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圆锥曲线与直线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置方法
1.方法一：代数法（常用）
代数法求位置关系的基本思路
联立直线方程与圆锥曲线方程，消y（或消x）得到一个关于变量x（或者变量y）的一元方程
ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）
当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，
则
当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，
此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
注意：联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况
2.方法二：几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
3.方法三：数形结合运用（小题）
（1）直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系
(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系
考向一 直线与椭圆的位置关系
【例1】已知直线，椭圆C：．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个不重合的公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点．
【举一反三】
1．已知直线过点，椭圆，则直线与椭圆的交点个数为 。
2．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为 。
直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 。
考向二 直线与双曲线的位置关系
【例2】已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：
有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．
【举一反三】
1．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有 条。
2．直线y＝x＋3与双曲线＝1的交点个数是 。
3．过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线共有 。
已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是 。
考向三 直线与抛物线的位置关系
【例3】设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
1．已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax只有一个公共点，求实数a的值．
2．已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1．直线与椭圆的公共点个数是 。
2．若直线ax＋by—4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为 .
3．已知椭圆C： ，直线：（），与C的公共点个数为 .
4．直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．
5．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．
6．直线与曲线的公共点的个数为__________．
已知直线与抛物线相切，则双曲线：的离心率等于 .
已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为 .
9．已知直线和抛物线C：，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有 .
10．已知直线（）与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则k等于______．
11．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则____.
12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；圆锥曲线与直线的位置关系
判断直线与圆锥曲线的位置方法
1.方法一：代数法（常用）
代数法求位置关系的基本思路
联立直线方程与圆锥曲线方程，消y（或消x）得到一个关于变量x（或者变量y）的一元方程
ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）
当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，
则
当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，
此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
注意：联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况
2.方法二：几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
3.方法三：数形结合运用（小题）
（1）直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系
(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系
考向一 直线与椭圆的位置关系
【例1】已知直线，椭圆C：．试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个不重合的公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点．
【答案】见解析
【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组得 ①，判别式
（1）当，即时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点
（2）当，即时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点
（3）当，即或时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点
【举一反三】
1．已知直线过点，椭圆，则直线与椭圆的交点个数为 。
【答案】2
【解析】点在椭圆的内部，而直线过点，
直线与椭圆相交，交点个数为2，故选C．
2．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆 的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为 的点P的个数为 。
【答案】3
【解析】由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，
则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，
∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．
设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，
即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；
联立得：①或②，
①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，
∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；
由②消去b得：2a2+2a+1=0，
∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．
综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．
直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 。
【答案】－＜m＜
【解析】由，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，结合题意△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，
解得：－＜m＜，
考向二 直线与双曲线的位置关系
【例2】已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：
有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．
【答案】见解析
【解析】由
当4-k2=0,，方程无解
当
当
当
当
综合上述：当-2不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值
当或时，直线与双曲线没有公共点
【举一反三】
1．过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有 条。
【答案】2
【解析】由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x，则点P(2，1)在渐近线y＝x上，
又双曲线的右顶点为A(2，0)，
如图所示．满足条件的直线l有两条：x＝2，y－1＝－(x－2)．
2．直线y＝x＋3与双曲线＝1的交点个数是 。
【答案】1
【解析】因为双曲线的渐近线方程为：，
从而得到直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以直线与双曲线的交点个数是1，
3．过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线共有 。
【答案】4
【解析】设过点与双曲线有且只有一个公共点的直线为，
代入双曲线方程，消去整理得，
时, ，
时，，直线与渐近线平行也成立.
故过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，
已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】双曲线的离心率等于,,可得,
双曲线,直线与双曲线联立可得,
直线与双曲线的左右两支各有一个交点,
,,即的取值范围是.
考向三 直线与抛物线的位置关系
【例3】设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．
【答案】见解析
【解析】联立方程组消去y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
若k≠0，方程k2x2＋(2k－4)x＋1＝0为一元二次方程．∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
(1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切，
(2)当Δ>0，即k<1时，l与C相交，
(3)当Δ<0，即k>1时，l与C相离．
若k＝0，直线l方程为y＝1，显然与抛物线C交于.
