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第6讲 条件概率和全概率公式及应用3种常考题型
【考点分析】
考点一：条件概率
①条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B).
②概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则.
我们称上式为概率的乘法公式.
③条件概率的性质
设，则
（1）如果和是两个互斥事件，则；
（2）设和互为对立事件，则.
考点二：全概率公式
①全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有，i＝1,2，…，n
②贝叶斯公式：
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，，有，i＝1,2，…，n
【题型目录】
题型一：条件概率的计算
题型二：条件概率的证明题
题型三：全概率公式及应用
【典型例题】
题型一：条件概率的计算
【例1】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例3】从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（ ）
A． B． C． D．
【例4】盒子里有1个红球与个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次.若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【例5】在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（ ）
A． B． C． D．
【例6】（多选题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件B不相互独立 D．
【例7】已知，，则________.
【例8】在某次考试中，要从20道题中随机地抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中的5道就获得“优秀”．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得“优秀”的概率为 __．
【例9】某次抽奖活动共有50张奖券，其中5张写有“中奖”字样，抽完的奖券不再放回.若甲抽完之后乙再抽.
(1)求在甲中奖的条件下，乙中奖的概率；
(2)证明：甲中奖的概率与乙中奖的概率相等.
【例10】今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．
(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；
(2)设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和．
【题型专练】
1．已知抽奖盒中装有大小形状完全相同的奖票12张，其中一等奖2张、二等奖4张、三等奖6张.甲每次从中随机抽取一张奖票且不放回，则在他第一次抽到的是一等奖的前提下，第二次抽到三等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有和正常工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）将甲 乙 丙 丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与不相互独立
C． D．
6．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______．
7．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______．
8．从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
9．足球运动，最早的起源在中国.在春秋战国时期，就出现了“蹴鞠”或名“塌鞠”某足球俱乐部随机调查了该地区100位足球爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区足球爱好者的平均年龄：（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计该地区足球爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区足球爱好者占比为，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的，从该地区任选1人，若此人的年龄位于区间，求此人是足球爱好者的概率.
题型二：条件概率的证明
【例1】从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，．
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．
①证明：；
②求．
【例2】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
(1)证明：；
(2)利用该调查数据，给出及R的估计值．
【题型专练】
1．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲 30天 20天 40天 10天
乙 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
题型三：全概率公式及应用
【例1】已知，，，则（　　）
A． B． C．0.33 D．0.1
【例2】盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（多选题）一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
【例5】现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________.
【例6】（1）已知与独立，且，求；
（2）已知，，，求，．
【例7】某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【题型专练】
1．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件与事件B相互独立 C． D．
2．（多选题）甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．，，是两两互斥的事件 B．
C．事件与事件相互独立 D．
3．（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
4．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.
5．由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，橙子辅导的同学组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
6．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
7．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
8．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”．
(1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率．第6讲 条件概率和全概率公式及应用3种常考题型
【考点分析】
考点一：条件概率
①条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B).
②概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则.
我们称上式为概率的乘法公式.
③条件概率的性质
设，则
（1）如果和是两个互斥事件，则；
（2）设和互为对立事件，则.
考点二：全概率公式
①全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有，i＝1,2，…，n
②贝叶斯公式：
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，，有，i＝1,2，…，n
【题型目录】
题型一：条件概率的计算
题型二：条件概率的证明题
题型三：全概率公式及应用
【典型例题】
题型一：条件概率的计算
【例1】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件概率公式求解即可
【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，
“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，
则由题意可得，
则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为
.
故选：.
【例2】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式求解即可
【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，
则，
所以.
故选：C
【例3】从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次；
则数字为的倍数的数有：，所以，
第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：
第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种；
第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种；
第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种.
则，
.
故选：B.
【例4】盒子里有1个红球与个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次.若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】分别计算出至少有一次取到红球与两次都取到红球的概率，用条件概率计算公式计算.
