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第三十一讲 空间点，直线，平面之间的位置关系
【考纲解读】
理解空间点，直线，平面位置关系的定义，掌握空间点，直线，平面位置关系表示的基本方法；
了解平面公理及其推论，能够运用平面公理及其推论证明有关空间图形位置关系的一些简单命题;
理解异面直线，异面直线所成角和异面直线距离的定义，掌握判断两条直线是异面直线，求异面直线所成角和异面直线距离的基本方法，能够熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面的概念：
1、平面的意义：
（1）平面几何中直线是没有定义的，直线的特性是一条直线可以向两端无限延伸；
（2）生活中的桌面，黑板，平静的水面，书的封面等都给我们平面的感觉，由此可归纳出平面的特性是一个平面可以向四方无限延展。
2、平面的画法：
（1）一般用平行四边形来代替平面；
（2）平面一般画成平行四边形，在具体画平面时，水平方向的线段用线段的实际长度表示，竖直方向的线段用线段实际长度的一半来表示，水平方向与竖直方向的直角画成（或）的角，被遮挡的部分可以画成虚线，也可以不画。
3、平面的表示：
平面的表示的基本方法有：①用表示平面图形顶点的大写字母来表示，例如平面ABCD，平面ABC---------；②用一个小写的希腊字母来表示，例如平面，平面---------。
二、点，线，面之间的位置关系及其表示：
1、平面图形与立体图形的定义：
（1）平面图形：在同一平面内的图形，称为平面图形；
（2）立体图形：不同平面内的点，线构成的图形，称为立体图形。
2、点，线，面之间的位置关系及其表示：
（1）点与线的位置关系及其表示：
①点A在直线a上表示为Aa；②点A不在直线a上表示为Aa。
（2）点与面的位置关系及其表示：
①点A在平面内表示为A；②点A不在平面内表示为A。
（3）直线与直线的位置关系及其表示：
①两条直线在同一平面内，1》两条直线重合，有无数个公共点；2》两条直线相交，只有一个公共点，表示为ab=A；3》两条直线平行，没有公共点，表示为a//b；
②两条直线不在同一平面内，这两条直线既不平行，也不相交，表示为直线a，b异面。
（4）直线与平面的位置关系及其表示：
①直线a在平面内，直线与平面有无数个公共点，表示为a；
②直线a不在平面内，1》直线a与平面平行，直线与平面没有公共点，表示为a//；2》直线a与平面相交于点A，直线与平面只有一个公共点，表示为a=A。
（5）平面与平面的位置关系及其表示：
①平面与平面重合，两个平面有无数个公共点，这时两个平面视为一个平面；
②平面与平面相交于直线a，两个平面有无数个公共点，表示为=a；
③平面与平面平行，两个平面没有公共点，表示为//。
三、平面的基本性质：
公理1：如果一条直线有两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；
即如图1，若Al，Bl，A，B，则l； A l
主要用途是证明点（或线）在平面内； B
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； （图1）
即如图2，若点A，B，C不全在直线l上，则 A
A，B，C，且平面是唯一的； B C
公理2的推论： （图2）
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
即如图3，若Aa，则A，a，且平面 A
是唯一的； a
推论2：两条相交直线确定一个平面； （图3）
即如图4，若ab=A，则a，b，且平面 a
是唯一的； A b
推论3：两条平行直线确定一个平面； （图 4）
即如图5，若a//b，a，b，且平面是 a b
唯一的；
主要用途是证明两个平面重合，也可以证明点（或线）共面； （图5）
公理3：如果两个不同的平面有一个公共点，那么
这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
即如图6，若A，A ，则=a，且 a
Aa。 （图6）
主要用途是证明“三点共线”或“三线共点”，也可以确定两个平面的交线。
理解平面性质应该注意的问题：①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线垂直；③过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行；④过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
四、空间两条直线的位置关系：
1、按两条直线是否有公共点划分：
（1）有公共点：①两条直线重合，有无数个公共点；②两条直线相交，只有一个公共点；
（2）没有公共点：①同一平面内，两条直线平行没有公共点；②异面直线，两条直线既不平行，也不相交。
2、按两条直线是否共面划分：
（1）共面直线：①两条直线重合，有无数个公共点；②两条直线相交，只有一 个公共点；③两条直线平行，没有公共点；
（2）异面直线，两条直线既不平行，也不相交。
3、平行公理：
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行； a
即如图7，若a//c，b//c，则a//b； b
公理4所表述的性质，通常又称为平行线的 性。 c
4、空间图形的平移： （图7）
（1）空间图形平移的定义：如果空间图形F上的所有点都沿同一方向移动相同的距离到图形的位置，则称图形F在空间作了一次平移；
（2）空间图形平移的性质：①图形平移后形状不改变；② 图形平移后大小相同；
5、等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
即如图8，若AOB与满足： B
OA//，OB//，则AOB= O A
或AOB+=。
『思考问题』 （图8）
