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第二十九讲简单几何体的概念及其三视图和直观图
【考纲解读】
理解简单几何体，多面体和旋转体的定义，掌握多面体和旋转体的性质，了解常见多面体和旋转体的结构特征；
理解简单几何体三视图的定义；掌握简单几何体三视图的作法，能够运用简单几何体三视图的知识解答相关的数学问题；
理解简单几何体直观图的定义；掌握简单几何体直观图的作法，能够运用简单几何体直观图的知识解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、简单几何体的概念：
1、多面体：
【问题】认真观察、分析下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』
【问题】中几何体的共同特点是：①几何体包含若干个平面；②所有平面依次围城一个几何体；
（2）第一个图形的特点是：①侧棱互相平行；②上下底面是平行且相等的多边形；第二个图形的特点是：①侧棱相交于一点；②底面是一个的多边形；第三个图形的特点是：①侧棱延长后相交于一点；②上下底面是平行且相似的多边形。
（1）多面体的定义：由若干个平面依次围城的几何体，叫做多面体。
（2）常见的多面体：
名称 棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余 有一个面是多边形，其余 有两个面互相平行，其余
各面都是四边形，并且相 各面是有一个公共顶点的 各面都是四边形，并且相
邻两个四边形的公共边都 三角形的多面体，叫做棱 邻两个四边形的公共边的
互相平行的多面体，叫做 锥。 延长线都相交于一点的多
棱柱。 面体，叫做棱台。
表示 棱柱ABCD— 棱锥S—ABCD或棱锥 棱台ABCD—
S
A B A B
图形 A B
D C D C D C
名称 棱柱 直棱柱 正棱柱
图形
结构 有两个面互相平行，其余 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱
特征 每相邻两个面的交线互相 柱
平行的多面体
侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等
侧面的 平行四边形 矩形 全等的矩形
形状
过不相邻 平行四边形 矩形 矩形
两侧棱的
截面形状
平行于底 与底面全等的 与底面全等的 与底面全等的
面的截面 多边形 多边形 正多边形
的形状
名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台
图形
结构 有一个面是多边形 底面是正多边形 用一个平行于棱锥 由正棱锥截得正
特征 其余各面是有一个 顶点在过底面中 底面的平面去截棱 棱台
公共顶点的三角形 心且垂直于底面 锥，底面和截面之
的多面体 的直线上的棱锥 间的部分
侧棱 相交于一点但不一 相交于一点且相 延长线交于一点 相等且延长线交
相等 等 于一点
侧面 三角形 全等的等腰三 梯形 全等的等腰梯形
的形 角形（注：各 （注：各侧面等腰
状 侧面三角形的 梯形的高叫斜高）
高叫斜高）
过不相邻 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形
两条侧棱
的截面的
形状
平行于底 与底面相似 与底面相似 与底面相似 与底面相似
面的截面 的多边形 的正多边形 的多边形 的正多边形
形状
（3）多面体的分类：按底面多边形的边数为标准分类： ①可分为三棱柱，四棱柱，-----， 三棱锥，四凌锥，-----，三棱台，四棱台，-------；②按侧棱是否与底面垂直分为直棱柱和斜棱柱；③特别地当底面为正多边形时，分别称为正棱柱，正棱锥，正棱台。
『思考问题』
（1）理解棱柱的概念时应注意把握两个本质特征：①有两个面（底面）互相平行且相等；
②其余各面（侧面）都是平行四边形形，相邻两个侧面的公共边（侧棱）都互相平行且相等；
（2）长方体是特殊的直棱柱，具有如下特殊性质是：①一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，如果设长方体的对角线为l，长，宽，高分别为a，b，c，则=
++；②设长方体一条对角线l与共顶点的三条棱所成的角分别为，则=2；
（3）四棱柱与平行六面体及特殊平行六面体之间的关系是：四棱柱平行六面体 直平行六面体长方体正四棱柱正方体。
2、旋转体：
【问题】认真观察、分析下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』
（1）【问题】中几何体共同特点是：①几何体包含若干个曲面；②曲面依次围城的几何体；
（2）第一个图形的特点是：①展开图是一个矩形；②上下底面是平行且相等的圆；第二个图形的特点是：①展开图是一个扇形；②底面一个圆；第三个图形的特点是：①展开图是一个扇环；②上下底面平行且相似的圆；④第三个图形的特点是平行截面都是相似的圆。
（1）旋转体的定义：①由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所形成的曲面，叫做旋转面；②由封闭的若干个曲面围成的几何体，叫做旋转体。
（2）常见的旋转体：
①圆柱、圆锥、圆台：
名称 圆柱 圆锥 圆台
图形
底面 平行且全等的两个圆面 圆面 相似的两个圆面
轴线 过底面圆心且垂直于 过顶点和底面圆心且 过上、下底面圆心且
底面 垂直于底面 垂直于底面
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线相交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形
平行于底 与底面全等的圆 圆 圆
面的截面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
注：母线与底面圆直径相等的圆柱、圆锥分别称为等边圆柱、等边圆锥
3、球：
（1）球的定义：
一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形
成的曲面，叫做球面，球面所围成的几何体叫做球；
形成球的半圆的圆心叫做球心，连接球心与球面上任
意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点且通过
球心的线段叫做球的直径；
（2）球的小圆与大圆：
球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
（3）球截面的性质：
d=，其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心到截面圆圆心的距离。
4、简单组合体：
【问题】认真观察下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』
（1）【问题】中的几何体的共同特点是：①几何体包含若干个简单几何体；②几何体由若干个简单几何体组合形成；
（2）①第一个图形由一个四棱柱和一个圆柱组合而成；②第二个图形由一个三棱柱和一个圆柱组合而成；③第三个图形由一个球和一个圆柱组合而成。
（1）简单组合体的定义：由若干个简单几何体组合而成的几何体，叫做简单组合体；
（2）简单组合体的构成有两种基本形式：①多面体与旋转体的组合体；②旋转体与旋转体的组合体；
（3）简单组合体常见的三种类型：①外多面体内旋转体，②外旋转体内多面体， ③外内都是旋转体。
二、简单几何体的三视图：
1、平行投影和中心投影：
【问题】认真观察下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』 （图1） （图2）
（1）【问题】中的图1是由一束平行光线照射下形成的投影；
（2）【问题】中的图2是把光线由一点向外散射形成的投影。
（1）平行投影和中心投影的定义：①由一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影；②光线由一点向外散射形成的投影，称为中心投影；
（2）平行投影和中心投影的特点：①平行投影的投射光线都互相平行的，平行投影是对物体投影后得到与原物体大小相等，形状相同的投影；②中心投影的投射光线是由一点发出的，而中心投影是对物体投影后得到与物体大小不等，形状相似的投影；
（3）中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括几何体三视图的画法和
平面图；中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但立体性强，看起来与人的视觉
效一致，最像原来的物体；
（4）画实际效果图时，一般采用平行投影法；画立体几何的图形时，一般采用中心投影法。
2、简单几何体的三视图：
（1）简单几何体的三视图是指：①正视图也称主视图；②左视图也称侧视图；③俯视图；
（2）简单几何体的主视图（或正视图）是指从简单几何体的正前面看到的图形；
（3）简单几何体的侧视图（或左视图）是指从简单几何体的正左面看到的图形；
（4）简单几何体的俯视图是指从简单几何体的正上面往下看到的图形。
（5）三视图的画法：画三视图时，重叠的线只画一条，被挡住的线要画成虚线；
（6）画三视图的基本原则是：① 长对正是指正视图和俯视图的长相等；②高平齐是指正视图和侧视图的高相等，③宽相等指侧视图和俯视图的宽相等；
三、简单几何体的直观图：
1、简单几何体直观图的定义：
直接观察空间几何体所形成的图形，称为空间几何体的直观图；
2、简单几何体直观图的画法--斜二测画法：