【详解】设事件A为至少有一次取到红球，事件为两次都取到红球，由每次取后放回知
两次都取到白球的概率为
故
，故.
故选：B
【例5】在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的计算公式以及排列数、组合数进行计算求解.
【详解】由题得，，
则，故A，B，D错误.
故选：C.
【例6】（多选题）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．事件与事件B不相互独立 D．
【答案】BCD
【分析】计算，A错误；计算条件概率得到BD正确；根据事件的独立性判断C正确，得到答案.
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，，，，正确；
对选项D：，，正确；
故选：BCD
【例7】已知，，则________.
【答案】##
【分析】由条件概率公式求解，
【详解】由题意得，而，得，
而，解得，
故答案为：
【例8】在某次考试中，要从20道题中随机地抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中的5道就获得“优秀”．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得“优秀”的概率为 __．
【答案】
【分析】先由和事件概率的求法计算他通过考试的概率，再代入条件概率公式计算已经通过考试的条件下获得“优秀”的概率即可.
【详解】设“他能答对其中的6道题”为事件A，“他能答对其中的5道题”为事件B，“他能答对其中的4道题”为事件C，
设“他考试通过”为事件D，“他考试获得优秀”为事件E．
则由题意可得D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A、B、C两两互斥．
．
又，，
∴．
故答案为：．
【例9】某次抽奖活动共有50张奖券，其中5张写有“中奖”字样，抽完的奖券不再放回.若甲抽完之后乙再抽.
(1)求在甲中奖的条件下，乙中奖的概率；
(2)证明：甲中奖的概率与乙中奖的概率相等.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）求出甲中奖的条件下，乙抽奖时，奖券的总数列及写有“中奖”字样奖券的张数，从而可得出答案；
（2）分甲不中奖和甲中奖的条件下两种情况讨论，结合条件概率公式求出乙中奖的概率，从而可得出结论.
(1)
解：设事件为甲中奖，事件为乙中奖，
因为抽完的奖券不再放回，
所以甲中奖的条件下，乙抽奖时，有张奖券且4张写有“中奖”字样，
所以在甲中奖的条件下，乙中奖的概率；
(2)
证明：，
乙中奖分两种情况，
当甲不中奖时，乙抽奖时，有张奖券且5张写有“中奖”字样，
则在甲不中奖的条件下，乙中奖的概率，
所以甲不中奖且乙中奖的概率，
在甲中奖的条件下，乙中奖的概率，
所以甲中奖且乙中奖的概率，
所以乙中奖的概率，
所以甲中奖的概率与乙中奖的概率相等.
【例10】今年春季新型冠状病毒肺炎疫情又有爆发趋势，上海医疗资源和患者需求之间也存在矛盾，海安决定支持上海市.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名请战的6名医生（其中男医生4人、女医生2人）中，任选3人奔赴上海新冠肺炎防治一线．
(1)求所选3人中恰有1名女医生的概率；
(2)设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件B，求和．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式即可求出．
【详解】（1）设所选3人中恰有1名女医生为事件M，，
故所选3人中恰有1名女医生的概率为.
（2），，．
【题型专练】
1．已知抽奖盒中装有大小形状完全相同的奖票12张，其中一等奖2张、二等奖4张、三等奖6张.甲每次从中随机抽取一张奖票且不放回，则在他第一次抽到的是一等奖的前提下，第二次抽到三等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率公式求解即可.
【详解】记事件为第一次抽到的是一等奖，则；
事件为第二次抽到的是三等奖，则，
所以.
故选：C
2．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山四个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件为“甲和乙至少一人选择庐山”，事件为“甲和乙选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分别计算出和，再利用条件概率公式计算即可.
【详解】由题意知事件： “甲和乙至少一人选择庐山”包含种情况，
事件： “甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择庐山”包含种情况，所以.
故选：D.
3．如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有和正常工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有和正常工作的概率，在利用条件概率公式求解即可.
