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直线与圆的综合运用
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0Δ＝0Δ<0.
考向一 直线与圆的位置关系
【例1】（1）4．圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离
（2）在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．
（3）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．
【举一反三】
1．若直线与圆相切，则a=______．
2．若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆过点，圆心为．
（1）求圆的标准方程；
（2）如果过点且斜率为的直线与圆没有公共点，求实数的取值范围．
考向二 直线与圆的弦长
【例2】（1）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
（2）已知直线与圆交于两点（为坐标原点），且，则 。
【举一反三】
1．圆：被直线截得的线段长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2.圆：被直线截得的线段长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
3．直线被圆C:所截的弦长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
考向三　切线问题
【例3】已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【举一反三】
1. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
2．已知圆的方程为，则在轴上截距为的圆的切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）
A．x+4y-4=0 B．2x+y-5=0 C．x=2 D．x+y-3=0
考向四 圆上的点到直线距离最值
【例4】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是________．
1．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________________．
1．“”是“直线与圆相切”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
3．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为
A． B． C． D．
4．直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为________.
7．已知直线与圆相切于点，则直线的方程为_____．
8．圆与直线相交于，两点，则弦_______．
9．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.
10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________________．
11．已知直线过点，直线与关于轴对称，且过圆：的圆心，则圆心到直线的距离为__________．
12．过原点作圆的两条切线，则两条切线所成的锐角_________.
13.过点(1，1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx被圆x2＋y2－2mx－2my＋3m2－1＝0截得的弦长是定值(与实数m无关)，则实数k的值为________．
15.已知圆O：x2＋y2＝1，若直线y＝x＋2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．
16在平面直角坐标系xOy中，若过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．
17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝2，直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|＋|≥|－|，则b的取值范围是________________．
18．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则PA的最小值为________．
19. 已知直线l：kx－y－2k＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；
(2)若k＝1，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．直线与圆的综合运用
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0Δ＝0Δ<0.
考向一 直线与圆的位置关系
【例1】（1）4．圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离
（2）在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．
（3）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．
【答案】（1）B （2）相切 （3）[0,10]
【解析】（1）由题意知圆心到直线的距离且，所以直线与圆相交但不过圆心．
（2）　因为asin A＋bsin B－csin C＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.
故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，
故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．
（3）圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
所以圆心为(－1,2)，半径r＝1，
圆心到直线3x＋4y－m＝0的距离d＝＝，
∵直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，∴0≤≤1，解得0≤m≤10，
∴实数m的取值范围是[0,10]．
【举一反三】
1．若直线与圆相切，则a=______．
【答案】
【解析】由题意，直线与圆相切，
所以d ，解得．故答案为：．
2．若曲线与直线始终有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵y表示在x轴上方的部分（包括x轴上的点），
作出函数y与y＝x+b图象，
由图可知：当直线与圆相切时，，即得,结合图像可知，
又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线与直线始终有公共点，则﹣1.
故选：A．
3．已知圆过点，圆心为．
（1）求圆的标准方程；
（2）如果过点且斜率为的直线与圆没有公共点，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知可得圆的半径为．
∴圆的标准方程；
（2）由题意可知，直线方程为，即．由，解得．
∴实数的取值范围是．
考向二 直线与圆的弦长
【例2】（1）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
（2）已知直线与圆交于两点（为坐标原点），且，则 。
【答案】（1）　2 （2）
【解析】（1）∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝1，∴弦长AB＝2＝2.
（2）因为直线与圆交于两点，且
所以圆的半径为 ，
由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为 由垂径定理可得
代入可得解方程可得
【举一反三】
1．圆：被直线截得的线段长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】圆：的圆心为，半径为1
圆心到直线的距离为，弦长为，故选C。
2.圆：被直线截得的线段长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【解析】因为圆：的圆心为，半径；
所以圆心到直线的距离为，
因此，弦长.故选D
3．直线被圆C:所截的弦长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【解析】直线过定点M，当直线与CM垂直时弦长最短，
圆的半径为4，圆心到定点M的距离为，所以弦长的最小值为，
故选:.
考向三　切线问题
【例3】已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【答案】见解析
【解析】(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，∴m＝±5，∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.
【举一反三】
1. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
【答案】　2
【解析】　如图，由题意知，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，
由PA＝PB易知，四边形PACB的面积为(PA＋PB)＝PA，
故PA最小时，四边形PACB的面积最小．
由于PA＝，故PC最小时PA最小，
此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝＝3，PA＝＝2，
所以四边形PACB面积的最小值是2.
2．已知圆的方程为，则在轴上截距为的圆的切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】在轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为，则，所以，故所求切线方程为或.
3．已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）
A．x+4y-4=0 B．2x+y-5=0 C．x=2 D．x+y-3=0
【答案】D
【解析】根据题意，设圆：的圆心为M，且M（0，1），点N（1，2），
有，则点N在圆上，则过点N的切线有且只有1条；则，
则过点（1，2）作该圆的切线的斜率k=-1，切线的方程为y-2=-（x-1），变形可得x+y-3=0，故选：D．
考向四 圆上的点到直线距离最值
【例4】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是________．
【答案】5
【解析】　圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，
圆心到直线的距离为＝2<3，
故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为3＋2＝5.综上可得，圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是5－0＝5.
【举一反三】
1．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________________．
【答案】.