综上所述，当k＝1时，l与C相切；当k<1时，l与C相交；当k>1时，l与C相离．
【举一反三】
1．已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax只有一个公共点，求实数a的值．
【答案】a＝0或a＝－1或a＝－
【解析】由题意可得方程组，
（1）当a＝0时，方程组化为，解得，
所以直线与曲线只有一个交点(1,0)．
（2）当a≠0时，消去x并整理得(a＋1)y2－ay－a＝0.(*)
①当a＋1＝0，即a＝－1时，方程化为y＋1＝0，
方程组的解为，方程组只有一组解，
所以直线与曲线只有一个交点．
②当a＋1≠0，即a≠－1时，
在方程(*)中，由Δ＝(－a)2＋4a(a＋1)＝0，得，
此时方程组只有一组解，
所以直线与曲线只有一个公共点，且为切点．
综上所述，当a＝0或a＝－1或时，直线与曲线y2＝ax只有一个公共点．
2．已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设直线l与抛物线C有两个不同交点，把联立直线与抛物线方程消去y得
所以，所以m∈R,因为“”是“m∈R”的充分非必要条件，
所以“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的充分非必要条件..
1．直线与椭圆的公共点个数是 。
【答案】1
【解析】由题得，代入椭圆方程得，所以直线和椭圆的交点的个数为1。
2．若直线ax＋by—4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为 .
【答案】2
【解析】因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=＞2，所以a2+b2＜4，所以点P（a，b）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．
∵椭圆的长半轴 3，短半轴为 2∴圆x2+y2=4内切于椭圆
∴点P是椭圆内的点∴过点P（a，b）的一条直线与椭圆的公共点数为2．
3．已知椭圆C： ，直线：（），与C的公共点个数为 .
【答案】2
【解析】因为直线：恒过（0,1），而将（0,1）代入椭圆方程得：，故此点在椭圆内部，所以直线与椭圆相交，故有两个交点.
4．直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______．
【答案】或
【解析】联立，可得．
①当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行，
直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，
解得，满足条件．综上可得：，．故答案为：，．
5．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是______．
【答案】
【解析】 双曲线的渐近线方程，
当过焦点的直线与两条渐近线平行时，直线与双曲线右支分别只有一个交点
因为双曲线正在与渐近线无限接近中，
由图可知，斜率不在的所有直线与双曲线右支有两点交点（如图中直线），
斜率在的所有直线都与双曲线右支只有一个交点（如图中直线）．
所以此直线的斜率的取值范围故答案为
6．直线与曲线的公共点的个数为__________．
【答案】2.
【解析】当x≥0时，曲线化为，
当x＜0时，曲线化为，
所以曲线是半个双曲线和半个椭圆组成的图形.
因为的渐近线为，直线y=-2x-3的斜率-2＜，
数形结合分析得直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为2个，故答案为：2.
已知直线与抛物线相切，则双曲线：的离心率等于 .
【答案】
【解析】由，得，因为直线与曲线相切，
所以，，
所以双曲线为，即a=1，b=，c=,∴离心率等于，
8．已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为 .
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；当直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.
9．已知直线和抛物线C：，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有 .
【答案】2
【解析】由题P为C上的一点，设P ，
P到直线的距离
又因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离与到准线的距离相等，
所以P到C的焦点距离 ，则
i) 当 即时，
方程有两个不相等的实数根，即P点有两个；
ii) 当即时，
方程无实根，所以P点不存在。综上，点P有2个
10．已知直线（）与抛物线C：及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则k等于______．
【答案】
【解析】如图所示，
，设直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义可知，
点M到准线的距离，故，
，则，则
11．已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则____.
【答案】3
【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），
∵直线l倾斜角为60°，∴直线l的方程为：y﹣0（x）．
设直线与抛物线的交点为A（，）、B（，），
∴|AF|＝，|BF|＝，
联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，解得，，
∴|AF|＝2p，|BF|＝，∴|AF|：|BF|＝3：1，∴的值为3．故答案为：3．
12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得：(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得

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