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机械能守恒定律的综合应用
1、机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的情形中，物体的动能和势能发生相互转化，但总体的机械能保持不变。
2、机械能守恒定律的表达式：
3、判断机械能是否守恒的方法：①做功角度；②能量转化角度；③碰撞角度
4、利用机械能守恒定律一般解题思路：①选取研究对象；②分析受力与做功情况，判断机械能是否守恒；③选取参考平面，确定初末状态机械能
知识要点
常见题型（概念题）
1、如判断系统在不同条件下是否机械能守恒
2、如判断机械能守恒说法是否正确
机械能守恒定律的理解
【典例1】如图所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球，将小球从与O点在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中( )
A. 小球的重力势能减小
B. 小球的重力势能增大
C. 小球的机械能不变
D. 小球的机械能减小
AD
【典例2】一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上固定一条长为L，拴有小球的细绳.小球由与悬点在同一水平面处释放.如下图所示，小球在摆动的过程中，不计阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A.小球的机械能守恒
B.小球的机械能不守恒
C.小球和小车的总机械能守恒
D.小球和小车的总机械能不守恒
BC
【典例3】如图，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
C
知识点一　机械能守恒的判断
1.对机械能守恒条件的理解:
机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功,可分如下三层理解
(1)只受重力作用:如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动(自由落体、竖直上抛、平抛、斜抛等)。
(2)受其他力,但其他力不做功,只有重力或弹力做功,例如:①物体沿光滑的曲面下滑,受重力、曲面的支持力的作用,但曲面的支持力对物体不做功;②在光滑水平面上的小球运动中碰到弹簧,把弹簧压缩后又被弹簧弹回来。
(3)除重力和弹力之外,还有其他力做功,但其他力做功的总和为零,系统机械能没有转化为其他形式的能,物体的机械能不变,这不属于真正的守恒,但也可以当作守恒来处理。
常见题型（系统内单个物体的基本运算）
1、如对系统内只涉及到单个物体，其仅有重力势能与动能的转换
2、如对系统内只涉及到单个物体，其仅有弹性势能与动能的转换
3、如对系统内只涉及到单个物体，其仅有重力势能（弹性势能）与动能的转换
机械能守恒定律的基本应用
【典例1】：
以20m/s的速度将一物体从地面竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10m/s2，试求：
(1)物体上升的最大高度；
(2)以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置。
答案：（1）20m ; （2）10m
【典例2】：在高度为H的桌面上以速度v水平抛出质量为m的物体，当物体落到距地面高为h处时，如图所示，不计空气阻力，以地面为参考面，正确的说法是( )
BD
要点：
链条等物体在模型中质量分布均匀，因此同动能定理的应用相同，寻找其重心，列机械能方程。
机械能守恒定律的链条问题
典例1：一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，桌子足够高，链条的一半垂于桌边，如图所示，现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大
典例2：如图，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
机械能守恒定律综合运用
1、系统中多个物体中的机械能守恒定律
2、机械能守恒定律与曲线运动相结合
3、机械能守恒定律与连接体问题相结合
4、功能关系的应用
5、综合性大题
1、系统（多物体）机械能守恒
要点：
多物体运用机械能守恒时，要注意每个物体的机械能变化情况，针对于整个系统而言，机械能的总量一定是不变的。
系统机械能守恒的三种表达方式
(1)从能量守恒的角度:系统初状态机械能等于末状态机械能，E1=E2或ΔE=E2-E1=0。
(2)从能量转化的角度:系统减少的总势能等于系统增加的总动能，ΔEk=-ΔEp或ΔEp减=ΔEk增，表示系统增加的动能等于减少的势能。
(3)从机械能转移的角度:若系统仅A、B两物体，那么系统内A机械能增加量等于系统内B机械能的减少量，ΔEA=-ΔEB或ΔEB=-ΔEA
2、机械能守恒定律与曲线运动相结合
【典例】：
如图所示，小球m从斜面上高H处自由下滑，后进入半径为R的圆轨道，不计摩擦，则H为多少才能使球m能运动到轨道顶端？
解析
3、机械能守恒定律与连接体相结合
连接体+轻绳
连接体+轻杆
连接体+轻弹簧
1.常见模型
连接体+轻绳
2．重点点拨
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
连接体+轻绳
【典例】如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连。已知M=2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离（未落地）时，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？
