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2.3简谐运动的回复力和能量
人教版（2019）物理选择性必修第一册
第二章 机械振动
O
B
A
F
F
思考：当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？系统中各能量间的转化是否具有周期性？
运动 受力特点 力大小变化情况 与速度的方向关系
匀速直线运动
匀变速直线运动
匀变速曲线运动
匀速圆周运动
F合与v在一条直线上
F合与v方向有一夹角
F合与v方向始终垂直
温故知新
F合=？
方向如何？
简谐运动
一、简谐运动的回复力
1、回复力
振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。
2、回复力的效果
使振动物体能够回到平衡位置。
思考：回复力是把振子拉回到平衡位置的力，是按作用效果命名的力，思考讨论它是否一定等于弹簧的弹力。
【提示】不一定。回复力可能只由弹簧弹力提供，也可能是由弹力、重力、摩擦力等力的合力提供，还有可能是由某个力的分力提供。
一、简谐运动的回复力
3、回复力的特性
①回复力是根据力的作用效果命名的，可以是重力、弹力或摩擦力，或几个力的合力，或某个力的分力等。
②回复力总与位移的大小成正比，且与位移的方向相反。
一、简谐运动的回复力
4、回复力的表达式
F＝－kx（式中k是比例常数）
“－”表明回复力与位移方向始终相反
一、简谐运动的回复力
思考：以理想水平弹簧振子为例，说明振子从平衡位置到最大位移处的过程中，回复力如何变化？合外力与回复力有什么关系？
【提示】由回复力F＝－kx知：从平衡位置到最大位移处的过程中回复力逐渐增大，合外力与回复力相同。
一、简谐运动的回复力
思考：弹簧下面悬挂的钢球，它所受的力与位移之间的关系也具有F＝－kx的形式吗？请你尝试导出小球所受的合力与它的位移间的关系式。由于平衡时弹簧已经有了一个伸长量h，问题稍稍麻烦一点。这时仍要选择钢球静止时的位置为坐标原点，而小球所受的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。
一、简谐运动的回复力
解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k（x＋h）②
将①式代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动。
一、简谐运动的回复力
5、简谐运动的动力学特点
如果质点所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且始终指向平衡位置（即与位移方向相反）,质点的运动就是简谐运动。
F＝－kx
一、简谐运动的回复力
6、简谐运动的运动学特点
简谐运动是一个加速度时刻变化的变加速运动
一、简谐运动的回复力
一、简谐运动的回复力
7、简谐运动中的各个物理量变化规律
O
B
A
F
F
A A－O O O－B B
x
v
F、a
动能势能
总机械能 向左最大
0
向右最大
动能为0
势能最大
不变
向左减小
向右增大
向右减小
动能增大
势能减小
0
向右最大
0
动能最大
势能为0
向右增大
向右减小
向左增大
动能减小
势能增大
向右最大
0
向左最大
动能为0
势能最大
一、简谐运动的回复力
8、简谐运动的加速度大小和方向都随时间做周期性的变化，所以简谐运动是变加速运动
（1）当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。
（2）当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。
9、判断一个运动是否是简谐运动的方法
（1）运动学方法：找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(xt图象)是一条正弦曲线，就可以判定此振动为简谐运动，通常很少应用这个方法。
一、简谐运动的回复力

一、简谐运动的回复力
②在振动过程中任选一位置(偏离平衡位置的位移为x)，对物体进行受力分析。
③对力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合力。
④判定振动方向上的合力与位移的关系是否符合F＝－kx即可。
一、简谐运动的回复力
小结提升1
简谐运动中x、F、a、v、Ek、Ep量的关系：
1.把握两个特殊位置
最大位移处，x、F、a、Ep最大，v、Ek为零；
平衡位置处，x、F、a、Ep为零，v、Ek最大.
2.位移与回复力（加速度）的关系
大小关系：F= - kx知，力与位移大小成正比；
方向关系：力与位移方向总相反.
小结提升1
简谐运动中x、F、a、v、Ek、Ep量的关系：
3.位移方向的确定
由定义的角度：简谐运动的位移由平衡位置指向振子所在位置
由位移与回复力关系：位移与回复力方向相反
4.回复力方向的确定
由定义的角度：简谐运动的回复力总指向平衡位置；
由位移与回复力关系：位移与回复力方向相反.
思考：弹簧振子的势能与弹簧的伸长量有关，动能与小球的速度有关，弹簧振子的能量变化具有什么规律呢？
1．简谐运动的能量
弹簧振子中小球的速度在不断变化，因而它的动能在不断变化；弹簧的伸长量或压缩量在不断变化，因而它的弹性势能也在不断变化。
二、简谐运动的能量
位置 O A → O O O → B B
位移的大小
速度的大小
动能
弹性势能
机械能
O
B
A
F
F
2．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的关系
（1）远离平衡位置时，X F a V EK EP E总
（2）衡位置时，X F a V EK EP E总
（3）在平衡位置处， X F a V EK EP E总
（4）在最大位移处， X F a V EK EP E总
振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程；。
说明：理论上可以证明，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，遵守机械能守恒定律。
实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。
二、简谐运动的能量

