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9.2.4 总体离散程度的估计
第9章 统计
人教A版2019必修第二册
学习目标
1.掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度,培养数据分析的核心素养；
2.通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度，能够正确计算样本的标准差或方差，提升数学运算的核心素养。
新知导入
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
【问题】　若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
【提示】　不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子.
问题3：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这次这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？
甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10
乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的.那么，如何度量成绩的这种差异呢？
一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.根据甲、乙运动员的10次射击成绩，可以得到
甲命中环数的极差乙命中环数的极差
可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.
思考1：如何定义“平均距离”？
假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即作为到的“距离”.可以得到这组数据到的“平均距离”为
为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即.
我们称为这组数据的方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式.
.
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平，取它的算术平方根，即.
我们称为这组数据的标准差.
思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？
标准差.表示这组数据中的每一个数据到平均数的距离都是0，即这组数据的每个数据是相等的.
标准差
如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差.
与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为
，…，，其中出现的频数为，则总体方差为.
如果一个样本中个体的变量值分别为
，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，分差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得
由可知,甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲.
例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配
的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和
标准差一起能反映数据取值的信息. 例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数=8.79，样本标准差s≈6.20.
课堂练习
1. 不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗
(1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5；
(2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6；
(3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7；
(4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8.
解：
随堂检测
1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为(单位：cm)：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1) 分别计算两组数据的平均数及方差；
(2) 根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
3　甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
解　由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
4.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为
A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1
√
解析　比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2.
5.对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：
甲：27,38,30,37,35,31
乙：33,29,38,34,28,36
根据以上数据，试判断他们谁的成绩比较稳定．
【解析甲＝×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝×94≈15.7，
乙＝×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33，
＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝×76≈12.7. 所以甲＝乙，>.
这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的稳定．
6.已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.
【解析】设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20=[s2＋(1.2－2.4)2]＋[10＋(1.2－1.8)2]＋[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52.
【答案】118.52
7.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
【解析】甲的平均成绩和方差如下：
甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，
＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，
＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．
THANKS
“
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