【详解】设事件为系统正常工作，事件为只有和正常工作，
因为并联元件、能正常工作的概率为，
所以，
又因为，
所以，
故选：C
4．某科技公司联欢会进行抽奖活动，袋中装有标号为1，2，3的大小、质地完全相同的3个小球，每次从袋中随机摸出1个球，记下它的号码，放回袋中，这样连续摸三次.规定“三次记下的号码都是2”为一等奖.已知小张摸球“三次记下的号码之和是6”，此时小张能得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据古典概型公式，结合条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为所有基本事件的个数为，三次抽到的号码之和为6，包括3次号码都不一样，分别是1，2，3，基本事件的个数为；号码都一样全是2，基本事件的个数为1，故事件包含的基本事件的个数为，事件包含的基本事件的个数为1，事件包含的基本事件个数为1，
所以，，
由条件概率公式可得，
故选：C．
5．（多选题）将甲 乙 丙 丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与不相互独立
C． D．
【答案】BD
【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.
【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为，则，同理，
事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，
对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B，，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C，，C不正确；
对于D，，D正确.
故选：BD
6．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为______．
【答案】##
【分析】利用条件概率公式，计算可得答案.
【详解】设该同学通过第一轮为事件，通过第二轮为事件，
故，，则两轮都通过的概率为：
根据题意，利用条件概率公式，
该同学在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为：
，
故该同学两轮都通过的概率为：
故答案为：
7．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为______．
【答案】
【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率公式计算得到答案.
【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，
则，.
.
故答案为：
8．从，，，，中，甲、乙两人各任取一数（不重复），已知甲取到的数是的倍数，则甲取到的数大于乙取到的数的概率为______．
【答案】
【分析】利用条件概率公式计算即可.
【详解】解：设事件表示“甲取到的数比乙大”，事件表示“甲取到的数是5的倍数”，
则甲取到的数是5的倍数，甲取到的数大于乙取到的数的概率为，
，
，
所以，
即甲取到的数大于乙取到的数的概率为.
故答案为：.
9．足球运动，最早的起源在中国.在春秋战国时期，就出现了“蹴鞠”或名“塌鞠”某足球俱乐部随机调查了该地区100位足球爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区足球爱好者的平均年龄：（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计该地区足球爱好者年龄位于区间的概率；
(3)已知该地区足球爱好者占比为，该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的，从该地区任选1人，若此人的年龄位于区间，求此人是足球爱好者的概率.
【答案】(1)岁
(2)0.48
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图平均值的计算方法直接求解平均年龄即可；
（2）首先从频率分布直方图中读取年龄位于区间的频率，用频率估计概率，即可得到足球爱好者年龄位于区间的概率；
（3）利用条件概率计算公式求解即可.
【详解】（1）估计该地区足球爱好者的平均年龄
岁.
（2）由题图，得该地区足球爱好者年龄位于区间的频率为
，
用频率估计概率，故足球爱好者年龄位于区间概率为0.48.
（3）记事件A为：“任选一人，年龄位于区间”，事件B为：“任选一人是足球爱好者”，由条件概率公式可得：.
题型二：条件概率的证明
【例1】从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，．
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．
①证明：；
②求．
【答案】(1)；(2)①证明见解析，②
【分析】（1）所求概率为，由条件概率的公式计算.
(2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率.
【详解】（1）由条件概率公式可得；
所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为；
（2）①由条件概率乘法公式
可得，
由,可得,
所以
②由①可得
=
，所以．
【例2】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
(1)证明：；
(2)利用该调查数据，给出及R的估计值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，R的估计值为6
【分析】（1）由条件概率公式证明即可；
（2）由条件概率公式结合（1）中结论求解即可.
(1)
，，
又，，
则；
(2)
，，，
，即，，R的估计值为6.
【题型专练】
1．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲 30天 20天 40天 10天
乙 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(3)由条件结合条件概率公式证明，由此证明.
