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圆的七类考法
一．求圆的方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
3．圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
4.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|(2)|AC|＝r 点A在圆上 ；
(3)|AC|>r 点A在圆外 .
二．圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
考向一 圆的方程
【例1】（1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为 。
（2）求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
【举一反三】
1.已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为( )
A． B．
C． D．
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
考向二 点与圆的位置关系
【例2】．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为 。
【举一反三】
1．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为______
考向三 圆与圆的位置关系
【例3】．两圆和的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 内切 C． 外切 D． 外离
【举一反三】
1．圆 和圆的位置关系为( ).
A． 相离 B． 相交 C． 外切 D． 内含
2.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．
考向四 两圆的相交弦
【例4】圆x2＋y2－2x－6y＋6＝0与圆x2＋y2－6x－10y＋30＝0的公共弦所在的直线方程是__________．
【举一反三】
1. 已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点．
(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；
(2)求AB的长．
2.圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
3.已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，则公共弦所在直线的方程为________．
考向五　与圆有关的最值问题
【例5】 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上
（1）求x＋y的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【举一反三】
1.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
求：(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
考向六 　与圆有关的轨迹问题
【例6】 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【举一反三】
1. 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
考向七 求参数
例1 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为________．
(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．
【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是________．
1.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是________．
5．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．
7．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为________．
8．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________．
9．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是________________．
10．圆心M在曲线y2＝－18x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1外切，则圆M的方程为________________．
11．若圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是________．
12．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，的最大值 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为____________．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．圆的七类考法答案
考向一 圆的方程
【例1】（1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为 。
（2）求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
【答案】（1）x2+（y–3）2=1 （2）2＋2＝.
【解析】（1）x2+（y–3）2=1由题意，可设圆心坐标为（0，a）．
∵圆的半径为1，∴圆的标准方程为x2+（y–a）2=1，又圆过点（1，3），∴12+（3–a）2=1，解得a=3，
∴所求圆的方程为x2+（y–3）2=1．
（2）方法一　设圆心为C，
所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C，∴kCB＝.
∵圆C与直线l相切，∴kCB·kl＝－1，即·＝－1. ①
又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0， ②
又82＋62＋8D＋6E＋F＝0. ③
联立①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30，
∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
方法二　设圆的圆心为C，则CB⊥l，
可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，
即3x－y－18＝0. ①
由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．
又kAB＝＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，
即x＋y－4＝0.②由①②联立，解得即圆心坐标为.
∴所求圆的半径r＝ ＝，
∴所求圆的方程为2＋2＝.
【举一反三】
1.已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为圆的圆心坐标为(2,-3),所以设圆的方程为，
因为圆过点(-1,-1)，所以，即，展开得，选D.
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】设，则，故圆C的方程为
考向二 点与圆的位置关系
【例2】．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为 。
【答案】圆内。
【解析】将 代入圆方程得 ，因此点在圆内。
【举一反三】
1．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为______
【答案】
【解析】由题意，解得，又，∴．
考向三 圆与圆的位置关系
【例3】．两圆和的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 内切 C． 外切 D． 外离
【答案】B
【解析】由圆的圆心为，半径为1，圆圆心为半径为3，
所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B.
【举一反三】
1．圆 和圆的位置关系为( ).
A． 相离 B． 相交 C． 外切 D． 内含
【答案】B
【解析】分别求出两个圆的标准方程为C1：（x+1）2+y2=4，圆心C1：（-1，0），半径r=2．
C2：x2+（y-2）2=1，圆心C2：（0，2），半径R=1，则 ，
∵r-R=2-1=1，R+r=1+2=3，∴1＜|C1C2|＜3，∴两个圆相交．故选：B．
2.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________．
【答案】　相交
【解析】∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心为N(1,1)，半径r2＝1，∴MN＝＝，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2考向四 两圆的相交弦
【例4】圆x2＋y2－2x－6y＋6＝0与圆x2＋y2－6x－10y＋30＝0的公共弦所在的直线方程是__________．
【答案】x+y-6=0
【解析】两圆相减得x＋y－6＝0．所以两圆公共弦所在直线方程为x＋y－6＝0.故答案为：x＋y－6＝0
【举一反三】
1. 已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点．
(1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程；
(2)求AB的长．
【答案】（1）4x＋3y－10＝0.（2）10
【解析】　(1)直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0.
(2)由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d＝＝5，圆C的半径r＝5，所以AB＝2＝10.