二、简谐运动的能量
(2)水平方向的弹簧振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大，动能为零。能量随时间变化的关系图象如图所示。
二、简谐运动的能量
位置 A A → O O O → B B
位移的大小 最大 减小 0 增大 最大
速度的大小 0 增大 最大 减小 0
动能 0 增大 最大 减小 0
弹性势能 最大 减小 0 增大 最大
机械能 不变
O
B
A
F
F
【探究】如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A、B、C、D、E、F各时刻中：
（1）哪些时刻振子有最大动能？
（2）哪些时刻振子有相同速度？
（3）哪些时刻振子有最大势能？
（4）哪些时刻振子有最大相同的加速度？
二、简谐运动的能量
解析：由题图可知，B、D、F点在平衡位置，具有最大动能，而A、C、E点在最大位移处，具有最大势能。
根据振动方向：B、F两点向负方向振动，D点向正方向振动，可知D点与B、F点虽然速率相同，但方向相反。
根据位移：A、E两点位移相同，C点位移虽然大小与A、E两点相同，但方向相反。可知C点与A、E点虽然受力相同，但方向相反，故加速度大小相等，方向相反。
【变式训练1】 如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中,下列关于A受力的说法正确的是(　　)
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向
都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
答案:D
解析:物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用。摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力,其大小和方向都随时间变化,故D项正确。
课堂练习
【变式训练2】 下图为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像,由图像可知(　　)
A.在0.1 s时,由于位移为零,所以振动能量为零
B.在0.2 s时,振子具有最大势能
C.在0.35 s时,振子具有的能量尚未达到最大值
D.在0.4 s时,振子的动能最大
答案:B
解析:弹簧振子做简谐运动,振动能量不变,选项A错;在0.2 s时位移最大,振子具有最大势能,选项B对;弹簧振子的振动能量不变,在0.35 s时振子具有的能量与其他时刻相同,选项C错;在0.4 s时振子的位移最大,动能为零,选项D错。
【变式训练3】 弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动,在振子向着平衡位置运动的过程中(　　)
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子相对平衡位置的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐增大
D.振子的加速度逐渐增大
答案:C
解析:在振子向着平衡位置运动的过程中,振子所受的回复力逐渐减小,振子相对平衡位置的位移逐渐减小,振子的速度逐渐增大,振子的加速度逐渐减小,选项C正确。
【典型例题】
【例题1】 (多选)如图所示,弹簧振子在光滑水平杆
上的A、B之间做往复运动,下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中,回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中,回复力的方向指向平衡位置
答案:AD
解析:回复力是根据效果命名的力,它是由物体受到的具体的力所提供的,在此情景中弹簧的弹力充当回复力,故A项正确,B项错误;回复力与位移的大小成正比,由A向O运动过程中位移的大小在减小,故此过程回复力逐渐减小,C项错误;回复力总是指向平衡位置,故D项正确。
【例题2】 (多选)把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它围绕平衡位置O在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是(　　)
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,势能最大,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中,振动的能量不断增加
答案:AB
解析:小球在平衡位置时动能最大,加速度为零,因此A项正确;小球在A、B位置时,势能最大,加速度最大,因此B项正确;小球衡位置时,回复力做正功;远离平衡位置时,回复力做负功。振动过程中总能量不变,因此C、D项错误。
科学思维 在分析简谐运动的能量问题时,要弄清运动质点的受力情况和所受力的做功情况,弄清是什么能之间的转化及转化关系等。
【例题3】 如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x与时间t的关系图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.t=0.8 s时,振子的速度方向向右
B.t=0.2 s时, 振子在O点右侧6 cm处
C.t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度
相同
D.从t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的动能逐渐增大
答案:D
解析:由题图乙知,t=0.8 s时,图像切线的斜率为负,说明振子的速度为负,即振子的速度方向向左,A项错误。在0~0.4 s内,振子做减速运动,不是匀速运动,所以t=0.2 s时,振子不在O点右侧6 cm处,B项错误。t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的位移大小相等、方向相反,由a=- ,知加速度大小相等、方向相反, C项错误。t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的位移减小,正向平衡位置靠近,速度逐渐增大,动能逐渐增大,D项正确。
科学思维 分析简谐运动的技巧
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,振动质点的回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
【例题4】 (多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)
答案：AD
A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
【例题5】 关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是 (　　)
A.可以是恒力
B.可以是方向不变而大小变化的力
C.可以是大小不变而方向改变的力
D.一定是变力
答案：D
【例题6】 光滑圆弧面上有一个小球，把它从最低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右振动，请你证明小球的振动是简谐运动
G
FN
G1
解析：小球在光滑圆弧面上摆动时，回复力由重力沿切线方向的分力提供
在偏角很小时，小球相对于最低点的位移为x与所对应的弧长近似相等；设圆半径为r ，
符合简谐运动的动力学特征，则小球做简谐运动
【例题7】 (多选)弹簧振子在光滑水平面内做简谐运动的过程中，下列说法正确的是(　 　)
A．在平衡位置时它的机械能最大
B．在最大位移处它的弹性势能最大
C．从平衡位置到最大位移处它的动能减小
D．从最大位移到平衡位置处它的机械能减小
答案：BC
【例题8】 (多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　 　)
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
答案：BC
【例题9】 如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同．那么，下列说法正确的是(　　)
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
答案：C
【例题10】 (多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
答案：BD
课堂小结
课后作业
课本练习与应用
谢谢聆听

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