（1）画简单几何体的底面：在已知图形中取两条互相垂直的直线分别为x轴和y轴，两轴的交点为原点，具体画图时使（或），已知图形中与x轴平行的线段在直观图图中长度保持不变，平行y轴的线段长度变为原来的一半；
（2）画简单几何体的高：在已知图形中过点O作Z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的也要垂直于平面，已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中也要平行轴且长度不变。
（3）简单几何体直观图中的“三变与三不变”：
①“三变”是指直观图中坐标轴的夹角要改变，平行于y轴的线段的长度要改变，直观图与原图相比也要改变；
②“三不变”是指平行性不变，与x轴，z轴平行的线段的长度不变，相对位置不变。
【探导考点】
考点1简单几何体的结构特征：热点①棱柱（或棱锥）定义与性质；热点②旋转体定义与性质；
考点2简单几何体的三视图：热点①已知简单几何体，识别三视图；热点②已知简单几何体的三视图，确定几何体的形状；热点③已知简单几何体的其中两个视图，确定第三个视图；
考点3简单几何体的直观图：热点①已知简单几何体的直观图，确定几何体图形；热点②已知简单几何体的图形，确定几何体的直观图。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A所有的棱柱两个底面都平行B所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D棱柱至少有五个面
2、下列命题中，正确的是（ ）
A 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B四面体一定是三棱锥C棱锥的侧面是全等的等腰三角形该棱锥一定是正棱锥D底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
3、下列命题中，正确的是（ ）
A直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是圆柱C以平行于圆锥底面的截面截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
4、给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点，圆锥的底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上，下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。其中正确的是（ ）
A ①② B ②③ C ①③ D ②④
5、向量命题中正确的是（ ）
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合。
A ①②③ B ②③④ C ②③ D ②④
『思考问题1』
（1）【典例1】是与空间几何体的定义，性质相关的问题，解答这类问题需要理解相关几何体的定义和性质；
（2）求解与空间几何体的定义，性质相关问题的基本方法是：①分辨问题与哪一个空间几何体相关；②运用该空间几何体的定义和性质解答问题；③得出结果。
〔练习1〕解答下列问题：
1、给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方形；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱。其中正确的命题个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、已知一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为 cm；
3、有两个面平行的多面体不可能是（ ）
A 棱柱 B 棱锥 C 棱台 D 以上都错
4、棱台不具有的性质是（ ）
A 两底面相似 B 侧面都是梯形 C 侧棱都相等 D 侧棱延长后都交于一点
5、下列关于棱锥，棱台的说法：①用一个平面取截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。其中正确说法的序号是 ；
6、用一个培训于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上，下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长为 cm；
7、有下列说法: ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的总决赛球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆。其中正确说法的序号是 ；
8、下列结论正确的是 （把你认为正确的结论全写上）
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 ；
9、有以下命题：①以直角三角形一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形一腰为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱，圆锥，圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆柱，得到一个圆锥和一个圆台。其中正确命题的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
10、给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱。其中不正确的命题为 。
【典例2】解答下列问题：
沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，
则该几何体的侧视图为（ ）
A B C D
2、如图所示是物体的实物图，其俯视图是（ ）
A B C D
3、如图，下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图相同的是（ ）
A B C D
4、如图为正三角形，A∥B
∥C，C⊥平面ABC，且3A=B
=C=AB，则多面体ABC—的
正视图（也称主视图）是（ ） C
A B
A B C D
5、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A 17 B 18 C 20 D 28
6、一个几何体的三视图如图所示，则组成该
组合体的简单几何体为（ ）
A圆柱与圆台 B四棱柱与四棱台
C圆柱与四棱台 D四棱柱与圆台 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
7、由若干个小正方体组成的几何图形的三视
图如图所示，则组成这个组合体的小正方体的
个数是 ； 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
8、某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
9、一个长方体去掉一个小长方体所得几何体的正
（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该
几何体的俯视图为（ ） 正（主）视图 侧（左）视图
A B C D
10、一个三棱锥的正视图和俯视图如图
所示，则该棱锥的侧视图可能为（ ）
正视图
俯视图
A B C D
『思考问题2』
（1）【典例2】是与几何体的三视图相关的问题，解答这类问题需要理解几何体三视图的定义，掌握几何体三视图的画法；
（2）与几何体三视图相关问题主要包括：①已知空间几何体，识别几何体的三视图；②已知空间几何体的三视图，判断几何体的形状；③已知空间几何体中的两个视图，判断第三个视图；
（3）由空间几何体的直观图，识别几何体的三视图注意正（主）视图，侧（左）视图和俯视图的观察方向（看到的部分用实线，重叠的线只画一条，不能看到的部分用虚线）；
（4）由空间几何体的三视图还原几何体的形状，需要熟悉柱，锥，台，球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图；
（5）由空间几何体的部分视图画出剩余视图，先根据已知的一部分视图还原，推测几何体的直观图的可能形式，然后再找其剩余部分视图的可能形式，作为选择题可把选项逐项代入，看是否与已知的视图符合。
〔练习2〕解答下列问题：
1、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所
示，则相应的侧视图为（ ）
| |
| | 俯视图
| | 正视图
A B C D
2、如图是一个正方体截去两个三棱锥得到的几何体
则该几何体的侧视图为（ ）
A B C D
3、如图是将长方体截去一个四棱锥得到的几何体
（侧面为正方形），则该几何体的左视图为（ ）
A B C D
4、如图是一几何体的直观图，正视图和俯视图，
则该几何体的侧视图为（ ）
正视图 俯视图
A B C D
5、正视图是一个三角形的几何体可以是 （写出三种）
6、一个正三棱锥的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的
三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的
面积是 。
7、如图网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A 18+ 36 B 54+18 C 90 D 81