（1）这个定理的条件是：在AOB与中①OA/，② OB//；
结论是AOB=或AOB+=；
（2）这个定理的用途是可以把空间的角从一个位置平移到另一个位置，且角的形状和大小不变，为确定异面直线所成的角与求异面直线所成角的相关问题提供了理论依据。
五、异面直线：
1、异面直线的定义：不在同一个平面内的两条直线，称为异面直线；
2、异面直线的性质：两条异面直线既不平行，也不相交；
3、异面直线的判定：
判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不 该点的直线是 直线。
即如图3，若点A平面，点B平面，点 A a
A直线a，点B直线a，直线b 平面， b
点B直线b，则直线a与直线b是异面直线。 B
『思考问题』 （图3）
（1）这个定理的条件是：①点A平面，点B平面，②点A直线a，点B直线a
③直线b 平面，点B直线b；
（2）这个定理的结论是直线a与直线b是异面直线；
（3）这个定理的主要用途是证明两条直线是异面直线。
4、异面直线所成的角：
（1）异面直线所成角的定义：设a，b是异面直线，在空间任取一点O，过O作∥a,
∥b,则与所成的角，称为异面直线a与b所成的角，或称为异面直线a与b的夹角；
（2）异面直线所成的角的取值范围：设是异面直线a与b所成的角，（0，]；
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两异面直线a与b所成的角=，则称异面直线a，
b互相垂直，记作ab；
（4）异面直线所成角的大小的确定：设a、b是异面直线，由异面直线所成角的定义，确定
异面直线所成角的大小，可在空间任取一点O，过点O分别作∥a, ∥b,则与所
成的角的大小就是异面a，b所成角的大小，在实际处理时为使问题简便，空间的任意点O
可以在直线a(或b)上取一特殊点，过这一点作另一直线的平行线，则所得角的大小为所求。
5、异面直线的距离：
（1）异面直线距离的定义：两条异面直线的公共垂线段的长，称为两条异面直线的距离；
（2）异面直线距离的求法：①确定两条异面直线的公共垂线段；②求这条公垂线段的长（一般需要构造含公垂线段的三角形，运用解三角形的知识进行）。
【探导考点】
考点1平面基本性质及运用：热点①证明点，线共面；热点②证明三线共点；热点③证明三点共线；
考点2判断空间两条直线的位置关系：热点①判断两条直线平行点；热点②判断两条直线垂直；热点③判断两条直线异面；
考点3求异面直线所成角（或异面直线的距离）：热点①求异面直线所成角的大小；热点②求异面直线所成角的余弦值；热点③求异面直线的距离。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）平行四边形和梯形一定是平面图形；
（2）已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内。 A
2、如图在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的
中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3， G H
DH：HA=2：3。 B D
求证：EF，GH，BD交予一点。
E F
C
3、如图已知E、F、G、H分别是正方体ABCD D H C
—的棱AB、BC、C、的中点。 A B
证明：EF、HG、三线共点。 G
F
E
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用平面基本性质证明三条直线共点的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题与平面基本性质中的哪一个或哪几个公理（或推论）相关，运用相关公理（或推论）时需要注意问题条件给出了公理（或推论）中的哪些条件，还需要证明哪些条件才能得到结论；
（2）证明三线共点的问题的基本方法是：①设其中两条直线相交于一点，②证明第三条直线也经过这一点，将问题转化为证明点在直线上的问题（一般是证明点在两个平面的交线上）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、两个不全等的三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行。 D
求证：三对对应顶点的连线相交于一点；
2、已知空间四边形ABCD，如图所示，E，F分别 H
是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点， F C
且CG=CB，CH=CD。 G
求证：三直线FH，EG，AC共点。 A E B
3、如图正方体ABCD----中，E，F 分别是
AB和A的中点。
求证：CE，F，DA三线共点。 F
【典例2】解答下列问题： D C
1、如图正方体ABCD----中，对角线C A E B
∩平面BD=O，AC∩BD=M。
求证：，O，M三点共线。 O
D M C
A B
2、如图E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边 E A
AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG相交于点O。 H
求证：B，D，O三点共线； B D O
G
F
C
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用平面基本性质，证明三点共线的问题，解决这类问题的基本方法是：①由三点中的两点确定在一条直线（一般选择两个平面的交线）；②证明第三点也在这条直线上(先确定该点为两个平面的公共点，再证明该点在交线上)；
（2）证明三点共线是根据平面基本性质公理3来展开的，即证明两平面相交于某条直线，在这个基础上证明第三点也在这条直线上。
〔练习2〕解答下列问题：