【解析】A为圆上一动点,将圆化简得到，圆心为（2，2），点到直线的距离最大时，就是圆心到直线的距离再加上半径即可，
根据点到直线的距离公式得到 距离的最大值为
故答案为：.
1．“”是“直线与圆相切”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线与圆相切，
所以.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离，圆的半径为3，
0，即直线与圆相交，故选：.
3．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设AB的中点为M，圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0），
直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，
则直线OM的方程为yx，M为直线AB与直线OM的交点，则有，
解可得：，则M的坐标为（，）；故选：A．
4．直线与双曲线交于，两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设，由根据圆的方程可知，为的中点
根据双曲线中点差法的结论
由点斜式可得直线AB的方程为将直线AB方程与双曲线方程联立
解得或，所以
由圆的直径可解得故选A.
5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意直线，圆均过原点，通过图形观察可知 为等腰三角形，且，，所以.
故选A.
6．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为________.
【答案】
【解析】由l：得a（x2）+y2=0
∴不论a取何值，直线l恒过点P（2,2）
∵ ∴点P（2,2）在圆C内
故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时,故直线的方程为
7．已知直线与圆相切于点，则直线的方程为_____．
【答案】
【解析】根据题意，圆即其圆心
直线与圆相切于点
则在直线上且与直线垂直，
，则有，则有，
又由在直线上，则有解可得
则直线的方程为故答案为：
8．圆与直线相交于，两点，则弦_______．
【答案】
【解析】由题得圆心到直线的距离为，所以|AB|=.故答案为：
9．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.
【答案】.
【解析】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，
所以直线的斜率为；
又因为是圆的一条弦，为的中点，所以，故，即直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.故答案为
10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________________．
【答案】3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0
【解析】圆心为(－1,2)．
设所求的直线方程为3x＋4y＋D＝0，由点到直线的距离公式，得＝2，即＝2，
解得D＝5或－15.故所求的直线方程为：3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0.
11．已知直线过点，直线与关于轴对称，且过圆：的圆心，则圆心到直线的距离为__________．
【答案】
【解析】由题可知，圆的标准方程为，所以，则的斜率，因为与关于轴对称，所以直线的斜率，所以：，即，所以圆心到直线的距离.故答案为
12．过原点作圆的两条切线，则两条切线所成的锐角_________.
【答案】
【解析】根据题意作出图像如下：其中是圆的切线，为切点，为圆心，
则
由圆的方程可得：圆心，圆的半径为：，
在中，可得：，又将平分，所以
13.过点(1，1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________.
【答案】x＋2y－3＝0
【解析】易知点(1，1)在圆内，且直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即kx－y＋1－k＝0.
又|AB|＝4，r＝3，∴圆心(2，3)到l的距离d＝＝.
因此＝，解得k＝－.∴直线l的方程为x＋2y－3＝0.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx被圆x2＋y2－2mx－2my＋3m2－1＝0截得的弦长是定值(与实数m无关)，则实数k的值为________．
【答案】　
【解析】由圆的方程可得(x－m)2＋(y－m)2＝m2＋1，所以圆心为(m，m)，R＝，
圆心到直线的距离d＝，由题意R2－d2＝m2＋1－，
不论m取何值时，此式为定值，所以当＝1时，R2－d2为定值1，即k＝.
15.已知圆O：x2＋y2＝1，若直线y＝x＋2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．
【答案】　1
【解析】　因为过点P的⊙O的两条切线互相垂直，所以点P到圆心O的距离为×1＝，
又因为直线y＝x＋2上总存在这样的点P，
所以圆心O到直线y＝x＋2的距离小于或等于，则≤，k≥1.故k的最小值为1.
16在平面直角坐标系xOy中，若过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．
【答案】　4
【解析】　设过点P(－2,0)的直线方程为y＝k(x＋2)，
∵过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，∴＝1，解得k＝±，不妨取k＝，
PT＝＝，∴PT＝RS＝，
∵直线y＝(x＋2)与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于R，S，且PT＝RS，
∴圆心(a，)到直线y＝(x＋2)的距离d＝＝ .∵a>0，∴a＝4.
17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝2，直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|＋|≥|－|，则b的取值范围是________________．
【答案】　∪
【解析】　设AB中点为M，则|＋|≥|－|，即2OM≥× 2AM，即OM≥OA＝.
又直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，所以≤OM<，而OM＝，
所以≤<，解得118．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则PA的最小值为________．
【答案】　2－
【解析】方法一　由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，
设P(cos α，sin α)，则A(cos α，2－cos α)，
∴PA＝|2－cos α－sin α|＝，∴PA的最小值为2－.
方法二　由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝＝，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－1.由题意可得PAmin＝(－1)＝2－.
19. 已知直线l：kx－y－2k＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；
(2)若k＝1，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)证明　直线l的方程可化为k(x－2)－y＝0，
所以直线l过定点(2,0)．由于22＋02－2×2－2×0－2<0，故点(2,0)在圆C内，
所以直线l与圆C恒有两个交点．
(2)解　当k＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，
圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心C(1,1)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝＝，
所以直线l被圆C截得的弦长为2＝2＝2.
(3)解　存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由kx－y－2k＝0与x2＋y2－2x－2y－2＝0消元得
(k2＋1)x2－(4k2＋2k＋2)x＋4k2＋4k－2＝0，
x1,2＝，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
因为以线段AB为直径的圆过原点，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以(k2＋1)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，
所以(k2＋1)·－2k2·＋4k2＝0，所以k＝－1±.

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