈现] 可知，△AEP ≌ △BAG,△CBG ≌ △DCH，
∴ AP = BG = 3,AG = EP = 6,CG = DH = 4,CG = BG = 3，
则 S实线围成的图形= (4 + 6) × (3 + 6 + 4 + 3) - × 3 × 6 - × 3 × 6 - × 3 × 4 - × 3 × 4 = 50，
故答案为： 50；
[深入探究] 过点D 作DP ⊥ AG 于P，过点E 作EQ ⊥ AG 交AG 的延长线于 Q，
由 [模型呈现] 可知，△AFB ≌ △DPA,△AFC ≌ △EQA，
∴ DP = AF = 12,EQ = AF = 12,AP = BF,AQ = CF，
在 △DPG 和 △EQG 中，
(
〈
∠
DPG
=
∠
EQG
)∠DGP = ∠EGQ ，
DP = EQ
∴ △DPG ≌ △EQG(AAS)，
∴ PG = GQ，
∵ BC = 21，
∴ AQ + AP = 21，
∴ AP + AP + PG + PG = 21，
∴ AG = AP + PG = 10.5，
(
1
2
)∴ S△ADQ=
× 10.5 × 12 = 63，
故答案为： 63 .
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是
解题的关键.

展开更多......

收起↑