1、两个不全等的三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，设两对对应点的连线相交于点P。求证：第三对对应点与点P共线；
2、如图所示，在正方体ABCD----中，
O为正方形ABCD的中心，H为直线D与平
面AC的交点。 D H C
求证：，H，O三点共线。
【典例3】解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD----中，E，F
分别是棱A，C的中点。 F
求证：，E，F，B共面； E D C H
A B
G
2、如果一条直线与两条平行线都相交。
求证：这三条直线在同一个平面内。
3、如图已知E、F、G、H依次是空间四边形ABCD A
各边的中点。 H
（1）求证：E，F，G，H四点共面； D E
（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？ G
（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？ C F B
（4）AC、BD满足什么条件时，EFGH是正方形？
4、已知正方体ABCD —中E、F分别 E
为、的中点。ACBD=P， F
EF=Q。 R
求证：（1）D，B，E，F四点共面； D C
（2）若C平面DBEF=R，则P，Q，R三点 A B
共线。
『思考问题3』
（1）【典例3】中的1，2，3题，4题的（1）小题是证明点，线共面的问题，解答这类问题的基本方法是：①纳入平面法；②辅助平面法；
（2）纳入平面法的基本方法是：①先确定一个平面，②证明有关点，线在这个平面内；
（3）辅助平面法的基本方法是：①先证明有关点，线确定一个平面，其余点，线也确定一个平面；②证明这两个平面重合。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图已知直线L和三条平行直线a，b，c， l
相交于A，B，C。 a A
求证：L，a，b，c四条直线共面。
b B
c C
2、如图平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与 F
ABCD都是直角梯形，=，
BC EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 AD，BEAF。 E D
求证：C，D，E，F四点共面； A
B C
【典例4】解答下列问题： A
1、已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD H
的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且= E D
=，则四边形EFGH的形状是（ ） B F G C
A 空间四边形 B 平行四边形 C 矩形 D 梯形
2、下列命题中，正确的结论有（ ）
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，E，F分别
是AB，AC上的点，且AE：EB=AF：FC=1：2，则EF A C
与的位置关系是 。 A B
4、如图已知E、F、G、H分别是空间四边形
ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点。 E H
求证：四边形EFGH是平行四边形；
B D
F G
C
P
5、如图P是所在平面外的一点，D、E分别
是和的重心。 D E
求证：①DE∥AC； A C
②DE=AC。 M N
『思考问题4』
（1）【典例4】是与平行公理，等角定理相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握平行公理，等角定理；
（2）运用平行公理，等角定理时，需要注意平行公理的条件是两条直线同时平行于第三条直线，结论是这两条直线平行；等角定理的条件是一个角的两边分别与另一个角的两边平行，结论是这两个角相等（或互补）。
〔练习4〕 解答下列问题：
1、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）
A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线
2、如图已知A、B、C不共面，且A∥B， A
A=B，B∥C，B=C。 B
求证：≌
【典例5】解答下列问题：
1、若直线和是异面直线，在平面内， C
在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A l与，都不相交 B l与，都相交
C l至多与，中的一条相交 D l至少与，中的一条相交
2、如图在正方体ABCD —中。
M，N分别是B，C的中点，则下列 N
判断错误的是（ ） M
A MN与C垂直 B MN与AC垂直 F D C
C MN与BD平行 D MN与平行 A E B
3、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ）（2013河北沧州一模）
A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
4、如图已知直线a，b，c，平面，若c∥， c
a，b，且a∥b,a与c是异面直线。 a
求证：b与c是异面直线。
b
『思考问题5』
【典例5】是异面直线的判定（或证明）问题，解答这类问题的主要方法是：①直接
运用异面直线的判定定理；②运用反证法；
（2）在实际解答问题时，一般都采用反证法，反证法的基本步骤是：①设问题的反面成立；
②由假设条件进行推理得出与题设（或定义，公理，定理，哲理）矛盾的结果；③得到需要证明的结论；
（3）判断空间线，面位置关系的基本方法是构造直观模型法，其具体步骤是：①根据题意构造符合题意的直观模型；②运用直观模型对问题进行判断；③得出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱
的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）
G G M G M M
H G N
M N
N H H N H
① ② ③ ④
2、已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若ab，ac，则b//c；② 若ab，ac，则bc；③若a//b，bc，则ac。其中正确的个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知a，b，c是相异直线，，，是相异平面，则下列命题中正确的是（ ）（2016南昌一模）
A a与b异面，b与c异面a与c异面 B a与b相交，b与c相交a与c相交
C //， //// D a，b，与相交a与b相交
4、如图在长方体ABCD---中那些
棱所在的直线与直线A成异面直线？
D C
A B
【典例6】按要求解答下列各题：
1、异面直线是指（ ）
A 空间中两条不相交的直线 B 分别位于两个不同平面内的两条直线
C 平面内的一条直线与平面外的一条直线 D 不同在任何一个平面内的两条直线
2、若点P为两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A 过点P有且只有一条直线与l，m都平行 B 过点P有且只有一条直线与l，m都垂直
C 过点P有且只有一条直线与l，m都相交 D 过点P有且只有一条直线与l，m都异面
3、如图，在长方体ABCD —中，有下列
几组直线：①直线B与直线C；②直线B与
直线C；③直线D与直线C；④直线AB与 D C
直线C。其中是异面直线的为（ ） A B
A ①② B ①④ C ②③ D ②④
4、空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，则AC和BD所成的角为（ ）
A B C D
5、正四棱柱ABCD---中，A=2AB，
求异面直线B与A所成角的余弦值；
D C
A B
6、在棱长a的正四面体ABCD中，E，F分别是BC， A
AD的中点。
求异面直线DE与BF所成角的余弦值。 F
B D
E
C
7、已知正方体ABCD —中。
（1）求AC与D 所成角的大小；
(2) 若E、F 分别是AB、AD 的中点，
求与EF所成角的大小（2024山东 F D C
日照一模） A E B
『思考问题6』
（1）【典例6】是求异面直线所成角的余弦值（或角的大小）的问题，解答这类问题是根据异面直线所成角的定义，确定出异面直线所成的角，再运用解三角形的相关知识求解；
（2）求异面直线所成角常用的方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：①利用图形中已有的平行线平移；②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移；
（3）计算异面直线所成的角的余弦值(或大小)时，基本思路是构造一个三角形，再运用解三角形的基本方法求解；
（4）求异面直线所成的角的一般步骤是：①作出异面直线所成的角；②证明所作的角是异面直线所成的角；③在图形中构造含所求角的三角形；④运用三角形的相关知识求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD---中。
指出那些棱所在的直线与直线B是异面直线；
②求异面直线B与C所成角的大小；
③指出那些棱所在的直线与直线A垂直。
D C
A B
2、如图在正方体ABCD---中，棱长为a，已 M
知M、N、P、Q、R、S分别是图中所在棱的中点。 P R N
求：①异面直线B和所成角的正弦值； Q
异面直线PQ和RS所成角的大小；
异面直线AR和QC所成角的大小； S
异面直线BR和CN所成角的余弦值。 D C
A B
A
3、如图所示，在棱长均为a的三棱锥A—BCD
中，E为BC的中点，则异面直线AE和BD所 D B
成角的余弦值为 。 C E
【典例7】解答下列问题：
1、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，底边BC=6，AB=5，则点P到BC的距离为（ ）
A 4 B C 3 D 2
2、已知正四棱柱ABCD—中，AB=2，C=2，E为C的中点，则直线A与平面BED的距离为（ ）
A 2 B C D 1
3、将锐角A为，边长为a的菱形ABCD沿BD折成二面角，则A与C之间的距离为 ；
4、如图在正方体ABCD—中，棱
长为a。
求：①异面直线AB与C之间的距离；
②异面直线AB与D之间的距离。
D C
A B
5、如图已知正方体ABCD---的棱长为
a，M是棱A的中点，点O是对角线B的
中点。
证明OM是异面直线A和B的共垂线；
求异面直线A和B的距离。 M O
D C
『思考问题7』 A B
（1）【典例7】是求异面直线距离的问题，解答这类问题是根据异面直线距离的定义，确定两异面直线的公垂线段，再运用解三角形的知识求出公垂线段的长；
（2）求异面直线的距离一般应分两步进行：①确定异面直线的公垂线段；②求公垂线段的长（一般是构造含公垂线段的三角形，运用解三角形的方法进行）；
（3）确定异面直线的公垂线段涉及到线线垂直的证明问题，解决的方法有两种：①几何证明法；②空间向量法。
〔练习7〕解答下列问题：
1、如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。
D C
2、如图在长方体ABCD---中， A B
底面正方形的边长是a，高为b。
①求异面直线A和的距离；
②求异面直线AB和的距离。 D C
A B
3、如图在正方体ABCD---中，棱
长为a，M、N分别是AB、BC的中点。
求：①异面直线D与MN所成角的大小；
