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专题05 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究单调性（含参）问题）
利用导函数研究单调性（含参）问题
①导函数有效部分为一次型（或类一次型）
②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）
③导函数有效部分为不可因式分解的二次型
①导函数有效部分为一次型（或类一次型）
角度1：导函数有效部分为一次型
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数.
判断函数的单调性：
解的定义域为，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，.令，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数，
讨论函数的单调性；
解由题意知：定义域为，；
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数（其中为参数）.
求函数的单调区间：
解由题意得：定义域为，；
当时，，则的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，解得：；
当时，；当时，；
的单调递增区间为；单调递减区间为；
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．讨论函数的单调性；
，．
当时，，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而，若，则，从而，从而函数在上单调递减，在上单调递增．
5．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数讨论函数的单调性；
解：因为，定义域为，
所以.
①当时，，故在上单调递增；
②当时，若，则，若，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
角度2：导函数有效部分为类一次型
1．（2022·河南驻马店·高二期中（理））已知函数，为常数．
讨论函数的单调性；
解：因为定义域为，，
当时，，则在上单调递增，
当时，由解得，
时，，单调递减，
时，，单调递增
综上知：当时，在上单调递增，
当，的单调递减区间为，单调递增区间为．
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数，．
讨论函数的单调性；
【解析】
的定义域为，
当时，，故在R上递减．
当时，令得，令得
综上可知：时，在上单调递减
时，在上单调递减，在单调递增
3．（2022·四川德阳·三模（文））已知函数，判定函数的单调性；
【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
解：由题得，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令所以令所以
所以此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
因为，定义域为，所以．
①当时，令，解得
即当时，单调递增：当时，单调递减；
②当时在单调递增；
③当时令，解得，
即当时，单调递减；当时，单调递增；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．讨论函数的单调性；
函数的定义域R，求导得：，
若，由，得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
若，则对任意都有，则在R上单调递增，
若，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）
角度1：导函数有效部分为可因式分解的二次型
1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)(2)答案见解析
(1)解：当时，，
所以，
所以，，
故在点处的切线方程是，即；
(2)解：因为定义域为，
所以，
因为，
当，即当时，由，解得或，
当时，恒成立，
当，即当时，由，解得或，
综上，当时，的递增区间是，，
当时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，；
2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数．讨论的单调性；
【答案】函数的定义域为．
．
当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．
当时在单调递增．
当时，，若或，则；若，则．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
当时，，若或，则；若，则．
所以在单调递增，在单调递减．
综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．
时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．
3．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数，.讨论的单调性；
【答案】.
当时，，令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当，即时，恒成立，所以在上单调递增.
当，即时，令，得或；令，得.
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时， 在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
4．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）已知函数，其中.讨论函数f(x)的单调性；
【答案】
的定义域为，依题意可知，，
，
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，由恒成立，所以在定义域上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在定义域上单调递减.
5．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)求在x＝1处的切线方程；
(2)设，试讨论函数的单调性．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
(1)因为，则，
所以，在x＝1处．
在x＝1处切线方程：，即．
(2)因为，
所以，
①若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
②若，，
当时，在和上，在上，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，在和上，在上，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上，，在上单调递增，在上单调递减；
，在和上单调递增，在上单调递减；
，在上单调递增；
，在和上单调递增，在上单调递减.
6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数
讨论的单调性；
解：由题意可得的定义域为
①当时，即，在单调递增．
②当时，即，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增；
③当时，即，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
④当时，即，
时，，单调递减，
时，，单调递增；
综上可得：
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型
1．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数求函数的单调区间.
【答案】由题意，得
当时，恒成立，所以在R上单调递增.
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数．
(1)当a＝1时，求零点的个数；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)有3个零点；(2)答案见解析.
(1)当a＝1时，，
则，
由，得x<0或x>2，由，得0则在（0，2）上单调递减，在（－∞，0）和（2，+∞）上单调递增，
因为，，，，
所以有3个零点．
(2)由题意可得，
①当a≤0时，由，得x>2，由，得x<2，
则在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
②当时，由，得或x>2，由，得lna则在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增，
③当时，恒成立，则在（－∞，+∞）上单调递增，
④当时，由，得x<2或x>lna，由，得2则在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增，
综上，当a≤0时，f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
当时，在（lna，2）上单调递减，在（－∞，lna）和（2，+∞）上单调递增；
当时，在（－∞，+∞）上单调递增；
当时，在（2，lna）上单调递减，在（－∞，2）和（lna，+∞）上单调递增．
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数
讨论的单调性；
【答案】
的定义域为R, .
i.当a≥-1时, .令,解得；令,解得.
所以的单增区间为,单减区间为.
ii.当时,令,解得：x=0或x=ln(-a-1).
（i）当ln(-a-1)=0,即a=-2时, ≥0,所以在(-∞,+∞)单增.
（ii）当ln(-a-1)>0,即a<-2时,由解得：；由解得：.所以的单增区间为,单减区为.
（iii）当ln(-a-1)<0,即-24．（2022·湖北荆州·高二期中）已知函数．讨论的极值．
【答案】
因为，
所以．
令，得或．
①当时，由，得，由，得．
则在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有极小值，没有极大值.
②当时，由，得或，由，得．
则在上单调递减，在和上单调递增，
所以函数有极大值，极小值．
③当时，恒成立，
则在上单调递增，函数无极值．
④当时，由，得或，由，得．
则在上单调递减，在和上单调递增，
所以函数有极大值，极小值.
综上，当时，函数有极小值，无极大值；
当时，函数有极大值，极小值；
当时，函数无极值；
当时，函数有极大值，极小值 .
