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9.2.2 总体百分位数的估计
第9章 统计
人教A版2019必修第二册
学习目标
1.结合实例，能用样本估计百分位数.
2.理解百分位数的统计含义.
前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水集中在一个较低值区域”等推断接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢 下面我们对此进行讨论
问题2：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？
首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻求一个数，使全市居民用户月均用水量中不超过的占80%，大于的占20%.下面我们通过样本数据对的值进行估计.
把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8.可以发现区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数.
根据样本数据第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右.由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14，或者把年用水量标准定为168.
一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数：
第一步，按从小到大排列原始数据.
第二步，计算.
第三步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数分位数为第项与第项数据的平均数.
我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数、第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数，也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
例2 根据下列样本数据，估计树人中学高一年级女生第25，50，75百分位数.
女生
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0
162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0
155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
解：把27名女生的样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 172.0
由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164.
据此可以估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164.
例3 根据下列图表，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
解：由上表可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%+32%+13%+9%=77%，在16.2t以下的居民用户所占比例为77%+9%=86%.
因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2)内.
由13.2+3×(0.80-0.77)/(0.86-0.77)=14.2.
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.
类似地，由22.2+3×(0.95-0.94)/(0.98-0.94)=22.95
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
课堂练习
解：将100户居民的月均用水量按小到大的顺序排列如下：
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 16.8 17.0 17.9 18.3 19.4 20.5 21.6 22.2 22.4 24.3 24.5 25.6 28.0
由于100×60％=60.
∴第60百分位数为第60个和第61个数据的平均数，即
因此居民用户月均用水量标准应定为8.0合适.
1. 在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让60%的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适
解：把23名男生的样本数据按从小到大排序，结果如下：
164.0 165.0 165.0 166.0 167.0 168.0 168.0 168.0 170.0 170.0 170.0 172.0
172.0 172.0 173.0 173.0 173.0 173.0 174.0 175.0 175.0 175.0 176.0
由23×25%=5.75，23×50%=11.5，23×75%=17.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第6，12，18项数据，分别为168.0，172.0，173.0.
据此可以估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数分别约为168.0，172.0，173.0.
通过增加样本量，可以减少估计的误差.
2. 根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数. 如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做
3.分别根据图9.2-21)(2)中的数据估计这组数据的月均用水量的第80和95百分位数与根据图9.21估计的结果比较，它们一样吗 你认为根据哪个图得到的估计更好 为什么
随堂检测
1.(多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的
平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的
平均数
√
√
√
解析　因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不对，故选ABD.
2.数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为
A.8.4 B.8.5
C.8.6 D.8.3
√
解析　因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.
3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是
A.14 B.17
C.19 D.23
√
解析　因为8×70%＝5.6，故第70百分位数是第六项数据23.
4.下列一组数据的第25百分位数是
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A.3.2 B.3.0
C.4.4 D.2.5
√
解析　把该组数据按照由小到大排列，
可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，
由i＝10×25%＝2.5，不是整数，
则第3个数据3.2是第25百分位数.
5.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分
位数为_____.
解析　样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，
所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内，
解　将所有数据从小到大排列，
得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，
因为共有12个数据，
所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，
95%分位数是第12个数据为9.9.
6.　从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0，
分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.
7.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)，
第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45])，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.
(1)求x；
解　第一组频率为0.01×5＝0.05，
(2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；
解　由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内，
所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.
解　把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：88,90,92,92,95,96,96,
97,98,99，
评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高.
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
课堂小结：
总体百分位数的估计：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第一步：按从小到大排列原始数据；
第二步：计算i=n×p%；
第三步：若i不是整数，而大于i的比邻整数位j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项的平均数.
THANKS
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