②异面直线B与MN之间的距离。
D C
N
【追踪考试】 A M B
【典例8】解答下列问题：
1、设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线l平面，直线m平面，则ml。则下述命题中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标II）
①；②；③；④。
2、平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，----则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）（2019成都市高三零诊）
A 15 B 16 C 17 D 18
3、如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）（2019全国高考新课标III）
A BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B BM EN，且直线BM，EN是相交直线
C BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D BM EN，且直线BM，EN是异面直线
4、已知直三棱柱ABC—中，ABC=，AB=2，BC=C=1，则异面直线A与B所成角的余弦值为（ ）（2017全国高考新课标II卷）
A B C D
a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成角时，AB与b成；②当直线AB与a成角时，AB与b成；③直线AB与a所成角的最小值为；④直线AB与a所成角的最小值为；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）（2017全国高考新课标III卷）
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB//CD，正方体六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数为分别记为m，n，则m+n=（）
A 8 B 9 C 10 D 11
7、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A l至少与、中的一条相交 B l与、都相交
C l至多与、中的一条相交 D l与、都不相交
8、设P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ）
A过点P有且只有一条直线与l、m都平行； B过点P有且只有一条直线与l、m都垂直；
C过点P有且只有一条直线与l、m都相交； D过点P有且只有一条直线与l、m都异面。
9、在正方体ABCD----中，E，F分别是棱A、C的中点，则在空间与三条直线，EF，CD都相交的直线（）
A不存在 B有且只有两条 C 有且只有三条 D有无数条
『思考问题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中有关点，线，面之间位置关系的问题，归结起来主要包括：①证明空间三条直线共点问题；②证明空间三点共线问题；③证明空间四点（或三条直线）共面问题；④判断两条直线位置关系；⑤异面直线所成角问题；⑥异面直线距离问题等几种类型；
解答点，线，面之间位置关系问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖璞，如图，在鳖璞ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）（2017成都市高三三诊）
A B - C D -
2、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ）
A过点P有且只有一条直线与l、m都平行； B过点P有且只有一条直线与l、m都垂直；
C过点P有且只有一条直线与l、m都相交； D过点P有且只有一条直线与l、m都异面。
3、平行六面体ABCD----中，既与AB共面也与C共面的棱的条数为( ）
A 3 B 4 C 5 D 6
4、已知正方体ABCD —中E、F分别 为、的中点。ACBD=P，
EF=Q。
求证：（1）D、B、E、F四点共面；
（2）若平面交平面DBFE于点R，证明P，Q，R共线。
第三十一讲 空间点，直线，平面之间的位置关系
【考纲解读】
1、理解空间点，直线，平面位置关系的定义，掌握空间点，直线，平面位置关系表示的基本方法；
2、了解平面公理及其推论，能够运用平面公理及其推论证明有关空间图形位置关系的一些简单命题；
3、理解异面直线，异面直线所成角和异面直线距离的定义，掌握判断两条直线是异面直线，求异面直线所成角和异面直线距离的基本方法，能够熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面的概念：
1、平面的意义：
（1）平面几何中直线是没有定义的，直线的特性是一条直线可以向两端无限延伸；
（2）生活中的桌面，黑板，平静的水面，书的封面等都给我们平面的感觉，由此可归纳出平面的特性是一个平面可以向四方无限延展。
2、平面的画法：
（1）一般用平行四边形来代替平面；
（2）平面一般画成平行四边形，在具体画平面时，水平方向的线段用线段的实际长度表示，竖直方向的线段用线段实际长度的一半来表示，水平方向与竖直方向的直角画成（或）的角，被遮挡的部分可以画成虚线，也可以不画。
3、平面的表示：
平面的表示的基本方法有：①用表示平面图形顶点的大写字母来表示，例如平面ABCD，平面ABC---------；②用一个小写的希腊字母来表示，例如平面，平面---------。
二、点，线，面之间的位置关系及其表示：
1、平面图形与立体图形的定义：