5．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数．其中k为实数．
(1)当时，若两个零点，求k的取值范围；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析
(1)解：因为，，
所以，
令得或（舍去），
所以当时，当时
故在上单调递增，在上单调递减，，
要使有两个零点，则，即，解得，
∴．
(2)解：由（1）得，
令解得或，
当时，即
x 0
＋ 0 － 0 ＋
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，即，恒成立，所以的单调递增区间为．
当时，即，
x 0
＋ 0 － 0 ＋
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，
x 0
－ 0 ＋
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
6．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知函数．
设，求函数的单调区间；
【答案】(1)单调增区间是和，单调减区间是
由题意，函数，则，
当时，则，令，解得或；令，解得，．
故的单调增区间是和，单调减区间是．
7．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
讨论函数的单调性；
【答案】
由题意得的定义域为，，
令，得或，
①若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
②若，则（当且仅当时取“=”），在上单调递增.
③若，则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
8．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知函数，为常数，.讨论函数的单调性；
【答案】
且
当 时，在 上 ， 上 ，
当 时，在 上， 上， 上，
当 时，在 上，
当 时，在 上， 上， 上 ，
综上， 时 在 上递减， 上递增，
时在 上递增， 上递减，上递增，
时 在 上递增，
时在 上递增， 上递减， 上递增
③导函数有效部分为不可因式分解的二次型
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，记的导函数为，讨论的单调性；
【答案】解：由已知可得，故可得．
当时，，故在单调递增；
当时，由，解得，或，
记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数，．
讨论函数的单调性；
【答案】
显然，函数的定义域为，且，
①若，显然单调递增．
②若，令，有，
易知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
③若，则，单调递增，
④若，令，有，
易知，
当，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，
若，的增区间为，减区间为；
若，的增区间为；
若，的增区间为，，
减区间为．
3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；
【答案】
由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
4．（2022·河南郑州·三模（理））设函数．
求函数的单调区间；
【答案】
的定义域为，，令，
当≤时，即≥时，在上递增，
当时，即时，，
解得，，
当时解得，或，所以函数在，上单调递增，
当时解得，，所以函数在上单调递减.
综上，当≥时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
5．（2022·河南新乡·高二期中（理））已知函数．若函数，讨论的单调性．
【答案】若，则，
．
当时，，在定义域R上单调递增．
当时，令．解得，．
若或，，则在和上单调递增；
若，，则在上单调递减;
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数.当时，讨论函数的单调性.
【答案】由，得.
令，
当时，，因此，所以函数在上单调递减；
当时，，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
7．（2022·四川南充·三模（理））已知函数．讨论的单调性；
【答案】解：的定义域为，
且，
当时，，则在单调递减，单调递增；
当时，由得，，
所以在单调递减，单调递增；
当时，
①当时，在单调递减；
②当时，当时，
即时，在单调递减；
当时，
即时，
由得，
所以在、单调递减，
在单调递增；
综上所述：
①当时，在单调递减，
在单调递增；
②当时，在单调递减，在单调递增；
③时，在单调递减；
④当时，在、
单调递减，在单调递增；
8．（2022·浙江·模拟预测）设函数.讨论的单调性；
【答案】
①当时，，所以，所以在上递增
②当时，记的两根为
则当时，；当时，；当时，
综上可知，当时，在上递增
当时，在上递增，在上递减，在上递增专题05 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究单调性（含参）问题）
利用导函数研究单调性（含参）问题
①导函数有效部分为一次型（或类一次型）
②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）
③导函数有效部分为不可因式分解的二次型
①导函数有效部分为一次型（或类一次型）
角度1：导函数有效部分为一次型
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数.
判断函数的单调性：
2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数，
讨论函数的单调性；
3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数（其中为参数）.
求函数的单调区间：
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数．讨论函数的单调性；
，．
5．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数讨论函数的单调性；
角度2：导函数有效部分为类一次型
1．（2022·河南驻马店·高二期中（理））已知函数，为常数．
讨论函数的单调性；
2．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）设函数，．
讨论函数的单调性；
3．（2022·四川德阳·三模（文））已知函数，判定函数的单调性；
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中e为自然对数的底数，．讨论函数的单调性；
②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）
角度1：导函数有效部分为可因式分解的二次型
1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递增区间.
2．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数．讨论的单调性；
3．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）已知函数，.讨论的单调性；
4．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）已知函数，其中.讨论函数f(x)的单调性；
5．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知函数，．
(1)求在x＝1处的切线方程；
(2)设，试讨论函数的单调性．
6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数
讨论的单调性；
角度2：导函数有效部分为可因式分解的类二次型
1．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知函数求函数的单调区间.
2．（2022·辽宁·高二期中）已知函数．
(1)当a＝1时，求零点的个数；
(2)讨论的单调性．
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知函数
讨论的单调性；
4．（2022·湖北荆州·高二期中）已知函数．讨论的极值．
5．（2022·浙江·罗浮中学高二期中）已知函数．其中k为实数．
(1)当时，若两个零点，求k的取值范围；
(2)讨论的单调性．
6．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知函数．
设，求函数的单调区间；
7．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
讨论函数的单调性；
8．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知函数，为常数，.讨论函数的单调性；
③导函数有效部分为不可因式分解的二次型
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，记的导函数为，讨论的单调性；
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知函数，．
讨论函数的单调性；
3．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；
4．（2022·河南郑州·三模（理））设函数．
求函数的单调区间；
5．（2022·河南新乡·高二期中（理））已知函数．若函数，讨论的单调性．
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数.当时，讨论函数的单调性.
7．（2022·四川南充·三模（理））已知函数．讨论的单调性；
8．（2022·浙江·模拟预测）设函数.讨论的单调性；

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