（7题图） （8题图） （9题图）
8、如图某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若这个几何体的体积是，则它的表面积是（）
Ａ　　17　　　Ｂ　　18　　Ｃ　　　20　　　Ｄ　　　　28
9、一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
【典例3】解答下列问题：
下列关于直观图的说法不正确的是（ ）
A原图形中平行于Y轴的线段，对应线段平行于直观图中轴，长度不变B原图形中平行于X轴的线段，对应线段平行于直观图中轴，长度不变C画与直角坐标系XOY对应的时，可以画成D在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
2、给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（ ）
①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知ABC的平面直观图是边长为a的正三角形，那么ABC的面积为（ ）
A B C D
4、已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（ ）
A 2cm B 3cm C 2.5cm D 5cm
5、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是（ ）（2013全国高考四川卷）
6、有一块多边形的菜地，它的水平放置的平 y
面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），
，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜 A D
地的面积为 （2014豫南九校第三次联考） B(O) C x
7、如图矩形是水平放置的一个平面
图形的直观图，其中=6cm，=2cm，则
原图形是（ ）
A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 一般的平行四边形
『思考问题3』
（1）【典例3】是与几何体的直观图相关的问题，解答这类问题需要理解几何体直观图的定义，掌握几何体直观图的画法；
（2）空间几何体直观图的画法—斜二测画法：①画空间几何体的底面：在已知图形中取两条互相垂直的直线分别为X轴和Y轴，两轴的交点为原点，具体画图时使（或），已知图形中与X轴平行的线段在直观图图中长度保持不变，平行Y轴的线段长度变为原来的一半；②画空间几何体的高：在已知图形中过点O作Z轴垂直于XOY平面，在直观图中对应的也要垂直于平面，已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中也要平行轴且长度不变。
（4）空间几何体直观图中的“三变与三不变”：①“三变”是指直观图中坐标轴的 要改变，平行于Y轴的线段的 要改变，直观图与原图相比也要改变；②“三不变”是指平行性不变，与X轴、Z轴平行的线段的 不变，相对位置不变。
〔练习3〕解答下列问题：
1、某几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的直观图可以是（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A B C D
2、某几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的直观图可以是（ ）
正视图 侧视图 俯视图
A B C D
3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A 棱柱 B 棱台 C 圆柱 D 圆台
（3题图） （4题图）
4、如图是水平放置的某个三角形的直观图，是中边的中点，且//轴，，，三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（ ）
A 最长的是AB，最短的是AC B 最长的是AC，最短的是AB
C 最长的是AB，最短的是AD D 最长的是AD，最短的是AC
5、圆柱正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图的面积为（ ）
A B C D
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥A—EFG后，所得几何体的三视图中，正视图如图所示，相应的侧视图是（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
2、以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分部作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）（2021全国高考乙卷）
3、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）（2021
全国高考新高考I）
A 2 B 2 C 4 D 4
4、正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）（2021全国高考新高考II）
A 20+12 B 28 C D
5、如图，是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径为2，则该几何体的表面积为（ ）（2021成都市高三零诊）
A 14 B 16 C 18 D 20
6、某几何体的三视图如图所示，已知网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的表面积为（ ）（2021成都市高三三诊）
A (20+8) B (20+4) C (24+8) D (24+4)
7、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）（2020全国高考新课标I卷）
A B C D
8、如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应点为M，在俯视图中对应点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）（2020全国高考新课标II）
A E B F C G D H
9、如图，是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）（2020成都市高三三诊）
10、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长为 （本题第一空2分，第二空3分）（2019全国高考新课标II）
学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCD—挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，A=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm，不考虑大于损耗，制作该模型所需原料的质量为 （2019全国高考新课标III）
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中关于简单几何体概念，三视图和直观图的问题，归结起来主要包括：①简单几何体的定义与性质；②已知简单几何体的直观图，确定几何体的三视图；③与简单几何体直观图相关的问题等几种类型；
解答简单几何体概念，三视图和直观图的问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图，是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）（2020成都市高三三诊）
2、如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）（2020全国高考新课标II）
A E B F C G D H
（正视图） （侧视图） （俯视图）
3、某几何体是由若干个棱长为1的正方体组合而成，其正视图与侧视图如图所示，该几何体的体积不可能为（ ）（成都市高2024级2021-2022学年度下期期末考试）
A 3 B 4 C 5 D 6
4、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示，圆柱表面上点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）（成都市高2023级2020-2021学年度下期期末考试）
A B C D 1
5、把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形（如图所示），其中==2，=，则四边形ABCD一定是一个（ ）（成都市高2022级2019-2020学年度下期期末考试）
A 菱形 B 矩形 C 正方形 D 梯形
6、体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）（成都市高2022级2019-2020学年度下期期末考试）
A B 2 C 3 D 6
7、中国古建筑借助焊卯将木构件连接起来，构件的凸比部分叫焊头，凹进部分叫卯眼。图中木构件右边的小长方形是卯头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）（2018全国高考新课标III）
