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高一数学（沪教版2020选修第二册）
第7章 概率初步（续）
7.３超几何分布（第2课时）
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
学习目标
2 超几何分布
再看另外一个常见的概率模型．
例３ 设袋中装有大小与质地相同的６个白球、４个黑球．现在依次不放回地摸５个球，用 X 表示摸出的白球个数．求X的分布．
解 首先，因为所考虑的是白球的个数，与摸球的顺序无关，而且是不放回地摸球，所以从随机性的角度讲，依次摸出５个球和一次摸出５个球是一样的．其次，由于是不放回地摸球，前面摸球的结果会影响后面摸球的结果，因此考虑问题的方法应该不同于放回摸球的情况．
所以，一般地说，
其中，K的取值范围由以下几个条件决定：取得的白球个数不能超过 n，也不能超过a；同时，取得的黑球个数不能超过b，即成立
因此，如果一袋中装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球，依次随机且不放回地取n个球，用 X 表示其中的白球数，那么 X 的分布可由下式给出：
定义 从一个装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球的袋中随机且不放回地取n个球，其中的白球数的分布称为超几何分布（ ｈｙｐｅｒ-ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ）
例４ 计算例３中X的期望．
解 我们将利用期望的性质来进行计算．
从装有大小与质地相同的a个白球、b个黑球的袋子中不放回地随机取n个球，n不能超过总个数 a ＋ b．用 X 表示其中的白球个数．这可以想象成依次取球，用 X K 表示第K次取球的结果：如果是白球，X K＝１；如果是黑球，X K＝０．那么
本章７．１节中例４已经证明，抽签概率与顺序无关，所以
因此
从而
即X 的期望为取球的个数乘白球的比例．这与放回摸球情况下
取得白球个数的期望是一样的．
从二项分布的期望计算到超几何分布的期望计算，可以看出，虽然期望和方差是用分布来定义的，但是其计算过程实际上不一定要用到分布，而只要使用期望和方差的性质即可．
二项分布和超几何分布的区别，实质上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的区别．当a ＋b 远大于 n 时，放回与不放回两种情况下的分布之间差别不大，即二项分布与超几何分布之间差别不大．
课本练习
练习７．３（２）
１．盒子中有大小与质地相同的３个白球、１个黑球，若从中随机
地摸出２个球，求它们颜色不同的概率．
２．从放有６黑２白共８颗珠子的袋子中抓３颗珠子，分别求黑珠
颗数 X 与白珠颗数 Y 的分布、期望与方差．
３．从一副去掉大小王牌的５２张扑克牌中任取５张牌，求：
（１）至少有一张黑桃的概率；
（２）至少有一个对子（两张牌的数字一样）的概率
随堂检测
1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.
设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为：
解：
2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.
设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为：
解：
3．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
解　设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.
故X的分布列为
4. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X
表示所选3人中女生的人数.
(1) 求X的分布列与均值；
(2) 求所选3人中至多有1名女生的概率.
解：
(1) 由题意可知，X服从超几何分布，所以X分布列为
所得金额的均值为
(2) 所选3人中至多有1名女生的概率为

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