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2022-2023学年北京市海淀区重点中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则( )
A. B. 或
C. D. 或
2. 在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
4. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为，；方差分别为，，则下面正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 已知等差数列的前项和为，，，则等于( )
A. B. C. D.
6. 已知，，，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是( )
A. B. C. D.
7. 已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，则椭圆与双曲线的离心率之积为( )
A. B. C. D.
8. 过点的直线与圆：相交于，两点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9. 已知函数，为图像的对称中心，，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，则下列结论正确的是( )
A. 函数的对称轴方程为
B. 若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极小值点
C. 函数在区间上单调递增
D. 的图像关于轴对称
10. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的半径均为，，，均是边长为的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 已知为第二象限角，，则的值为______．
12. 的展开式的二项式系数之和为，则展开式中常数项为______ ．
13. 已知函数，若，则实数的取值范围是______．
14. 点在抛物线：上，若点到抛物线的焦点的距离为，为坐标原点，则的面积为______．
15. 如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且，底面，，，，分别是棱，，的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论：
截面的面积等于；
截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交；
截面与底面所成锐二面角为；
截面在底面的投影面积为．
其中，正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
在锐角中，角，，对应的边分别是，，，且．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若的面积，，求的值．
17. 本小题分
年底，北京年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破万，其中青年学生约有万人．现从这万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取人进行英语水平测试，所得成绩单位：分统计结果用茎叶图记录如图：
Ⅰ试估计在这万青年学生志愿者中，英语测试成绩在分以上的女生人数；
Ⅱ从选出的名男生中随机抽取人，记其中测试成绩在分以上的人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组每组人数不少于，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有人的英语测试成绩在分以上的概率大于根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值．结论不要求证明
18. 本小题分
如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为的正方形，，，分别为，的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题．
直线与平面所成角的大小为；三棱锥的体积为；C.
若选择条件_____；
求求二面角的余弦值；
求直线与平面的距离．
19. 本小题分
已知函数．
Ⅰ若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
Ⅱ若函数在内存在极值，求的取值范围；
Ⅲ若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围．
20. 本小题分
已知椭圆：的焦距和长半轴长都为。过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点。
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，。求证：以为直径的圆恒过点。
21. 本小题分
已知为实数，数列满足，．
Ⅰ当和时，分别写出数列的前项；
Ⅱ证明：当时，存在正整数，使得；
Ⅲ当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
先分别求出集合，，由此能求出．
【解答】
解：集合，
或，
或．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：，
复数对应的点为，位于第二象限．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：对于，由题意可得定义域为，为奇函数，在和上均为减函数，但在定义域内不是减函数，故不符题意；
对于，，，因为，所以为奇函数，由二次函数的性质可知在上单调递减，符合题意；