A B C D
8、给出下列结论：①在圆柱的上，下面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2017—2018高一质量检测）
A 0 B 1 C 2 D 3
9、祖垣是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖垣原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②，图③，图④分别是圆锥，圆台和半球，则满足祖垣原理的两个几何体为（ ）
A ①② B ①③ C ②④ D ①④
10、有一块多边形的菜地，它的水平放置的平 y
面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），
，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜 A D
地的面积为 B(O) C
简单几何体的概念及其三视图和直观图
【考纲解读】
1.理解简单几何体，多面体和旋转体的定义，掌握多面体和旋转体的性质，了解常见多面体和旋转体的结构特征；
2.理解简单几何体三视图的定义；掌握简单几何体三视图的作法，能够运用简单几何体三视图的知识解答相关的数学问题；
3.理解简单几何体直观图的定义；掌握简单几何体直观图的作法，能够运用简单几何体直观图的知识解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、简单几何体的概念：
1、多面体：
【问题】认真观察、分析下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』
【问题】中几何体的共同特点是：①几何体包含若干个平面；②所有平面依次围城一个几何体；
（2）第一个图形的特点是：①侧棱互相平行；②上下底面是平行且相等的多边形；第二个图形的特点是：①侧棱相交于一点；②底面是一个的多边形；第三个图形的特点是：①侧棱延长后相交于一点；②上下底面是平行且相似的多边形。
（1）多面体的定义：由若干个平面依次围城的几何体，叫做多面体。
（2）常见的多面体：
名称 棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余 有一个面是多边形，其余 有两个面互相平行，其余
各面都是四边形，并且相 各面是有一个公共顶点的 各面都是四边形，并且相
邻两个四边形的公共边都 三角形的多面体，叫做棱 邻两个四边形的公共边的
互相平行的多面体，叫做 锥。 延长线都相交于一点的多
棱柱。 面体，叫做棱台。
表示 棱柱ABCD— 棱锥S—ABCD或棱锥 棱台ABCD—
S
A B A B
图形 A B
D C D C D C
名称 棱柱 直棱柱 正棱柱
图形
结构 有两个面互相平行，其余 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱
特征 每相邻两个面的交线互相 柱
平行的多面体
侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等
侧面的 平行四边形 矩形 全等的矩形
形状
过不相邻 平行四边形 矩形 矩形
两侧棱的
截面形状
平行于底 与底面全等的 与底面全等的 与底面全等的
面的截面 多边形 多边形 正多边形
的形状
名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台
图形
结构 有一个面是多边形 底面是正多边形 用一个平行于棱锥 由正棱锥截得正
特征 其余各面是有一个 顶点在过底面中 底面的平面去截棱 棱台
公共顶点的三角形 心且垂直于底面 锥，底面和截面之
的多面体 的直线上的棱锥 间的部分
侧棱 相交于一点但不一 相交于一点且相 延长线交于一点 相等且延长线交
相等 等 于一点
侧面 三角形 全等的等腰三 梯形 全等的等腰梯形
的形 角形（注：各 （注：各侧面等腰
状 侧面三角形的 梯形的高叫斜高）
高叫斜高）
过不相邻 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形
两条侧棱
的截面的
形状
平行于底 与底面相似 与底面相似 与底面相似 与底面相似
面的截面 的多边形 的正多边形 的多边形 的正多边形
形状
（3）多面体的分类：按底面多边形的边数为标准分类： ①可分为三棱柱，四棱柱，-----， 三棱锥，四凌锥，-----，三棱台，四棱台，-------；②按侧棱是否与底面垂直分为直棱柱和斜棱柱；③特别地当底面为正多边形时，分别称为正棱柱，正棱锥，正棱台。
『思考问题』
（1）理解棱柱的概念时应注意把握两个本质特征：①有两个面（底面）互相平行且相等；
②其余各面（侧面）都是平行四边形形，相邻两个侧面的公共边（侧棱）都互相平行且相等；
（2）长方体是特殊的直棱柱，具有如下特殊性质是：①一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和，如果设长方体的对角线为l，长，宽，高分别为a，b，c，则=
++；②设长方体一条对角线l与共顶点的三条棱所成的角分别为，则=2；
（3）四棱柱与平行六面体及特殊平行六面体之间的关系是：四棱柱平行六面体 直平行六面体长方体正四棱柱正方体。
2、旋转体：
【问题】认真观察、分析下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』
（1）【问题】中几何体的共同特点是：①几何体包含若干个曲面；②曲面依次围城的几何体；
（2）第一个图形的特点是：①展开图是一个矩形；②上下底面是平行且相等的圆；第二个图形的特点是：①展开图是一个扇形；②底面一个圆；第三个图形的特点是：①展开图是一个扇环；②上下底面平行且相似的圆；④第三个图形的特点是平行截面都是相似的圆。
（1）旋转体的定义：①由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所形成的曲面，叫做旋转面；②由封闭的若干个曲面围成的几何体，叫做旋转体。
（2）常见的旋转体：
①圆柱、圆锥、圆台：
名称 圆柱 圆锥 圆台
图形
底面 平行且全等的两个圆面 圆面 相似的两个圆面
轴线 过底面圆心且垂直于 过顶点和底面圆心且垂直 过上，下底面圆心且
底面 垂直于底面 垂直于底面
母线 平行，相等且垂直于底面 相交于一点 延长线相交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形
平行于底 与底面全等的圆 圆 圆
面的截面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
注：母线与底面圆直径相等的圆柱、圆锥分别称为等边圆柱、等边圆锥
3、球：
（1）球的定义：
一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形
成的曲面，叫做球面，球面所围成的几何体叫做球；
形成球的半圆的圆心叫做球心，连接球心与球面上任
意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点且通过
球心的线段叫做球的直径；
（2）球的小圆与大圆：
球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
（3）球截面的性质：
d=，其中r为截面圆的半径，R为球的半径，d为球心到截面圆圆心的距离。
4、简单组合体：
【问题】认真观察下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』
（1）【问题】中的几何体的共同特点是：①几何体包含若干个简单几何体；②几何体由若干个简单几何体组合形成；
（2）①第一个图形由一个四棱柱和一个圆柱组合而成；②第二个图形由一个三棱柱和一个圆柱组合而成；③第三个图形由一个球和一个圆柱组合而成。
（1）简单组合体的定义：由若干个简单几何体组合而成的几何体，叫做简单组合体；
（2）简单组合体的构成有两种基本形式：①多面体与旋转体的组合体；②旋转体与旋转体的组合体；
（3）简单组合体常见的三种类型：①外多面体内旋转体，②外旋转体内多面体， ③外内都是旋转体。
二、简单几何体的三视图：
1、平行投影和中心投影：
【问题】认真观察下列图形，然后回答题后的思考问题：
『思考问题』 （图1） （图2）
（1）【问题】中的图1是由一束平行光线照射下形成的投影；
（2）【问题】中的图2是把光线由一点向外散射形成的投影。
（1）平行投影和中心投影的定义：①由一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影；②光线由一点向外散射形成的投影，称为中心投影；
（2）平行投影和中心投影的特点：①平行投影的投射光线都互相平行的，平行投影是对物体投影后得到与原物体大小相等，形状相同的投影；②中心投影的投射光线是由一点发出的，而中心投影是对物体投影后得到与物体大小不等，形状相似的投影；
（3）中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括几何体三视图的画法和
平面图；中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但立体性强，看起来与人的视觉
效一致，最像原来的物体；
（4）画实际效果图时，一般采用平行投影法；画立体几何的图形时，一般采用中心投影法。
2、简单几何体的三视图：
（1）简单几何体的三视图是指：①正视图也称主视图；②左视图也称侧视图；③俯视图；