解法一：用E1=E2求解
解法二：用ΔEk=-ΔEp求解
解法三：用ΔEA=-ΔEB求解
解法一：用E1=E2求解。
设砝码开始时离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初始机械能E1=-Mgx，
系统的末机械能
E2=-Mg（x+h）+ （M+m）v2。
由E1=E2得：-Mgx=-Mg（x+h）+ （M+m）v2，
解得：v=
解法二：用ΔEk=-ΔEp求解。
在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为
ΔEk= （M+m）v2，
系统减少的重力势能ΔEp=-Mgh，
由ΔEk=-ΔEp得 （M+m）v2=Mgh，
解得：v=
解法三：用ΔEA=-ΔEB求解。
在砝码下降的过程中，木块增加的机械能
ΔEm= mv2，砝码减少的机械能ΔEM= Mv2-Mgh
由ΔEm=-ΔEM得：
mv2=Mgh- Mv2，
解得：v=
【典例】如图所示，固定斜面的倾角为，斜面与水平台面间有一定滑轮，质量分别为2m、m的两滑块P、Q，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮连接，轻绳一部分与水平台面平行，另一部分与光滑斜面平行，已知滑块Q与水平台面间的动摩擦因数为0.3，其它摩擦不计，重力加速度为g，取 ，在两滑块由静止释放后的运动过程中（　　）
A．两滑块的加速度大小为 0.3g
B．轻绳对Q做的功等于Q动能的增加量
C．Q机械能的增加量小于P机械能的减少量
D．P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量
连接体+轻绳
AC
【典例】如图所示，将质量为3m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，杆足够长，下列说法正确的是（　　）
A．环到达B处时，重物上升的高度
B．环到达B处时，环与重物的速度大小相等
C．环从A到B，环减少的机械能大于重物增加的机械能
D．环能下降的最大高度为
连接体+轻绳
D
【典例】如图所示，NPQ是由光滑细杆弯成的半圆弧，其半径为R，半圆弧的一端固定在天花板上的N点，NQ是半圆弧的直径，处于竖直方向，P点是半圆弧上与圆心等高的点。质量为m的小球A(可视为质点)穿在细杆上，通过轻绳与质量也为m的小球B相连，轻绳绕过轻小定滑轮C。将小球A移到P点，此时CP段轻绳处于水平伸直状态，CP＝2R，然后将小球A由静止释放。若不计一切摩擦，当小球A由P点运动到圆弧最低点Q的过程中，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　 )
ACD
【正确答案】ACD
1．常见模型
连接体+轻杆
2．重点点拨
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
【典例】 如图，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g)
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
图8
连接体+轻杆
图8
【解析】（1）小球A和B及杆组成的系统机械能守恒
vA＝2lω，vB＝lω
【典例】如图所示，长为2L的轻质杆一端用铰链固定于O点，杆的中点固定有质量为m的小球A，杆的另一端固定有质量为2m的小球B。现将杆从水平位置由静止释放，不计杆、球系统在竖直平面内转动过程中所受的摩擦，重力加速度为g，求：
（1）刚释放杆时，B球的加速度大小a；
（2）由水平位置转过90°时，杆转动的角速度ω；
（3）杆转至竖直位置时，杆对铰链的作用力F。
连接体+轻杆
【典例】如图所示,固定在竖直面内的光滑圆环半径为R,圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点),且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连,在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g),下列说法正确的是( 　 )
A. B球减少的机械能等于A球增加的机械能
B. B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能
C. B球的最大速度为
D. B球克服细杆弹力所做的功为 mgR
连接体+轻杆
ACD
【典例】 如图，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球。支架悬挂在0点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴自由转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时
的高度
D.当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
图8
连接体+轻杆
BCD
【典例】如图所示，左侧固定竖直的半径为R的光滑半圆环，最高点和最低点与圆心在同一竖直线上。右侧与圆心O等高处固定一光滑水平直杆，直杆左端与圆心重合且与半圆环在同一平面内。质量均为m的两个小球A(a)、B(b)分别套在半圆环和直杆上，两球之间用长L= R的轻杆通过铰链连接。现在从圆环的最高处给A球一个轻微扰动，使A球沿圆环下滑，下滑过程中轻杆不会与水平杆相碰，不计一切摩擦，小球A、B均可看作质点，重力加速度为g。求∶