2.圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
【答案】　2
【解析】由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2.
3.已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，则公共弦所在直线的方程为________．
【答案】　3x－2y＝0【解析】圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，
即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝；
圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝.
∵C1C2＝＝∈(－，＋)，
∴圆C1与圆C2相交．
由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0， ①
圆C2：x2＋y2－4y－6＝0， ②
①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0.
∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.
考向五　与圆有关的最值问题
【例5】 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上
（1）求x＋y的最大值和最小值．
（2）求的最大值和最小值．
（3）求的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
（2）可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（3）　＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
【举一反三】
1.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
求：(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【答案】见解析
【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝x＋b与圆相切时，其在y轴上的截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
考向六 　与圆有关的轨迹问题
【例6】 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． （2）(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【解析】(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CD＝AB＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【举一反三】
1. 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【答案】(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
【解析】如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，
整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
考向七 求参数
例1 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为________．
(2)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．
【答案】(1)7　(2)－
【解析】(1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故＋＝2＝(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，
∴＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，∴当x＝－1时有最大值＝7.
(2)∵S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB≤.
当∠AOB＝时，△AOB的面积最大．此时O到AB的距离d＝.
设AB的方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.
由d＝＝，得k＝－..
【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是________．
【答案】(2－2，2)∪(2,2＋2)
【解析】由题意以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，所以－2＋21.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.
【答案】＋y2＝.
【解析】由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，则有解得所以圆的标准方程为＋y2＝.
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.
【答案】(x－2)2＋y2＝9
【解析】∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.
则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.∴圆C的半径r＝|CM|＝＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________．
【答案】　相交
【解析】两圆圆心距d＝＝.又r1＝2，r2＝3，∴r2－r1＝1∴两圆相交．
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ的最小值是________．
【答案】　3－5
【解析】把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.
圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3.所以PQ的最小值是3－5.
5．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
【答案】(x－2)2＋2＝
【解析】因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．
又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，解得m＝－.所以圆C的方程为(x－2)2＋2＝.
6．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是______________．
【答案】(x－1)2＋(y＋2)2＝25
【解析】设出要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.
7．已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为________．
【答案】　(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
【解析】到直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立方程组解得又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
8．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________________．
【答案】　x2＋y2－10y＝0
【解析】根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，
解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
9．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是________________．
【答案】(x－1)2＋(y－)2＝4
【解析】　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.
10．圆心M在曲线y2＝－18x上，圆M与y轴相切且与圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1外切，则圆M的方程为________________．
【答案】　2＋(y－3)2＝或(x＋2)2＋(y－6)2＝4
【解析】设圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵b2＝－18a，r＝|a|，∴a＝－，r＝，
圆心C(－2,3)，rc＝1，又圆M与圆C外切，则MC＝r＋rc，即＝r＋1，
即 ＝＋1，解得b＝3或b＝6.
∴圆M的方程为2＋(y－3)2＝或(x＋2)2＋(y－6)2＝4.
11．若圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是________．
【答案】　
【解析】由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，
∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
∴该直线经过圆心(－2,6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号．
12．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，的最大值 ．
【答案】2.
【解析】　表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离．
当x≥0，y≥0时，x2＋y2－2x－2y＝0化为2＋2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×＝2，
当x<0，y<0时，x2＋y2＋2x＋2y＝0化为2＋2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×＝2，
当x≥0，y<0时，x2＋y2－2x＋2y＝0化为2＋2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×＝2，
当x<0，y≥0时，x2＋y2＋2x－2y＝0化为2＋2＝2，
曲线上的点到原点的距离的最大值为2×＝2.
综上可知，的最大值为2.
13．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＝4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为____________．
【答案】4＋4
【解析】方法一　由图形可得·＝(＋)·(＋)＝||2＋·(＋)＝4＋·(＋)≤4＋||·|＋|＝4＋4，
当且仅当P为直线y＝－x与圆在第二象限交点处取得．
方法二　设P(x，y)，又M(2,0)，N(0，－2)，
所以·＝(2－x，－y)·(－x，－2－y)＝x2－2x＋y2＋2y＝4－2(x－y)．
设x＝2cos θ，y＝2sin θ，
所以·＝4－4(cos θ－sin θ)＝4－4cos≤4＋4.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0)．
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又BC＝OA＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝ ＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴PQ≤2r＝10.∴TA＝PQ≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.故所求t的取值范围为[2－2，2＋2]．

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