（2）简单几何体的主视图（或正视图）是指从简单几何体的正前面看到的图形；
（3）简单几何体的侧视图（或左视图）是指从简单几何体的正左面看到的图形；
（4）简单几何体的俯视图是指从简单几何体的正上面往下看到的图形。
（5）三视图的画法：画三视图时，重叠的线只画一条，被挡住的线要画成虚线；
（6）画三视图的基本原则是：① 长对正是指正视图和俯视图的长相等；②高平齐是指正视图和侧视图的高相等，③宽相等指侧视图和俯视图的宽相等；
三、简单几何体的直观图：
1、简单几何体直观图的定义：
直接观察空间几何体所形成的图形，称为空间几何体的直观图；
2、简单几何体直观图的画法--斜二测画法：
（1）画简单几何体的底面：在已知图形中取两条互相垂直的直线分别为x轴和y轴，两轴的交点为原点，具体画图时使（或），已知图形中与x轴平行的线段在直观图图中长度保持不变，平行y轴的线段长度变为原来的一半；
（2）画简单几何体的高：在已知图形中过点O作Z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的也要垂直于平面，已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中也要平行轴且长度不变。
（3）简单几何体直观图中的“三变与三不变”：
①“三变”是指直观图中坐标轴的夹角要改变，平行于y轴的线段的长度要改变，直观图与原图相比也要改变；
②“三不变”是指平行性不变，与x轴，z轴平行的线段的长度不变，相对位置不变。
【探导考点】
考点1简单几何体的结构特征：热点①棱柱（或棱锥）定义与性质；热点②旋转体定义与性质；
考点2简单几何体的三视图：热点①已知简单几何体，识别三视图；热点②已知简单几何体的三视图，确定几何体的形状；热点③已知简单几何体的其中两个视图，确定第三个视图；
考点3简单几何体的直观图：热点①已知简单几何体的直观图，确定几何体图形；热点②已知简单几何体的图形，确定几何体的直观图。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A所有的棱柱两个底面都平行B所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱D棱柱至少有五个面
【解析】
【知识点】①棱柱定义与性质；②棱柱的结构特征及运用。
【解题思路】根据棱柱的性质，运用棱柱的结构特征，对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，棱柱的两个底面平行，A正确；对B，棱柱的两个底面平行，相邻两个面的公共边平行，B正确；对C，棱柱的两个底面平行，同时对应的侧面也可能平行，侧面都是平行四边形，C错误；对D，三棱柱有五个平面，三棱柱是棱柱中面最少的一个，D正确，综上所述，关于棱柱的说法错误的是选项C，选C。
2、下列命题中，正确的是（ ）
A 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B四面体一定是三棱锥C棱锥的侧面是全等的等腰三角形该棱锥一定是正棱锥D底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
【解析】
【知识点】①棱柱定义与性质；②棱锥定义与性质。
【解题思路】根据棱柱和棱锥的性质，运用棱柱和棱锥的结构特征，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，由两个底面相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，A错误；对B，四面体不一定是棱锥， B错误；对C，只有正棱锥的的侧面才是全等的等腰三角形， C错误；对D，底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥是正棱锥，D正确，综上所述，下列命题中正确的是D，选D。
3、下列命题中，正确的是（ ）
A直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B夹在圆柱两个平行截面间的几何体还是圆柱C以平行于圆锥底面的截面截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
【解析】
【知识点】①旋转体定义与性质；②圆锥定义与性质；③圆柱等腰与性质。
【解题思路】根据旋转体，圆柱和圆锥的性质，运用旋转体，圆柱和圆锥的结构特征，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体不是圆锥， A错误；对B，当两平行平面与圆柱母线平行时，截面之间的几何体不是圆柱， B错误；对C，以平行于圆锥底面的截面截去一个小圆锥后剩余部分是圆台， C正确；对D，当截面与底面不平行时，剩余部分不是棱台， D错误，综上所述，下列命题中正确的是C，选C。
4、给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点，圆锥的底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上，下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。其中正确的是（ ）
A ①② B ②③ C ①③ D ②④
【解析】
【知识点】①圆柱定义与性质；②圆锥定义与性质；③圆台等腰与性质。
【解题思路】根据圆柱，圆锥和圆台的性质，运用圆柱，圆锥和圆台的结构特征，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，圆柱的母线与它的轴一定平行， ①错误；对②，圆锥的顶点，圆锥的底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形， ②正确；对③，当且仅当圆台的上，下两底面圆周上的点与上,下底面圆心的连线平行时，两点之间的连线才是圆台的母线， ③错误；对④，圆柱的母线都与它的轴平行，从而得到圆柱的母线互相平行， ④正确，综上所述，下列命题中正确的是②④，D正确，选D。
5、下列命题中正确的是（ ）
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合。
A ①②③ B ②③④ C ②③ D ②④
【解析】
【知识点】①球定义与性质；②球截面定义与性质。
【解题思路】根据球和球截面的性质，运用球和球截面的结构特征，对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，经过球两个大圆的交线，可以作两个经过球心的圆， ①错误；对②，球的任意两个经过球心的圆的交点的连线必过球心，从而其连线是球的直径， ②正确；对③，当且仅当截面与球的大圆平行时，球心和截面圆心的连线才能垂直于截面， ③错误；对④，球面上任意一点到球心的距离都等于球的半径，从而球是与定点的距离等于定长的所有点的集合， ④正确，综上所述，下列命题中正确的是②④，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与空间几何体的定义，性质相关的问题，解答这类问题需要理解相关几何体的定义和性质；
（2）求解与空间几何体的定义，性质相关问题的基本方法是：①分辨问题与哪一个空间几何体相关；②运用该空间几何体的定义和性质解答问题；③得出结果。
〔练习1〕解答下列问题：
1、给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方形；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱。其中正确的命题个数是（ ）（答案：A）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、已知一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为 cm；
3、有两个面平行的多面体不可能是（ ）（答案：C）
A 棱柱 B 棱锥 C 棱台 D 以上都错
4、棱台不具有的性质是（ ）（答案：C）
A 两底面相似 B 侧面都是梯形 C 侧棱都相等 D 侧棱延长后都交于一点
5、下列关于棱锥，棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。其中正确说法的序号是 ；（答案：②③）
6、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上，下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长为 cm；（答案：cm）
7、有下列说法: ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆。其中正确说法的序号是 ；（答案：①③）
8、下列结论正确的是 （把你认为正确的结论全写上）（答案：④）
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 ；
9、有以下命题：①以直角三角形一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形一腰为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱，圆锥，圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆柱，得到一个圆锥和一个圆台。其中正确命题的个数为（ ）（答案：B）
A 0 B 1 C 2 D 3