(1)小球A滑到与圆心等高处时向心力的大小；
(2)如图，小球A从开始下滑至O点下方，且轻杆与
水平杆的夹角=30°的过程中，轻杆对小球B做的功。
连接体+轻杆
与弹簧相关的机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
连接体+轻弹簧
【典例】如图所示，一倾角为30°的斜面固定在水平地面上，一质量为M的物块A放在斜面上恰好不下滑。将一不可伸长的轻绳一端连接A，另一端跨过光滑定滑轮后与一轻弹簧相连，轻弹簧下端栓接质量为m的重物B。开始时弹簧恰处于原长，将B由静止释放，当B下降到最低点时（未着地），A恰好不上滑。下列说法不正确的是（　　）
A．M=2m
B．B下落一半距离时有最大速度
C．B下落过程中A、B系统机械能守恒
D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
连接体+轻弹簧
C
【典例】如图所示，A、B两物体通过劲度系数k=50N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证弹簧、细线ab段和cd段均竖直。已知A、B的质量均为m=0.5kg，重力加速度g=10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后，C竖直向下运动，A刚要离开地面时，B获得最大速度vB，当时C未落地。求：
（1）C的质量mC；
（2）B的最大速度vB；
（3）从释放C到B获得最大速度的过程中，绳子拉力对C所做的功。
连接体+轻弹簧
【例题】如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，∠ONM<∠OMN< 。在小球从M点运动到N点的过程中（　　 ）
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
BCD
【典例】水平面上固定一个倾角θ＝30°的光滑斜面，斜面底端挡板与斜面垂直，两块可视为质点的物块a和物块b，质量分别为m和2m，它们之间用劲度系数为k的轻弹簧拴接，开始时施加外力使得物块a和b间的弹簧处于原长置于斜面上，此时物块a离斜面底端挡板的距离为L。现撤去外力，让两物块自由滑下，当物块a接触挡板时，速度瞬间变为零，此后物块b运动到最高点时，物块a恰好不离开挡板，不计任何阻力，重力加速度为g。则从两物块自由下滑到物块b第一次回到最高点这一过程，下列说法正确的是(　　)
连接体+轻弹簧
D
【解析】从斜面下滑时，两物块的加速度相同，弹簧处于原长状态，物块b的机械能守恒，当物块a接触挡板后，弹簧先对物块b做负功，速度减为零后，弹簧对物块b再做正功至弹簧反向恢复原长，而后物块b再向上运动，弹簧的弹性势能增加，因此两物块自由下滑到物块b第一次回到最高点这一运动过程中，物块b的机械能不守恒，A错误；对两物块和弹簧组成的系统，由于物块a接触挡板后速度瞬间变为零，有机械能损失，所以这一运动过程中，两物块和弹簧组成的系统机械能不守恒，B错误；物块b运动到最高点时，物块a恰好不离开挡板，
【正确答案】D
1.多个物体组成的系统，单个物体机械能一般不守恒，系统机械能往往是守恒的；
2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系；
3.机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
或ΔEk＝－ΔEp
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑
应用表达式ΔEk＝－ΔEp
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB
总结：多物体组成的系统机械能守恒
练习：将细绳绕过两个定滑轮A和B．绳的两端各系一个质量为m的砝码。A、B间的中点C挂一质量为M的小球，M<2m，A、B间距离为l，开始用手托住M使它们都保持静止，如图所示。放手后M和2个m开始运动。求：
(1)小球下落的最大位移H是多少？
(2)小球的平衡位置距C点距离h是多少？
解：(1)如答案图(a)所示，M下降到最底端时速度为零，此时两m速度也为零，M损失的重力势能等于两m增加的重力势能(机械能守恒)
解得
(2)如答案图(b)所示，当M处于平衡位置时，合力为零，T=mg，则
Mg-2mgsinα=0
练习：如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计）
解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。
由于B、C角速度相同，
解得：
对于C球,由动能定理得
解得杆BC段对C球做功
练习：一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= ______
h
A
B
O
解：第一次恰能抵达B点，不难看出
v B1=0
由机械能守恒定律
mg h1 =mgR+1/2·mvB12
∴h1 =R
第二次从B点平抛
R=vB2t R=1/2·gt 2
mg h2 =mgR+1/2·mvB22
h2 =5R/4
h1 ：h2 = 4：5
4：5
练习：一轻绳两端各系一小物体A和B，且 mA>mB ，跨放在一个光滑的半圆柱体上，半圆柱体的半径为R，A、B 刚好贴在圆柱体的截面水平直径两端，如下图所示，今让两球由静止释放，当B 到达圆柱体的最高点时，刚好脱离圆柱体，试求：
(1)B到最高点的速度。
(2) mA和mB的比值。

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