对于，，，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故不符题意；
对于，，，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故不符题意．
故选：．
根据函数的奇偶性及单调性逐一判断即可．
本题考查了函数的奇偶性及单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由频率分布直方图得：
甲地区的频率为：，的频率为，
甲地区用户满意度评分的中位数，
乙地区的频率为：，的频率为：，
乙地区用户满意度评分的中位数，
，
由直方图可以看出，乙地区用户满意度评分的集中程度比甲地区的高，
．
故选：．
利用频率分布直方图求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数，并通过两地区用户满意度评分的集中程度即可得到哪个方差小．
本题考查方差、中位数的求法与比较，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
，
．
故选：．
根据已知条件，先求出等差数列的公差，再结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：对于：是充要条件；
对于：若，得，则，反之不成立，即是成立的充分不必要条件，；
对于：与互相推不出是既不充分也不必要条件．
对于：与互相推不出是既不充分也不必要条件．
故选：．
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题考查了不等式的基本性质和充分必要条件的定义．属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知为正方形，若椭圆与双曲线都以、为焦点，且图象都过、点，
设，
则椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
又椭圆与双曲线的焦距为，
则椭圆与双曲线的离心率之积，
故选：．
由椭圆与双曲线的性质，结合椭圆与双曲线的离心率的求法求解即可．
本题考查了椭圆与双曲线的性质，重点考查了椭圆与双曲线的离心率，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，设，圆：的圆心为，
圆：，即，圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，则，
当最大时，弦长最小，
在圆内部，故的最大值为，
则的最小值为，
故选：．
根据题意，设，圆的圆心为，分析圆的圆心以及半径，求出到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得当最大时，弦长最小，而的最大值为，据此计算可得答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，的最大值为，最小值为，
因为，是该图像上相邻的最高点和最低点，且，
所以，两点横坐标之间的距离为，即最小正周期，
而，所以，
由为图像的对称中心，知，即，
所以，，即，，
又，所以，
所以，
选项A，令，，则，，即A错误；
选项B，由，知，
若函数在区间内有个零点，则函数在轴右侧的图像包含两个半周期的图像，
所以在此区间内有且只有个极小值点，即B正确；
选项C，令，，则，，
所以的单调增区间为，，
同理可得，的单调减区间为，，
所以在上单调递增，在上单调递减，即C错误；
选项D，，其图像不关于轴对称，即D错误．
故选：．
根据和的几何意义，可得其值，从而知的解析式，再结合正弦函数的图像与性质，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图像与性质，熟练掌握利用函数图像求函数解析式的方法，正弦函数的图像与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，圆的方程为，则可设，
所以，
所以，
所以的最大值为．
故选：．
建立直角坐标系，可得，设，表示出，再由三角函数的性质得解．
本题考查平面向量的数量积以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为为第二象限角，，
所以，且，，解得，，
所以．
故答案为：．
利用同角三角函数的基本关系，可得，，再根据两角差的正弦公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【解答】
解：由二项式系数的性质，可得，解可得，；
的展开式为为，
令，可得，
则展开式中常数项为．
故答案为：．
【分析】
本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．
根据题意，的展开式的二项式系数之和为，由二项式系数的性质，可得，解可得，；进而可得二项展开式，令，可得，代入二项展开式，可得答案．
13.【答案】
【解析】解：当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：
分和两种情况求解即可．
本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由已知得，焦点为，故点到抛物线的焦点的距离为，
则根据抛物线的性质，可得，
得到，
焦点，
故，得到，
所以，
故答案为：．
根据抛物线的性质求出，然后求出和，进而利用三角形面积公式，可以直接计算求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：取中点，的四等分点，依次连接，，，，，
设，，则为中点，为中点，
为四等分点，，
底面是菱形，，是正三角形，
，又，，，
底面，，，，
，，，分别是棱，，，的中点，
，，且，，
综上，多边形即为平面截四棱锥所得的截面多边形，
，平面，
平面，，，
四边形为矩形，其面积为，
设，，则为中点，为中点，
，，
平面，平面，平面，
平面平面，，且，
，
的边上的高，
，故错误；
由图可知截面是一个五边形，只与四棱锥四条棱中的侧棱，，相交，故正确；