10、给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱。其中不正确的命题为 。（答案：①②③）
【典例2】解答下列问题：
1、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，
则该几何体的侧视图为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件画出简单几何体的侧视图就可得出选项。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，其侧视图应该是一个正方形，可以排除D，
中间的棱在侧视图中是一条对角线，又可排除C，对角线的方向应该是从左上到右下，排除A，正确答案为B，选B。
2、如图所示是物体的实物图，其俯视图是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，其俯视图应该是一个矩形，中间棱在俯视图中是一个三角形，且一边为矩形左边，可以排除B，D，三角形的另一个顶点在矩形靠右的位置，又可以排除A，从而C正确，选C。
3、如图，下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图相同的是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体直观图的定义与性质；②简单几何体三视图的定义与性质；③画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的基本原则和方法，结合问题条件就可得出结果。
【详细解答】根据简单几何体的直观图可知，A的三视图是三个相等的正方形，A错误；B的主视图，侧视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，C的主视图，侧视图都是梯形，俯视图是一个大三角形中包含一个小三角形，但主视图的梯形中有一条连接上、下底中点的的线段，D的主视图，侧视图都是三角形，俯视图是一个矩形，但侧视图是直角三角形，可以排除C，D，从而B正确，选B。
4、如图为正三角形，A∥B
∥C，C⊥平面ABC，且3A=B
=C=AB，则多面体ABC—的
正视图（也称主视图）是（ ） C
A B
A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件作出几何体的主视图就可得出选项。
【详细解答】由几何体的图形作出其主视图为D选项所示的图形，D正确，选D。
5、如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）
A 17 B 18 C 20 D 28
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件确定出几何体的直观图，从而求出几何体的表面积就可得出选项。
【详细解答】设该球的半径为R，由几何体的三视图可知，几何体是一个把球挖去剩下的部分，该几何体的体积是，=，R=2，该几何体的表面积是为4+=44+4= 17，A正确，选A。
6、一个几何体的三视图如图所示，则组成该
组合体的简单几何体为（ ）
A圆柱与圆台 B四棱柱与四棱台
C圆柱与四棱台 D四棱柱与圆台 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件确定几何体的直观图就可得出选项。
【详细解答】由几何体的三视图可知，几何体是一个四棱柱和四棱台组合而成的几何体，B正确，选B。
7、由若干个小正方体组成的几何图形的三视
图如图所示，则组成这个组合体的小正方体的
个数是 ； 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件确定几何体的直观图，从而就可求出组合体小正方体的个数。
【详细解答】由几何体的三视图可知，几何体是一个长方体和正方体组合而成的几何体，长方体有6个小正方体，正方体有1个小正方体，该组合体的小正方体的个数为7个。
某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件确定几何体的俯视图就可得出选项。
【详细解答】由几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱（或一个圆柱和一个四棱柱或一个四棱柱和一个三棱柱但三棱柱的底面不可能是等边三角形）的组合体，D正确，选D。
9、一个长方体去掉一个小长方体所得几何体的正
（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该
几何体的俯视图为（ ）（2010全国高考北京卷） 正（主）视图 侧（左）视图
A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件确定几何体的俯视图就可得出选项。
【详细解答】由几何体的主视图和测试题可知，该几何体的俯视图为选项C的图形所示，
C正确，选C。
10、一个三棱锥的正视图和俯视图如图
所示，则该棱锥的侧视图可能为（ ）
（2016石家庄质检）
正视图
俯视图
A B C D
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图定义与性质；②画简单几何体三视图的原则和基本方法。
【解题思路】根据画简单几何体三视图的性质，运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件确定几何体的侧视图就可得出选项。
【详细解答】由几何体的正视图和俯试题可知，该几何体的侧视图为选项D的图形所示，
D正确，选D。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与几何体的三视图相关的问题，解答这类问题需要理解几何体三视图的定义，掌握几何体三视图的画法；
（2）与几何体三视图相关问题主要包括：①已知空间几何体，识别几何体的三视图；②已知空间几何体的三视图，判断几何体的形状；③已知空间几何体中的两个视图，判断第三个视图；
（3）由空间几何体的直观图，识别几何体的三视图注意正（主）视图，侧（左）视图和俯视图的观察方向（看到的部分用实线，重叠的线只画一条，不能看到的部分用虚线）；
（4）由空间几何体的三视图还原几何体的形状，需要熟悉柱，锥，台，球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图；
（5）由空间几何体的部分视图画出剩余视图，先根据已知的一部分视图还原，推测几何体的直观图的可能形式，然后再找其剩余部分视图的可能形式，作为选择题可把选项逐项代入，看是否与已知的视图符合。
〔练习2〕解答下列问题：
1、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所
示，则相应的侧视图为（ ）（答案：D）
| |
| | 正视图 俯视图
| |
A B C D
2、如图是一个正方体截去两个三棱锥得到的几何体
则该几何体的侧视图为（ ）（答案：B）
A B C D
3、如图是将长方体截去一个四棱锥得到的几何体
（侧面为正方形），则该几何体的左视图为（ ）（答案：C）
A B C D
4、如图是一几何体的直观图，正视图和俯视图，
则该几何体的侧视图为（ ）（答案：B）
正视图 俯视图
A B C D
5、正视图是一个三角形的几何体可以是 （写出三种）（答案：三棱锥，三棱柱，圆锥）
6、一个正三棱锥的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的
三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的
面积是 （答案：2）
7、如图网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（答案：B）
A 18+ 36 B 54+18 C 90 D 81
（7题图）（8题图） （9题图）
8、如图某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若这个几何体的体积是，则它的表面积是（）（答案：A）
Ａ　　17　　　Ｂ　　18　　Ｃ　　　20　　　Ｄ　　　　28
一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）（答案：B）
【典例3】解答下列问题：
下列关于直观图的说法不正确的是（ ）
A原图形中平行于Y轴的线段，对应线段平行于直观图中轴，长度不变B原图形中平行于X轴的线段，对应线段平行于直观图中轴，长度不变C画与直角坐标系XOY对应的时，可以画成D在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
【解析】
【知识点】①直观图定义与性质；②画直观图的基本方法。
【解题思路】根据直观图的性质，运用画直观图的基本方法，结合问题条件，对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，原图形中平行于y轴的线段，直观图中平行于轴，且长度为原来的一半，A错误；对B，原图形中平行于x轴的线段，在直观图中平行于轴，且长度不变，B正确；对C，画与直角坐标系XOY对应的时，可以画成或，C正确；对D，在画直观图时，由于选轴不同所画直观图可能不同，D正确，综上所述，关于直观图的说法不正确是A，A正确，选A。
2、给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（ ）