【详解】（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，
事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，
因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，．
（2）由题知，
即，即，
即，
即，即，
即．
题型三：全概率公式及应用
【例1】已知，，，则（　　）
A． B． C．0.33 D．0.1
【答案】A
【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解.
【详解】解：由全概率公式可得：
可得，解得：.
故选：A.
【例2】盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B，则，再利用全概率公式求解.
【详解】解：设事件“第一次抽出的红球”为A，事件“第二次抽出的是红球”为B，
则，
由全概率公式得，
由题意得，
，
所以，
故选：B
【例3】一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可.
【详解】由题得，，
根据条件概率公式，得.
，故A，B正确.
对选项C，，
所以，
故C错误.
对选项D，，
，故D错误.
故选：AB
【例4】一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
【答案】##
【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.
【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得
故
故答案为：
【例5】现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________.
【答案】8
【分析】方法一：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.
【详解】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，
因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当时，.
故答案为:8．
方法二：设“取出第个袋子”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且，，，两两互斥，，
，，所以，
所以，，即，解得：.
故答案为：．
【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题
根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)
再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)
最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可.
累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.
【例6】（1）已知与独立，且，求；
（2）已知，，，求，．
【答案】（1）；（2）；．
【分析】（1）根据题意求得，结合，即可求解；
（2）由全概率公式求得的概率,结合，即可求解.
【详解】（1）由，可得，
因为与独立，所以.
（2）因为，，所以，，
又因为，
由全概率公式，可得,
，
又由，所以.
【例7】某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则 彼此互斥，求出相关的概率，
再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则 彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
【题型专练】
1．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．事件与事件B相互独立
C． D．
【答案】D
【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得，所以A错误；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：D
2．（多选题）甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以，和表示由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以表示由乙盒子取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A．，，是两两互斥的事件 B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】AD
【分析】根据的意义可求其概率，从而可判断D的正误，根据全概率公式可计算，故可判断B的正误，根据独立事件的乘法公式和互斥事件的定义可判断AC的正误.
【详解】，
又，故D正确.
故
，故B错误.
，故，
所以事件与事件不相互独立，故C错误，
根据互斥事件的定义可得两两互斥，故A正确.
故选：AD
3．（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【分析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到3号球的事件为，
，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
，，
，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.
故选：AB
4．盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.
【答案】
【分析】根据全概率公式求解可得.
【详解】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”，
则，所以，
由题可得，，，，
所以.
故答案为：.
5．由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，橙子辅导的同学组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）
(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？
(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，则，再根据二项分布的概率公式求解即可；
（2）设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故，进而结合全概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】（1）解：因为该市2021年男女驾驶员的比例为，
所以，在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为，
设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，
所以，
所以，恰有1位女驾驶员的概率是.
（2）解：设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故.
所以，，，
所以，根据全概率公式，，
所以，
所以，该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少.
6．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【答案】(1)；(2)0.25
【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；
（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.
（1）
设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
．
（2）
．
7．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．
(1)求这件产品是次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”，利用条件概率公式可得的值；
（2）利用条件概率的性质和公式可求得所求事件的概率.
(1)
解：设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”．
则，，，，
由全概率公式，所求概率为
．
(2)
解：所求概率为.
8．“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”，乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”．
(1)若从甲箱中任取2个“青团”，求这2个“青团”馅不同的概率；
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个“青团”，求取出的这个“青团”是肉松馅的概率．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）应用古典概率的求法求2个“青团”馅不同的概率即可.
（2）利用全概率公式求乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅的概率.
(1)
从甲箱中任取2个“青团”的事件数为，
这2个“青团”馅不同的事件数为，
所以这2个“青团”馅不同的概率为．
(2)
设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’，取出的这个‘青团’是肉松馅”，
事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”，
事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”，
事件为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”，
则彼此互斥．
，，，
，
所以，
所以取出的这个“青团”是蛋黄馅的概率为．

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