资源简介

圆锥曲线弦长问题汇总
1.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则
2.求解弦长的四种方法
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到
（x1－x2）2或（y1－y2）2，代入两点间的距离公式．
（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　
考向一 直线与椭圆的弦长
【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．
（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程．
(2)求直线l被椭圆截得的弦长．
【举一反三】
1.椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．
（1）当直线的斜率为时，求线段的长度；
（2）当点恰好为线段的中点时，求的方程．
2．已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为 .
考向二 直线与双曲线的弦长
【例2】已知双曲线： .
（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；
（2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程.
1.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
2.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线，其中分别为直线与双曲线的交点，则的长为________．
3．已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.
考向三抛物线与直线的弦长
【例3】（1）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_______；
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，，则____．
1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为 。
已知双曲线 ，直线交双曲线于两点，若的中点坐标为，则l的方程为 。
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 。
4．经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为 。
5．过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则 。
6．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于 。
7．已知不过原点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，若，且，则直线l的斜率为 ．
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为 。
9.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
10．过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线，其中分别为直线与双曲线的交点，则的长为________．
11．已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.
12．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到准线的距离为_____．
13．已知椭圆C： 的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
14．已知离心率的椭圆的一个焦点为(-1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为l的直线l交椭圆C于A,B两点,且,求直线l的方程.圆锥曲线弦长问题汇总
1.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则
2.求解弦长的四种方法
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到
（x1－x2）2或（y1－y2）2，代入两点间的距离公式．
（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　
考向一 直线与椭圆的弦长
【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．
（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程．
(2)求直线l被椭圆截得的弦长．
【答案】见解析
【解析】（1）设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
由椭圆方程知，，所以
所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，故直线l的方程为y＝x－2
将其代入，化简整理得，所以，
所以
(2)解法一　根与系数关系法
由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．
将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．
所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－．
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)即x＋2y－8＝0．
解法二：点差法
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，即k＝－．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．
【举一反三】
1.椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．
（1）当直线的斜率为时，求线段的长度；
（2）当点恰好为线段的中点时，求的方程．
【答案】(1);(2).
【解析】直线l的方程为，即为，
代入椭圆方程，可得，．
即有；
由P的坐标，可得，可得P在椭圆内，设，，
则，，
由中点坐标公式可得，，
由可得，，
将代入，可得，
则所求直线的方程为，即为．
2．已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】设，，，，则，
由，在椭圆上可得，,
两式相减可得，
直线的方程为即
考向二 直线与双曲线的弦长
【例2】已知双曲线： .
（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；
（2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程.
【答案】(1) m=±2 (2) 4x﹣y﹣2=0
【解析】（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）
由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，
∴x1+x2=4m，x1 x2=2（m2﹣1），
∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），
∴|AB|=4，解得m=±2，
（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，
两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4），
由点P（1，2）为MN的中点，
可得x3+x4=2，y3+y4=4，
∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN=4 经检验
即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0
【举一反三】
1.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.
【答案】3x＋4y－5＝0.
【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，
由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.
∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.
当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.
解法二：　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，
∴两式相减，得＝y－y，∴＝.
∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.
经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
2.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线，其中分别为直线与双曲线的交点，则的长为________．
【答案】3
【解析】因为双曲线方程为，所以左焦点，
因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为，直线的方程为，
代入可得
所以，故答案为3.
3．已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.
【答案】
【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．
又22，①22，②
①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），
又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k，
所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝（x﹣2），即．故答案为：．
考向三抛物线与直线的弦长
【例3】（1）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则_______；
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，，则____．
【答案】（1）10；（2）
【解析】（1）设A（x1,y1）,B(x2,y2),则对于抛物线x2=8y,焦点弦长
因为抛物线的焦点坐标为（0,2），，所以直线AB的方程为
将代入抛物线方程，得
（2）设，，，显然直线AB的斜率存在，设为
将直线方程与抛物线方程联立，消去y得①，则
因为，所以，方程①即
解得，，故
【举一反三】
1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
【答案】3x－y－11＝0
【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．
∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.
∴|P1P2|＝ ·＝.
2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【答案】（1）8 （2）
【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立消去y，得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线方程为 。
【答案】
【解析】设为中点的椭圆的弦与椭圆交于，
因为为EF中点，所以，
把分别代入椭圆，
得，两式相减得：，
所以，所以，
所以以为中点椭圆的弦所在的直线方程为：，整理得，
已知双曲线 ，直线交双曲线于两点，若的中点坐标为，则l的方程为 。
【答案】
【解析】设 ，则
所以 .
已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 。
【答案】
【解析】由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；
4．经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为 。
【答案】
【解析】设， ，可得， ，两式相减可得：
， 为的中点，即有， ，可得直线的斜率为，
即有直线的方程为，即为，由代入双曲线的方程，可得，即有，故存在直线，其方程为，
5．过抛物线焦点的直线交于点，若线段中点的纵坐标为1，则 。
【答案】5
【解析】抛物线C：y2＝4x，直线l过抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为：x＝my+1，
则可得y2﹣4my﹣4＝0，l与C有两个交点A（）、B（），线段AB的中点M的纵坐标为1，可得4m＝2，解得m，所以y2﹣2y﹣4＝0的两根满足，，由弦长公式可得=5，
6．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|等于 。
【答案】10
【解析】由题抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，p=4，设A、B两点坐标
AB的中点的横坐标为3，即 抛物线的焦点弦：
7．已知不过原点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，若，且，则直线l的斜率为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设C的准线为，设，则
由，则
过点A作，于点，则，过点B作，于点，则
过点B作于点H，则，
在中，，所以，
即直线l的斜率为2，又由抛物线的对称性可知，当直线l的斜率为时，亦符合题意，
故选：C．
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若，则中点到抛物线准线的距离为 。
【答案】4
【解析】由抛物线的方程y2=4x可得p=2，故它的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．由中点坐标公式可得PQ的中点M（,），由于x1+x2=6，则M到准线的距离为+1=4.
9.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，
设,则，且，解得.
，
∴b=0时,|AB|的最大值为，故答案为: .
10．过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线，其中分别为直线与双曲线的交点，则的长为________．
【答案】3
【解析】因为双曲线方程为，所以左焦点，
因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为，
直线的方程为，
代入可得
所以，故答案为3.
11．已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.
【答案】
【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则x1+x2＝4，y1+y2＝6．又22，①22，②
①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），又由对称性知x1≠x2，
∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k，
所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝（x﹣2），即．故答案为：．
12．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到准线的距离为_____．
【答案】2
【解析】
试题分析：由题意得，抛物线的焦点坐标为，且准线方程为，直线恰好经过点，设直线与抛物线的交点的横坐标为，根据抛物线的定义可知，的中点的横坐标为，所以弦的中点到准线的距离为，
13．已知椭圆C： 的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2，结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2故C：.
(2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，
直线方程与椭圆方程联立
得. 设，．
∴∴
14．已知离心率的椭圆的一个焦点为(-1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为l的直线l交椭圆C于A,B两点,且,求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】(1)由题意知,c=1, ,∴,b=1,∴椭圆C的方程为.
(2)设直线l的方程为y=x+m,点联立方程组化简,得3x2+4mx+2m2-2=0.
由已知得, ,
即m2<3,∴,且
∴===,
解得m=±1,符合题意∴直线l的方程为y=x+1或y=x-1.

展开更多......

收起↑