①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①直观图定义与性质；②画直观图的基本方法。
【解题思路】根据直观图的性质，运用画直观图的基本方法，结合问题条件，对各结论的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，角的水平放置在直观图中仍然是角，只是角的大小会发生变化，①正确；对②，水平放置的直角，在直观图中是的角，相等的两个角，若一个是水平放置的角，则在直观图中的两个就不相等，②错误；对③，相等的两条线段，若一条与y轴平行，则在直观图中的长度是原来的一半，不可能与另一条相等，③错误；对④，两条平行线段在直观图中仍然平行，④正确，综上所述，正确的结论有①④，C正确，选C。
3、已知ABC的平面直观图是边长为a的正三角形，那么ABC的面积为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①直观图定义与性质；②画直观图的基本方法。
【解题思路】根据直观图的性质，运用画直观图的基本方法，结合问题条件，求出ABC的高，从而求出ABC的面积就可得出选项。 y
【详细解答】如图，是边长为a的
正三角形，的高为a，ABC 0 x
的高为a，ABC的面积为=aa=，C正确，选C。
4、已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（ ）
A 2cm B 3cm C 2.5cm D 5cm
【解析】
【知识点】①直观图定义与性质；②画直观图的基本方法。
【解题思路】根据直观图的性质，运用画直观图的基本方法，结合问题条件，求出直观图中这两个顶点之间的距离就可得出选项。 y
【详细解答】如图，设直观图中两个顶点分别为A，B， B
以底面圆圆心为原点，直接所在直线为x轴，圆
锥高所在直线为y轴建立平面直角坐标系，两 A 0 x
个圆锥的高分别为2cm，3cm，OA=1cm，OB=1.5cm，AB=OA+OB=1cm+1.5cm=2.5cm，C正确，选C。
5、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图是（ ）
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②根据简单几何体三视图确定简单几何体直观图的基本方法。
【解题思路】运用简单几何体的三视图，结合问题条件，就可确定简单几何体的直观图。
【详细解答】由主视图和侧视图可知，简单几何体是一个组合体，根据俯视图知道组合体上半部分是一个圆台，下半部分是一个圆柱，D正确，选D。
6、有一块多边形的菜地，它的水平放置的平 y
面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），
，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜 A D
地的面积为 。 B(O) C x
【解析】
【知识点】①直观图定义与性质；②画直观图的基本基本方法。
【解题思路】根据直观图与性质，运用画直观图的基本方法，结合问题条件，作出多边形在直角坐标系中的图形，由图像通过运算就可求出这块菜地的面积。
【详细解答】由多边形的直观图作出多边形在平面直角坐标系 y
中的图形如图所示，在直观图中过A作AEBC 于点E，
AB=1, AE=BE=，BC=BE+EC=BE+AD=+1， O x
直角梯形ABCD在直角坐标系中也是直角梯形，且=1，=2，=+1，这块菜地的面积为：=(1+)2=+1。
7、如图矩形是水平放置的一个平面
图形的直观图，其中=6cm，=2cm，则
原图形是（ ）
A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 一般的平行四边形
【解析】
【知识点】①直观图定义与性质；②画几何体直观图的基本方法。
【解题思路】根据直观图与性质，运用画几何体直观图的基本方法，结合问题条件，作出多边形在直角坐标系中的图形就可得出选项。
【详细解答】OD=2=4cm，CD= C y D B
=2cm，OC==6cm，作出直观图的圆图形
如图所示，由图知四边形OABC是菱形，C正确，
选C。 0 A x
『思考问题3』
（1）【典例3】是与几何体的直观图相关的问题，解答这类问题需要理解几何体直观图的定义，掌握几何体直观图的画法；
（2）空间几何体直观图的画法—斜二测画法：①画空间几何体的底面：在已知图形中取两条互相垂直的直线分别为X轴和Y轴，两轴的交点为原点，具体画图时使（或），已知图形中与X轴平行的线段在直观图图中长度保持不变，平行Y轴的线段长度变为原来的一半；②画空间几何体的高：在已知图形中过点O作Z轴垂直于XOY平面，在直观图中对应的也要垂直于平面，已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中也要平行轴且长度不变。
（4）空间几何体直观图中的“三变与三不变”：①“三变”是指直观图中坐标轴的夹角要改变，平行于y轴的线段的长度要改变，直观图与原图相比也要改变；②“三不变”是指平行性不变，与x轴，z轴平行的线段的长度不变，相对位置不变。
〔练习3〕解答下列问题：
1、某几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的直观图可以是（ ）
（答案：D)
正视图 侧视图 俯视图
A B C D
2、某几何体的三视图如图所示，则
这个几何体的直观图可以是（ ）
(答案：B)
正视图 侧视图 俯视图
A B C D
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）（答案：D）
A 棱柱 B 棱台 C 圆柱 D 圆台
4、如图是水平放置的某个三角形的直观图，是中边的中点，且//轴，，，三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（ ）（答案：C）
A 最长的是AB，最短的是AC B 最长的是AC，最短的是AB
C 最长的是AB，最短的是AD D 最长的是AD，最短的是AC
5、已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图的面积为（ ）
A B C D （答案：D）
【追踪考试】
【典例4】解答下列问题：
1、在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥A—EFG后，所得几何体的三视图中，正视图如图所示，相应的侧视图是（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①几何体三视图的定义与性质；②作几何体三视图的基本方法。
【解题思路】根据几何体三视图的性质和作几何体三视图的基本方法，结合问题条件作出该几何体的侧视图就可得出选项。
【详细解答】由所得几何体的正视图可知，原正方体截去的左后下的一个三棱锥，该几何体侧视图是截去一个实线的三角形，应该是D，D正确，选D。
2、以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分部作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）（2021全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①简单几何体三视图定义与性质；②三棱锥定义与性质。
【解题思路】根据解答几何体三视图和三棱锥的性质，就可得到以图①为正视图的三棱锥的侧视图和俯视图。
【详细解答】三棱锥正视图的长为2，高为1，侧视图的高为1，可选图②或图③，俯视图的长与正视图的长相等，俯视图的长为2，可选图④或图⑤，当图②为侧视图时，只能选图⑤作为俯视图，当图③为侧视图时，只能选图④作为俯视图，以图①为正视图的三棱锥的侧视图和俯视图的编号依次是②⑤或③④。
3、已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）（2021
全国高考新高考I）
A 2 B 2 C 4 D 4
【解析】
【考点】①简单几何体侧面展开图定义与性质；②圆锥定义与性质。
【解题思路】根据简单几何体展开图和圆锥的性质，结合问题条件求出该圆锥母线的长就可得出选项。
【详细解答】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为，圆锥底面的周长为2，圆锥侧面展开图为一个半圆，侧面展开图的半周长为l，l=2，l=2，
B正确，选B。
4、正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）（2021全国高考新高考II）
A 20+12 B 28 C D
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②正四棱台定义与性质；③求正四棱台体积的基本方法。
【解题思路】根据正方形和正四棱台的性质，运用求正四棱台体积的基本方法求出正四棱台的体积，就可得出选项。
【详细解答】如图，连接AC，BD相交于点O，连接， 相交于点，连接O，
===，AO=AC==2， O= = =，正四棱台上底面面积==4，下底面面积==16，正四棱台的体积V= O（++）=(4+16
+)=，D正确，选D。
5、如图，是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径为2，则该几何体的表面积为（ ）（2021成都市高三零诊）
A 14 B 16 C 18 D 20
【解析】
