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圆锥曲线轨迹方程求法
求轨迹方程的常用方法：
⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。 　　　　　
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知）
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
考向一 直接法求轨迹方程
【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为 。
【答案】
【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），
则由，
则，化简整理得y2＝﹣8x．
【举一反三】
1.已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【答案】y2＝x－1.
【解析】设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，
则S△ABF＝|b－a|·FD＝|b－a|，S△PQF＝.
由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足，则动点P的轨迹方程为 。
【答案】y2=-4x
【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M(-1,0),N(1,0)，
则 由，
则 化简整理得y2=-4x ．
3.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
【答案】18x2－16xy－15＝0(x>0)．
【解析】由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，
代入直线方程得
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
考向二 定义法求轨迹方程
【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
【答案】为＋＝1(x≠－2)．
【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
【举一反三】
1.在△ABC中，BC＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD－CD＝2，则顶点A的轨迹方程为______________．
【答案】－＝1(x>)
【解析】　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．
则BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF.
所以AB－AC＝2<4，
所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，所以b＝，
所以轨迹方程为－＝1(x>)．
2．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为 。
【答案】
【解析】动圆过点且与直线相切，根据圆的定义可得到圆心到直线的距离等于圆心到点F的距离，根据抛物线的定义可得到圆心的轨迹是焦点为的抛物线，即
3.如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为；利用类比推理思想：在圆C：(x＋3)2＋y2＝16外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为____________．
【答案】
【解析】连结，，
点在线段的垂直平分线上，
所以点的轨迹为双曲线的左支，，所以
所以双曲线的轨迹方程为
考向三 相关点法求轨迹方程
【例3】 如图所示，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.
(1)求p的值；
(2)求动点M的轨迹方程．
【答案】（1）1 （2）－y2＝1，x∈[－4，－2]．
【解析】(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.
(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x.
设C，D，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k，代入y2＝2x，
得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝，∴l1的方程为y＝x＋，
同理l2的方程为y＝x＋.联立解得易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，
其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2,2]，由得x0y2＋2y0y－16＝0，∴y1,2＝，
则代入可得M(x，y)满足可得
代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，考虑到x0∈[2,2]，知x∈[－4，－2]，
∴动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．
【举一反三】
1.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1【答案】－y2＝1(x<－3，y<0)．
【解析】由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)．设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝(x－3)． ②
由①②相乘得y2＝(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－. ④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
2.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______
【答案】
【解析】设的重心，，则有，即，
因为点C在曲线上，所以有，即，
因为三角形的三个顶点不能共线，所以，所以的重心的轨迹方程为：，
故答案是：.
考向四 　参数法求轨迹方程
【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足＝t＋(1－t)(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0)，使得过点P任意作一条抛物线y2＝4x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)证明　由＝t＋(1－t)(t∈R)，可知点C的轨迹是直线MN，
∴点C的轨迹方程为＝，即y＝x－4，
联立得x2－12x＋16＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝6±2，
∴x1＋x2＝12，x1x2＝16，
∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝2x1x2－4(x1＋x2)＋16＝2×16－4×12＋16＝0，∴OA⊥OB.
（2）假设存在这样的点P，由已知弦所在直线斜率不为0，故设弦所在直线为x＝ky＋m，
代入y2＝4x，得y2－4ky－4m＝0，
设弦端点D(x3，y3)，E(x4，y4)，则y3,4＝＝2k±2，
∴y3＋y4＝4k，y3y4＝－4m，
由已知⊥，∴x3x4＋y3y4＝0，∴×＋y3y4＝m2－4m＝0，解得m＝0(舍去)或m＝4，
∴存在点P(4,0)满足条件，
设弦DE的中点为M(x，y)，则x＝＝＝＝2k2＋4， ①y＝＝2k，②
由①②消去k得y2＝2x－8，这就是所求圆心的轨迹方程．
【举一反三】
1.设椭圆中心为原点O，一个焦点为F(0,1)，长轴和短轴的长度之比为t.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右侧部分的交点为Q，点P在该直线上，且＝t，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【答案】见解析
【解析】(1)设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得所以椭圆方程为t2(t2－1)x2＋(t2－1)y2＝t2.
(2)设点P(x，y)，Q(x1，y1)，
解方程组得
由＝t和＝，得或
其中t>1.消去t，得点P的轨迹方程为x2＝y和x2＝－y.
其轨迹为抛物线x2＝y在直线x＝右侧的部分和抛物线x2＝－y在直线x＝－左侧的部分．
1．已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线
【答案】C
【解析】∵复数z满足（i是虚数单位），在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z到点的距离减去到点 的距离之差等于 ，
而点与点之间的距离为，故点Z的轨迹是以点为端点的经过点的一条射线．故选 C．
2．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
【答案】B
【解析】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|＝6，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选：B．
3．设P为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，
延长至点Q，使得，
，，，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，动点Q的轨迹方程为．故选：C．
4．已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【解析】设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|BE|＝2，
∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2+|BE|2，∴（x﹣2）2+y2＝22+x2，化为y2＝4x．故选D．
5．平面内一点到两定点，的距离之和为10，则的轨迹是　　
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
【答案】D
【解析】根据题意，两定点，则，
而动点M到两定点和的距离之和为10，则M的轨迹为线段，故选：D．
6．平面上动点与定点的距离和到直线的距离的比为，则动点的轨迹的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，整理变形可得：.本题选择D选项.