（1）平面图形：在同一平面内的图形，称为平面图形；
（2）立体图形：不同平面内的点，线构成的图形，称为立体图形。
2、点，线，面之间的位置关系及其表示：
（1）点与线的位置关系及其表示：
①点A在直线a上表示为Aa；②点A不在直线a上表示为Aa。
（2）点与面的位置关系及其表示：
①点A在平面内表示为A；②点A不在平面内表示为A。
（3）直线与直线的位置关系及其表示：
①两条直线在同一平面内，1》两条直线重合，有无数个公共点；2》两条直线相交，只有一个公共点，表示为ab=A；3》两条直线平行，没有公共点，表示为a//b；
②两条直线不在同一平面内，这两条直线既不平行，也不相交，表示为直线a，b异面。
（4）直线与平面的位置关系及其表示：
①直线a在平面内，直线与平面有无数个公共点，表示为a；
②直线a不在平面内，1》直线a与平面平行，直线与平面没有公共点，表示为a//；2》直线a与平面相交于点A，直线与平面只有一个公共点，表示为a=A。
（5）平面与平面的位置关系及其表示：
①平面与平面重合，两个平面有无数个公共点，这时两个平面视为一个平面；
②平面与平面相交于直线a，两个平面有无数个公共点，表示为=a；
③平面与平面平行，两个平面没有公共点，表示为//。
三、平面的基本性质：
公理1：如果一条直线有两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；
即如图1，若Al，Bl，A，B，则l； A l
主要用途是证明点（或线）在平面内； B
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； （图1）
即如图2，若点A，B，C不全在直线l上，则 A
A，B，C，且平面是唯一的； B C
公理2的推论： （图2）
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
即如图3，若Aa，则A，a，且平面 A
是唯一的； a
推论2：两条相交直线确定一个平面； （图3）
即如图4，若ab=A，则a，b，且平面 a
是唯一的； A b
推论3：两条平行直线确定一个平面； （图 4）
即如图5，若a//b，a，b，且平面是 a b
唯一的；
主要用途是证明两个平面重合，也可以证明点（或线）共面； （图5）
公理3：如果两个不同的平面有一个公共点，那么
这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
即如图6，若A，A ，则=a，且 a
Aa。 （图6）
主要用途是证明“三点共线”或“三线共点”，也可以确定两个平面的交线。
理解平面性质应该注意的问题：①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线垂直；③过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行；④过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
四、空间两条直线的位置关系：
1、按两条直线是否有公共点划分：
（1）有公共点：①两条直线重合，有无数个公共点；②两条直线相交，只有一个公共点；
（2）没有公共点：①同一平面内，两条直线平行没有公共点；②异面直线，两条直线既不平行，也不相交。
2、按两条直线是否共面划分：
（1）共面直线：①两条直线重合，有无数个公共点；②两条直线相交，只有一 个公共点；③两条直线平行，没有公共点；
（2）异面直线，两条直线既不平行，也不相交。
3、平行公理：
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行； a
即如图7，若a//c，b//c，则a//b； b
公理4所表述的性质，通常又称为平行线的 性。 c
4、空间图形的平移： （图7）
（1）空间图形平移的定义：如果空间图形F上的所有点都沿同一方向移动相同的距离到图形的位置，则称图形F在空间作了一次平移；
（2）空间图形平移的性质：①图形平移后形状不改变；② 图形平移后大小相同；
5、等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
即如图8，若AOB与满足： B
OA//，OB//，则AOB= O A
或AOB+=。
『思考问题』 （图8）
（1）这个定理的条件是：在AOB与中①OA/，② OB//；
结论是AOB=或AOB+=；
（2）这个定理的用途是可以把空间的角从一个位置平移到另一个位置，且角的形状和大小不变，为确定异面直线所成的角与求异面直线所成角的相关问题提供了理论依据。
五、异面直线：
1、异面直线的定义：不在同一个平面内的两条直线，称为异面直线；
2、异面直线的性质：两条异面直线既不平行，也不相交；
3、异面直线的判定：
判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不 该点的直线是 直线。
即如图3，若点A平面，点B平面，点 A a
A直线a，点B直线a，直线b 平面， b
点B直线b，则直线a与直线b是异面直线。 B
『思考问题』 （图3）
（1）这个定理的条件是：①点A平面，点B平面，②点A直线a，点B直线a
③直线b 平面，点B直线b；
（2）这个定理的结论是直线a与直线b是异面直线；
（3）这个定理的主要用途是证明两条直线是异面直线。
4、异面直线所成的角：
（1）异面直线所成角的定义：设a，b是异面直线，在空间任取一点O，过O作∥a,
∥b,则与所成的角，称为异面直线a与b所成的角，或称为异面直线a与b的夹角；
（2）异面直线所成的角的取值范围：设是异面直线a与b所成的角，（0，]；
（3）两条异面直线垂直的定义：如果两异面直线a与b所成的角=，则称异面直线a，
b互相垂直，记作ab；
（4）异面直线所成角的大小的确定：设a、b是异面直线，由异面直线所成角的定义，确定