【考点】①球的定义与性质；②几何体三视图的定义与性质；③根据几何体三视图画几何体直观图的基本方法；④求表面积的计算公式与计算方法。
【解题思路】根据球的性质和由几何体三视图画几何体直观图的基本方法，结合问题条件确定几何体的直观图，利用球表面积的计算公式通过运算就可得出选项。
【详细解答】根据该几何体的三视图可知，几何体是一个球挖去四分之一后剩下的部分，球的半径为2，该几何体的表面积为4-+6=16-4+6=18，C正确，选C。
6、某几何体的三视图如图所示，已知网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的表面积为（ ）（2021成都市高三三诊）
A (20+8) B (20+4) C (24+8) D (24+4)
【解析】
【考点】①几何体三视图的定义与性质；②已知几何体三视图，确定几何体直观图的基本方法；③圆柱，圆锥的定义与性质；④求圆柱，圆锥表面积的基本方法。
【解题思路】根据几何体三视图的性质和已知几何体三视图确定几何体直观图的基本方法，结合问题条件确定出几何体的直观图，运用圆柱，圆锥的性质和求圆柱，圆锥表面积的基本方法求出几何体的表面积就可得出选项。
【详细解答】由几何体的三视图可知，几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，几何体的表面积=4+44+24= (20+8)，A正确，选A。
7、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）（2020全国高考新课标I卷）
A B C D
【解析】
【考点】①正四棱锥定义与性质；②正方形定义与性质；③等腰三角形定义与性质。
【解题思路】根据正四棱锥，正方形和等腰三角形的性质，结合问题条件得到关于正四棱锥高，底面边长和侧面三角形高的方程组，求解方程组求出其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值就可得出选项。
【详细解答】设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边时的高为b，=ab，且=-，-=ab，4-2-1=0，=，或=，
>0，=，C正确，选C。
8、如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应点为M，在俯视图中对应点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）（2020全国高考新课标II）
A E B F C G D H
【解析】
【考点】①多面体定义与性质；②几何体三视图定义与性质；③根据几何体三视图确定几何体某点在某个视图中的位置的基本方法。
【解题思路】根据多面体和几何体三视图的性质，运用根据几何体三视图确定几何体某点在某个视图中的位置的基本方法，确定出该端点在侧视图中对应的点就可得出选项。
【详细解答】根据多面体的三视图，作出该多面体的直观图如图所示，由三视图中点M的位置可知，在侧视图中对应点的应该是点E，该端点在侧视图中对应的点为点E，A正确，选A。
9、如图，是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）（2020成都市高三三诊）
【解析】
【知识点】①简单几何体三视图的定义与性质；②画简单几何体三视图的基本原则和方法。
【解题思路】运用画简单几何体三视图的原则和基本方法，结合问题条件画出简单几何体的俯视图就可得出选项。
【详细解答】由该几何体的正视图和侧视图可知，几何体的俯视图可能是B或C或D，不可能是A，A正确，选A。
10、中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1），半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长为 （本题第一空2分，第二空3分）（2019全国高考新课标II）
【解析】
【知识点】①正多面体定义与性质；②正多边形定义与性质。
【解题思路】根据正多面体和正多边形的性质，结合问题条件就可确定该正多面体共有的面的公式，并求出其棱长的值。
【详细解答】设该多面体的棱长为x，该多面体共有8+8+8+2=26个面，x+x+x=1，解之得：x=-1，该多面体共有26个面，其棱长为-1。
学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCD—挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，A=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm，不考虑大于损耗，制作该模型所需原料的质量为 （2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①长方体的定义与性质；②四棱锥的打印与性质；③求组合体体积的基本方法；④物质密度的定义与性质；⑤已知物质密度，体积求物质质量的基本方法。
【解题思路】根据长方体的性质，结合问题条件求出长方体ABCD—的体积，运用四棱锥的性质，结合问题条件求出四棱锥O—EFGH的体积，由求组合体体积的基本方法求出3D打印技术制作模型的体积，利用已知物质密度，体积求物质质量的基本方法就可求出制作该模型所需原料的质量。
【详细解答】如图， AB=BC=6cm，A=4cm， =6 6 4=144
（cm）， E，F，G，H分别为所在棱的中点，O为长方体的中心，=4
6=12，=123=12（cm），3D打印技术制作模型的体积为
-=144-12=132（cm），3D打印所用原料密度为0.9g/cm，
不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为0.9132=118.8（g）。
『思考问题4』
【典例4】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中关于简单几何体概念，三视图和直观图的问题，归结起来主要包括：①简单几何体的定义与性质；②已知简单几何体的直观图，确定几何体的三视图；③与简单几何体直观图相关的问题等几种类型；
解答简单几何体概念，三视图和直观图的问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如图，是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：A）
2、如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）（2020全国高考新课标II）
A E B F C G D H （答案：A）
（正视图） （侧视图） （俯视图）
3、某几何体是由若干个棱长为1的正方体组合而成，其正视图与侧视图如图所示，该几何体的体积不可能为（ ）（成都市高2024级2021-2022学年度下期期末考试）（答案：D）
A 3 B 4 C 5 D 6
4、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示，圆柱表面上点P在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点Q在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上从P到Q的路径中，最短路径的长度为（）（成都市高2023级2020-2021学年度下期期末考试）（答案：B）
A B C D 1
5、把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形（如图所示），其中==2，=，则四边形ABCD一定是一个（ ）（成都市高2022级2019-2020学年度下期期末考试）（答案：A）
A 菱形 B 矩形 C 正方形 D 梯形
6、体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）（成都市高2022级2019-2020学年度下期期末考试）（答案：B）
A B 2 C 3 D 6
7、中国古建筑借助焊卯将木构件连接起来，构件的凸比部分叫焊头，凹进部分叫卯眼。图中木构件右边的小长方形是卯头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）（2018全国高考新课标III）（答案：A）
A B C D
8、给出下列结论：①在圆柱的上，下面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确结论的个数是（ ）（成都市2017—2018高一质量检测）（答案：A）
A 0 B 1 C 2 D 3
9、祖垣是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖垣原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体；图②，图③，图④分别是圆锥，圆台和半球，则满足祖垣原理的两个几何体为（ ）（答案：）
A ①② B ①③ C ②④ D ①④
10、有一块多边形的菜地，它的水平放置的平 y
面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），
，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜 A D
地的面积为 （答案：2+） B(O) C x
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