7．过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线，则的交点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由抛物线x2＝8y得其焦点坐标为F（0，2）．
设A（），B（），
直线l：y＝kx+2，联立，得：x2﹣8kx﹣16＝0．∴x1x2＝﹣16…①．
又抛物线方程为：，求导得，
∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为②
抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为③
由①②③得：y＝﹣2．∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y＝﹣2．故选：A．
8．设P是平面内的动点，AB是两个定点，则属于集合{P|PA=PB}的点组成的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB
【答案】C
【解析】P是平面内的动点，AB是两个定点，则属于集合{P|PA=PB}的点组成的图形是线段AB的垂直平分线．
故选：C．
9．直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，
∴，即，则C、A、B三点共线．
设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），
∴AB所在直线方程为 ，整理得：．
故P的轨迹方程为：．故选：A.
10．已知是椭圆上一动点，为坐标原点，则线段中点的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】设，由于是中点，故，代入椭圆方程得，化简得.即点的轨迹方程为.
11．动圆的圆心的轨迹方程是______________．
【答案】
【解析】把圆的方程化为标准方程得：
，
则圆心坐标为，因为，得到，
消去可得，故答案为
12．设O为坐标原点，动点M在圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝，则点P的轨迹方程为______________ ；
【答案】
【解析】设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P满足＝,可知P为MN的中点，可得xx0，y＝y0，即有x0＝x，y0＝2y，
代入圆C：x2+y2＝4，可得．即，故答案为．
13．已知平面上一动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）设，则，化简得，曲线的方程为；
（Ⅱ）设，，
联立，得。
依题意，，化简得：，①
，．
，
若，则，即，
．
即，
化简得：，②
．
原点到直线的距离，
，
设，由①②得，，，
，，
．
当时，即时，面积最大为．
14．双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为， 设 则且①，
因为动直线交双曲线于不同的两点，所以且， 因为直线的方程为②，
直线的方程为③， ②③得，
把①代入上式得，化简得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）依题意得直线与直线斜率均存在且不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立得，
则，设，
，，
所以的中点，
同理的中点，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
整理得，
所以直线恒过定点，即过两弦中点的直线恒过定点.
15．（1）已知点A，B的坐标分别为（3，0），（-3，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-2，求动点P的轨迹方程．
（2）设P（x，y），直线l1：x+y=0，l2：x-y=0．若点P到l1的距离与点P到l2的距离之积为2，求动点P的轨迹方程．
【答案】（1）+=1，（x≠±3）（2）-=1或-=1
【解析】（1）设P（x，y），因为A（3，0），B（-3，0）由已知，可得 =-2（x≠±3）
化简整理可得+=1，（x≠±3）所以动点P的轨迹方程+=1，（x≠±3）；
（2）点P（x，y）到直线l1：x+y=0的距离为，
点P（x，y）到直线l2：x+y=0的距离为，由 =2，
可得|x2-2y2|=6，即动点的轨迹方程为-=1或-=1．圆锥曲线轨迹方程求法
求轨迹方程的常用方法：
⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。 　　　　　
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知）
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
考向一 直接法求轨迹方程
【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ,则动点P(x，y)的轨迹方程为 。
1.已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足，则动点P的轨迹方程为 。
3.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
考向二 定义法求轨迹方程
【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
【举一反三】
1.在△ABC中，BC＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD－CD＝2，则顶点A的轨迹方程为______________．
2．设定点，动圆过点且与直线相切.则动圆圆心的轨迹方程为 。
3.如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为；利用类比推理思想：在圆C：(x＋3)2＋y2＝16外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为____________．
考向三 相关点法求轨迹方程
【例3】 如图所示，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.
(1)求p的值；
(2)求动点M的轨迹方程．
【举一反三】
1.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,12.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______
考向四 　参数法求轨迹方程
【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足＝t＋(1－t)(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m≠0)，使得过点P任意作一条抛物线y2＝4x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
【举一反三】
1.设椭圆中心为原点O，一个焦点为F(0,1)，长轴和短轴的长度之比为t.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右侧部分的交点为Q，点P在该直线上，且＝t，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
1．已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线
2．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
3．设P为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
4．已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．平面内一点到两定点，的距离之和为10，则的轨迹是　　
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
6．平面上动点与定点的距离和到直线的距离的比为，则动点的轨迹的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线，则的交点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
8．设P是平面内的动点，AB是两个定点，则属于集合{P|PA=PB}的点组成的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB
9．直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是椭圆上一动点，为坐标原点，则线段中点的轨迹方程为_______．
11．动圆的圆心的轨迹方程是______________．
12．设O为坐标原点，动点M在圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝，则点P的轨迹方程为______________ ；
13．已知平面上一动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若，求面积的最大值．
14．双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.
15．（1）已知点A，B的坐标分别为（3，0），（-3，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-2，求动点P的轨迹方程．
（2）设P（x，y），直线l1：x+y=0，l2：x-y=0．若点P到l1的距离与点P到l2的距离之积为2，求动点P的轨迹方程．

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