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第七章 万有引力与宇宙航行
7.2.2专题 重力与万有引力的关系
目录
contents
万有引力和重力的关系
01
02
非对称物体间引力的求解
03
空腔对质点的引力
04
典题应用
1.万有引力定律
内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小F与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们的距离r的二次方成反比.
2.公式：
3.注意：
（1）当r 0时,万有引力公式已不再适用，而不是引力F趋于无穷大。
（2）当r ∞时,F 0，但仍有引力，只是很小。
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重力是万有引力吗？
二者大小相等吗？
可能相等吗？
想一想
万有引力和重力的关系
01
1、任意位置
如图所示，在地面上随地球一起自转的物体受到地球的万有引力F引，可以分解为物体受到的重力G和使物体随地球做圆周运动（自转）所需的向心力 Fn、（方向指向地轴，不一定指向地心）。
?
O1
O
F引
G
F向
重力是万有引力的一个分力
地球表面上的物体
2、赤道
赤道处的物体受到地球的万有引力F引可以分解为同一直线上的重力G和使物体随地球做圆周运动（自转）所需的向心力 Fn、（方向指向地心），如图所示。
O
FN
Fn
F引
G
·
3、两极
O
FN
F引
G
两极处的物体随地球做圆周运动（自转）所需的向心力 Fn=0，此处受到地球的万有引力F引就等于物体受到的重力G（方向指向地轴），如图所示。
·
4、总结与思考
O
FN
F引
G
·
物体的重力随纬度增大而增大。两极最大，赤道最小。
FN
Fn
F引
G
·
物体的重力随纬度变化明显吗？
（重力方向只在赤道和两极指向地心）
天上物体
“天上的物体”是指在空中绕地球转动的物体。如图，物体在空中时受到地球的万有引力提供物体做圆周运动的向心力，即：
R
h
F引
随着离地面的高度增加，万有引力减小，物体的重力随之减小（重力加速度减小）。
（适用于任何天体）
R
卫星
h
O
M
m
（不同星球表面、不同高度处的重力加速度g不同）
故高空处重力加速度g’与g之比等于到地心距离平方的反比。
地球重力加速度g及变化
（不考虑地球自转的影响）
（3）地球的人造卫星，卫星所受的万有引力等于重力，由于万有引力提供向心力，所有卫星的向心加速度等于该点的重力加速度，卫星处于完全失重状态。
求一个质量为1 kg 且位于北纬θ=60°的地面上的物体受到的万有引力和所需的向心力，已知：地球半径R=6400km、地球质量M=6×1024kg、地球自转周期T=24 h
黄金代换
O
O?
Fn
F引
G
·
小试牛刀
地球不因自转而瓦解的最小密度
地球以Ｔ＝２4h的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道处的物体受到的万有引力不小于该物体做圆周运动所需的向心力，即
因????=????????=43????????????3
?
而地球平均密度的公认值为 ，
所以足以保证地球处于稳定状态。
????????????????2≥????2????????2????
?
空腔对质点的引力
02
一、质点位于球壳内部
h
R
M0
M
如图，地球内部距离表面为h处的物体受到的万有引力是由内部半径为R－h的球体（红色部分）施加的。外部（绿色部分）整体对物体的引力的合力为零。
均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。
二、质点位于球壳外部
如图，球壳的质量为M,半径为R，质点m到球壳表面的距离为h，那么质点m受到的引为：
即质点m受到的万有引力为将球壳视为一位于球心处的与球壳等质量的质点与壳外质点间的万有引力。
R
m
M
h
②质量分布均匀的空心球对内部的质点：
（1）空心球对质点的万有引力
①质量分布均匀的空心球对外部的质点：
r
m
R
M
R
M
m
R
M
m
质点在空心球内的中心
质点在空心球内的任意位置
万有引力的合力为零。
总 结
①均匀实心球对外部的质点：
（2）实心球对质点的万有引力
R
r
②均匀实心球对内部的质点：
R
r
M
m
M
m
为质点所在处以内的球体部分的质量。
R
r
M
m
质点所在处以内的球体部分对该质点的万有引力。
非对称物体间引力的求解
03
当物体间的作用力不符合万有引力的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这种方法是“分割求和”的思想方法，但此处的“和”是矢量和。对本来是非对称的物体，通过割补后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法称为“填补法”（或“割补法”）。这类题目一般采用“填补法”进行等效计算。
【例 1】质量为 M 的均匀实心球体半径为 R，球心为 O 点，在球的右侧挖去一个半径为—的小球，将该小球置于OO′连线上距 O 为 L 的 P 点，O′为挖去小球后空腔部分的中心，如图所示，则大球剩余部分对 P 点小球的引力为多大？
R
2
【例2】一个质量均匀分布的球体，半径为 2r，在其内部挖去一个半径为 r 的球形空穴，使其表面与球面相切，如图所示。已知挖去的小球质量为 m，在球心和空穴中心的连线上，距球心d＝6r 处有一质量为 m2 的质点，求剩余部分对 m2 的万有引力。
D
典例分析
04
2、
【例3】有一物体在地球表面受到的重量为40N，在离地面高为h=R（R为地球半径）处受到的重力为G1（不计地球自转的影响），在地心处受到的重量为G2，则（　　）
由此可见：整个地球对放在球心处的万有引力为0，因此在地球中心处的物重应等于0。
3、假如地球自转速度增大，关于物体的重力，下列说法中正确的是 (　 　)
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增大
解析　地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，选项B正确，D错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R，由于ω增大，则G重减小，选项C正确．
答案　ABC
4．关于重力和万有引力的关系，下列说法错误的是（
）
A．地面附近物体所受的重力就是万有引力
A
B．重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的


C．在不太精确的计算中，可以认为重力等于万有引力


D．严格来说重力并不等于万有引力，除两极处的物体的重

力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力
:
7、火星的半径是地球半径的一半，其质量是地球质量的—，一宇航员的质量是m，他在地球上能举起物体的最大质量是 m0。求这名宇航员：
1
9
（1）在火星上所受的重力是在地球上的多少倍？
（2）在火星上最多能举起质量多大的物体？
感谢您的耐心聆听
I'd like to finish by saying how grateful I am for your attention.

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