异面直线所成角的大小，可在空间任取一点O，过点O分别作∥a, ∥b,则与所
成的角的大小就是异面a，b所成角的大小，在实际处理时为使问题简便，空间的任意点O
可以在直线a(或b)上取一特殊点，过这一点作另一直线的平行线，则所得角的大小为所求。
5、异面直线的距离：
（1）异面直线距离的定义：两条异面直线的公共垂线段的长，称为两条异面直线的距离；
（2）异面直线距离的求法：①确定两条异面直线的公共垂线段；②求这条公垂线段的长（一般需要构造含公垂线段的三角形，运用解三角形的知识进行）。
【探导考点】
考点1平面基本性质及运用：热点①证明点，线共面；热点②证明三线共点；热点③证明三点共线；
考点2判断空间两条直线的位置关系：热点①判断两条直线平行点；热点②判断两条直线垂直；热点③判断两条直线异面；
考点3求异面直线所成角（或异面直线的距离）：热点①求异面直线所成角的大小；热点②求异面直线所成角的余弦值；热点③求异面直线的距离。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、判断下列命题的真假：
（1）平行四边形和梯形一定是平面图形；
（2）已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内。
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】（1）运用平面基本性质的公理3的推论，就可直接判断命题的真假；（2）运用平面基本性质公理3的推论可知，直线l和直线l外一点A确定一个平面，根据平面 基本性质公理2就可判断命题的真假。
【详细解答】（1）梯形的两底平行，平行四边形的对边分别平行，梯形和平行四边形都在同一平面内，平行四边形和梯形是平面图形，命题“平行四边形和梯形一定是平面图形”是真命题；（2）点A是直线l外一点，点A与直线l确定一个平面，过点A和直线l上任意一点的直线，有点A和所取l上的点都在点A和直线l所确定的平面内，这条直线都在该平面内，命题“已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内”是真命题。 A
2、如图在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的 G H
中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，
DH：HA=2：3。 B D
求证：EF，GH，BD交予一点。 E F
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】设直线EF，GH相交于一点O，运用平面基本性质证明点O在直线BD上，从而结论得到证明。
【详细解答】设直线EF，GH相交于一点O， O直线EF，直线EF平面ABD，
O平面ABD， O直线GH，直线GH平面CBD，O平面CBD，平面ABD
平面CBD=BD， O直线BD，直线EF，GH，BD相交于点O。
3、如图已知E、F、G、H分别是正方体ABCD D H C
—的棱AB、BC、C、的中点。 A B
证明：EF、HG、三线共点。 G
【解析】 F
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 E
【解题思路】设直线EF，GH相交于一点O，运用平面基本性质证明点O在直线上，从而结论得到证明。
【详细解答】设直线EF，GH相交于一点O， O直线EF，直线EF平面，O平面 ， O直线GH，直线GH平面CD，O平面CD ，平面平面CD=， O直线，直线EF，GH，相交于点O。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用平面基本性质证明三条直线共点的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题与平面基本性质中的哪一个(或哪几个）相关，运用相关公理（或推论）时需要注意问题条件给出了公理（或推论）中的哪些条件，还需要证明哪些条件才能得到结论；
（2）证明三线共点的问题的基本方法是：①设其中两条直线相交于一点，②证明第三条直线也经过这一点，将问题转化为证明点在直线上的问题（一般是证明点在两个平面交线上）。
〔练习1〕解答下列问题： D
1、已知空间四边形ABCD，如图所示，E，F分别 H
是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点， F C
且CG=CB，CH=CD。 G
求证：三直线FH，EG，AC共点。 A E B
2、如图正方体ABCD----中，E，F 分别是
AB和A的中点。
求证：CE，F，DA三线共点。 F D C
【典例2】解答下列问题： A E B
1、如图正方体ABCD----中，对角线C
∩平面BD=O，AC∩BD=M。
求证：，O，M三点共线。 O
【解析】 D M C
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 A B
【解题思路】连接M，运用平面基本性质证明点O在直线M上，从而结论得到证明。
【详细解答】连接M，对角线C∩平面BD=O，O平面BD，O直线C，
直线C平面AC，O平面AC，平面AC平面BD=M，O直线M，，O，M三点共线。
2、如图E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边 E A
AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG相交于点O。 H
求证：B，D，O三点共线； B D O
【解析】 G
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 F
【解题思路】连接BD，运用平面基本性质证明点
O在直线BD上，从而结论得到证明。 C