截面，平面，，则平面，，平面，则，，
是截面与底面所成锐角二面角，
则在中，，
截面与底面所成锐二面角为，故正确；
取，中点，则，则底面，底面，
多边形为截面在底面的投影，
，且，
则多边形的面积为：
，故正确．
故答案为：．
取中点，的四等分点，依次连接，，，，，则多边形即为平面截四棱锥所得的截面多边形；，结合垂直关系可证明为截面与底面所成锐二面角；取，中点，，结合垂直关系证明多边形为截面在底面的投影．
本题考查截面多边形、线面垂直的判定与性质、二面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】解：Ⅰ由，得，
解得或，
又，
所以；
Ⅱ，，
，即，解得，
由余弦定理可得，，
所以，
由正弦定理可得，，则．
【解析】Ⅰ由二倍角公式及诱导公式展开，结合的范围即可得解；
Ⅱ先由三角形的面积公式求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理得解．
本题主要考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：由图表可知，测试成绩在分以上的女生有人，占比为，
在这万青年学生志愿者中，英语测试成绩在分以上的女生人数约为万人；
由图表得，选取的名男生中，成绩在分以上的有人，分及其以下的有人，
选出的名男生中随机抽取人，记其中测试成绩在分以上的人数为，则，，，
则，
，
，
的分布列如下：

故 E，
的最小值为样本中志愿者成绩在分以上的频率为，由题意得，求解即可．
【解析】本题考查了茎叶图，考查了离散型随机变量求分布列和数学期望，考查运算能力和实际应用能力，中档题．
由图表可知，测试成绩在分以上的女生有人，占比为，再求出结论即可；
根据题意，选取的名男生中，成绩在分以上的有人，分及其以下的有人，，，，求出分布列和数学期望；
根据题意，求出即可．
18.【答案】解：Ⅰ证明：取中点，连接，，
，分别为，的中点，
在三棱柱中，，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
Ⅱ平面平面，平面平面，
又侧面是边长为的正方形，
，，面，面，
面，，
取中点，作于，连接，，，
则，面，，
平面，，
，平面 ，
平面，，
为二面角的平面角的补角，
平面，直线与平面的距离即为平面的距离，
作于，平面平面，平面平面，
是到平面的距离，即直线与平面的距离，
选，平面，是直线与平面所成角，
，，
在正中，由题意得，
在中，，
二面角的余弦值为；
在正中，，
直线与平面的距离为．
选，，为的中点，
，
面，，，
，，
，解得，
，，
在正中，，
在中，，
二面角的余弦值为；
在正中，，
直线与平面的距离为．
选，取中点，，连接，
则为中点，则且，
由，，则，
，，，
，
在正中，，
在中，，
二面角的余弦值为；
在正中，，
直线与平面的距离为．
【解析】Ⅰ取中点，连接，，由，证明平面；
Ⅱ取中点，作于，由垂直关系可证明为二面角的平面角的补角，作于，由垂直关系及线面距离定义可知即为直线与平面的距离，三个条件均可根据几何关系求出，再进一步求、即可．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、二面角的余弦值、直线与平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：显然，的定义域为，，
Ⅰ由题意知，解得；
Ⅱ由已知得在内有变号根，
令，，，
故在内单调递减，且，故时，，
故要使在内有变号零点，只需，解得，
故当时，在内存在极值；
Ⅲ由Ⅱ知，当时，，在上是增函数，则，
时，在上，是增函数，要使结论成立，只需，解得；
时，在上单调递减，则，不符合题意，
综上，实数的取值范围为
【解析】Ⅰ令，解出；
Ⅱ问题可化为在内有变号根，再结合导数研究函数的单调性、极值情况即可；
Ⅲ分离参数，研究函数的最值即可．
本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值与最值等，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由焦距和长半轴长都为，可得，，，
则椭圆方程为；
Ⅱ证明：，，直线的方程为，
联立椭圆方程可得，
直线过椭圆的焦点，显然直线与椭圆相交．设，，
则，，直线的方程为，
可令，得，即，
同理可得，所以，，
又
．
所以以为直径的圆恒过点．
【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于较难题．
Ⅰ求得，，，可得椭圆方程；
Ⅱ直线的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．
21.【答案】Ⅰ解：当时，，，，，；
当时，，，，，．
Ⅱ证明：当时，．
所以，在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列．
即．
所以，当足够大时，总可以找到，使．
若，令，则存在正整数，使得．
若，由，得，
令，则存在正整数，使得．
综述所述，则存在正整数，使得．
Ⅲ当时，，，，，，
当时，，
当时，，
令，，而此时为奇数，所以不成立；
又不成立，所以不存在正整数，使得．
当时，，，，，，
所以数列的周期是，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
所以．
所以或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数，使得．
当时，，，，，，，
，不存在正整数，使得．
综述所述，不存在实数正整数，使得．
【解析】Ⅰ当和时，利用数列递推式依次求出数列的前项；
Ⅱ当时，可知在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当足够大时，总可以找到，使然后分与两类分析；
Ⅲ分，及三类，分别写出后分析．
本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．
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