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(共24张PPT)
人教A版同步教材名师课件
平面向量的应用
---典型例题
本节内容是利用向量方法解决某些简单的平面几何问题;会用向量方法解决简单的力学问题与其他实际问题,高考中出现平面向量与平面几何相结合、平面向量作为数学工具与平面解析几何结合的题目,选择题、填空题出现不多,主要以解答题的形式出现.
考情分析
典例1、[分析计算能力]在平行四边形中,.若点满足,则（ ）
A.20 B.15 C.36 D.6
题型1 平面向量与平面几何
方法一 根据向量的运算法则表示向量和,运用向量数量积的结合律公式进行计算;方法二 通过建立直角坐标系表示向量的坐标,运用向量数量积的坐标运算公式进行计算.
思路
典例1、[分析计算能力]在平行四边形中,.若点满足,则（ ）
A.20 B.15 C.36 D.6
题型1 平面向量与平面几何
方法一:由知,点是的一个四等分点,且,点是的一个三等分点,且,
所以,
所以,
解析
典例1、[分析计算能力]在平行四边形中,.若点满足,则（ ）
A.20 B.15 C.36 D.6
题型1 平面向量与平面几何
所以.
解析
典例1、[分析计算能力]在平行四边形中,.若点满足,则（ ）
A.20 B.15 C.36 D.6
题型1 平面向量与平面几何
方法二:不妨设为直角,以所在直线为轴,所在直线为轴建立，
如图所示的平面直角坐标系,则,
所以,
所以.
解析
典例2[简单问题解决能力]在平面直角坐标系中,已知圆,点在圆上,且,则的最大值是_______.
解决本题可利用中点去研究,先通过坐标关系,将转化为,根据得到点的轨迹,由图形的几何特征,运算求出模的最大值得到本题答案.
思路
题型2 平面向量与解析几何
典例2[简单问题解决能力]在平面直角坐标系中,已知圆,点在圆上,且,则的最大值是_______.
题型2 平面向量与解析几何
设中点.
,.
圆,,圆心,半径.
点在圆上,且,,即
点在以为圆心,半径的圆上.
..
解析
本题结合三角函数知识,利用向量法解决问题.根据向量共线定理和模长计算公式,计算可得出的坐标;将代入,结合二次函数求出最值.
思路
题型3 平面向量与三角函数
典例3、 [综合问题解决能力]在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知向量.
(1)若,且,求向量的坐标;
(2)若,求的最小值.
题型3 平面向量与三角函数
典例3、 [综合问题解决能力]在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知向量.
(1)若,且,求向量的坐标;
(2)若,求的最小值.
(1)因为,又,
所以.所以.①
又因为,所以.②
由①②,得,所以.所以.
当时,舍去,当时,,
所以,所以.
解析
题型3 平面向量与三角函数
典例3、 [综合问题解决能力]在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知向量.
(1)若,且,求向量的坐标;
(2)若,求的最小值.
(2)由可知,所以
,
所以当时,.
解析
典例4、[分析计算能力]在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若,求的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
本题利用平面向量基本定理与正、余弦定理相结合分析计算解决问题.
(1)依照条件形式,使用正弦定理化角为边,再用余弦定理求出,从而得出角的值;(2)先利用余弦定理找出的关系,再利用基本不等式放缩,求出的取值范围.
思路
典例4、[分析计算能力]在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若,求的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
(1)由及正弦定理
得.
由余弦定理得,
又,所以.
解析
典例4、[分析计算能力]在中,角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若,求的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
(2)由及,得,即,
所以,所以,
当且仅当时,等号成立.
又,所以,所以的取值范围为.
解析
典例5、[综合问题解决能力]已知.
(1)求函数取最大值时的取值集合;
(2)设锐角的角所对的边分别为,,求的面积的最大值.
题型5 正、余弦定理与三角函数的综合运用
(1)结合三角函数的二倍角公式进行逻辑推理,利用三角函数的图象和性质分析计算求最值.(2)根据角的范围确定角,根据余弦定理表示,通过基本不等式求的最值进行综合分析,解决三角形的面积最值.
思路
典例5、[综合问题解决能力]已知.
(1)求函数取最大值时的取值集合;
(2)设锐角的角所对的边分别为,,求的面积的最大值.
题型5 正、余弦定理与三角函数的综合运用
(1).
令,即时,取最大值,
所以,此时的取值集合是.
解析
典例5、[综合问题解决能力]已知.
(1)求函数取最大值时的取值集合;
(2)设锐角的角所对的边分别为,,求的面积的最大值.
题型5 正、余弦定理与三角函数的综合运用
(2)由,得.因为,所以,
所以,则在中,由余弦定理,
得,即,当且仅当时取等号,
所以的面积.
因此的面积的最大值为.
解析
本题通过直观图形,利用正、余弦定理进行分析计算.(1)在和中,利用正弦定理表示出和,从而运算求解比值.(2)直接利用正弦定理解三角形.
思路
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在中,平分,且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
.
(1)在中,;在中,
因为平分,且,所以.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在中,平分,且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
.
解析
(2)由正弦定理及(1)可知.因为,
所以,
因为,所以.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在中,平分,且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
.
解析
,
.
又
.
解析
题型7 正、余弦定理在实际生活中的运用
典例7、[简单问题解决能力]如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为,山脚处的俯角为,已知,则山的高度为( )
A. B. C. D.
.
在中,,
,
.
解析
题型7 正、余弦定理在实际生活中的运用
典例7、[简单问题解决能力]如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为,山脚处的俯角为,已知,则山的高度为( )
A. B. C. D.
.
根据三角形面积公式分析计算,再利用正弦定理和余弦定理解三角形进行化简求值.
思路
题型8 三角形的面积公式
典例8、[分析计算能力]在中,,其面积为,则等于( )
A. B. C. D.
.
由题意知,,即,解得.
由余弦定理得,
即,由于.
题型8 三角形的面积公式
典例8、[分析计算能力]在中,,其面积为,则等于( )
A. B. C. D.
.
解析

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