【详细解答】连接BD，EH与FG相交于点O，直线EH平面ABD，直线FG平面CBD，O平面ABD，O平面CBD，平面ABD平面CBD=BD， O直线BD，
B，D，O三点共线。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用平面基本性质，证明三点共线的问题，解决这类问题的基本方法是：①由三点中的两点确定在一条直线（一般选择两个平面的交线）；②证明第三点也在这条直线上(先确定该点为两个平面的公共点，再证明该点在交线上)；
（2）证明三点共线是根据平面基本性质公理3来展开的，即证明两平面相交于某条直线，在这个基础上证明第三点也在这条直线上。
〔练习2〕解答下列问题：
1、两个不全等的三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，设两对对应点的连线相交于点P。求证：第三对对应点与点P共线；（提示：证明第三对对应点两个平面的交线上）
2、如图所示，在正方体ABCD----中，
O为正方形ABCD的中心，H为直线D与平
面AC的交点。 D H C
求证：，H，O三点共线。
【典例3】解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD----中，E，F
分别是棱A，C的中点。 F
求证：，E，F，B共面； E D C H
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 A B
【解题思路】连E，并延长交DA的延长线于点 G
G，连接F并延长交DC的延长线于点H，连接BG，BH，证明G，B，H三点共线，运用平面基本性质证明直线E，F确定一个平面，利用平面基本性质证明点B在该平面内，从而证明结论。
【详细解答】连接E ，并延长交DA的延长线于点G，连接F并延长交DC的延长线于点H，连接BG，BH，E是A的中点，AG=AD=AB，ABG=，同理可证CBH=，ABC=，GBH=ABG+ABC+CBH=，G，B，H三点共线，直线E F=，直线E， F 确定一个平面F E， G直线E，H直线F， G平面EF，H平面EF，直线GH平面EF，
B直线GH， B平面EF，，E，F，B共面。
2、如果一条直线与两条平行线都相交。
求证：这三条直线在同一个平面内。
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】运用平面的基本性质可知两条平行线确定一个平面，设第三条直线与一条平行线相交于点A，与另一条平行线相交于点B，根据A，B平面，证明直线AB在平面，从而结论得到证明。
【详细解答】如图，设直线//，=A， A
=B，直线//，直线，确定一
个平面， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =A，=B， A ， B
B， A 平面，B平面，直线AB平面， A ，B，直线平面，直线，，在同一个平面内。
3、如图已知E、F、G、H依次是空间四边形ABCD A
各边的中点。 H
（1）求证：E，F，G，H四点共面； D E
（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四边形？ G
（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四边形？ C F B
（4）AC、BD满足什么条件时，EFGH是正方形？
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】（1）连接EH，GF，运用三角形中位线定理，证明EH//BD，GF//BD，得到EH//GF，从而证明E，F，G，H，共面；（2）由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，根据条件可证明EF=EH，从而得到四边形是菱形；（3）由（1）可知四边形EFGH是平行四边形，根据条件可证明FGH=，，从而得到四边形是矩形；（4）由（2），（3）可知，当AC=BD，且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形。
【详细解答】（1）E，H分别是AB，AD的中点，EH//BD，EH=BD，同理可证FG//BD，FG=BD，EH//FG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形， E，F，G，H四点共面；（2）四边形EFGH是平行四边形，EH=BD，同理可证GH=AC，AC=BD，
EH=GH，四边形EFGH是菱形；（3）四边形EFGH是平行四边形，EH//BD，同理可证GH//AC，ACBD，EHGH，四边形EFGH是矩形；（4）由（2），（3）可知，当AC=BD，且ACBD时，四边形EFGH是正方形。
4、已知正方体ABCD —中E、F分别 E
为、的中点。ACBD=P， F
EF=Q。 R
求证：（1）D，B，E，F四点共面； D C
（2）若C平面DBEF=R，则P，Q，R三点 A B
共线。
【解析】
【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。
【解题思路】（1）运用三角形中位线定理，证明EF//，由//BD，得到EF//BD，从而证明E，F，G，H，共面；（2）连接PQ，根据平面基本性质证明点R在直线PQ上，从而证明结论。
【详细解答】（1）E，F分别是，的中点，EF//，//BD，EF//BD，
D，B，E，F四点共面；（2）连接PQ，C平面DBEF=R，R直线C，R平面BDEF， R平面AC，平面BDEF平面AC=PQ，R直线PQ，
P，Q，R三点共线。
『思考问题3』
（1）【典例3】中的1，2，3题，4题的（1）小题是证明点，线共面的问题，解答这类问题的基本方法是：①纳入平面法；②辅助平面法；
（2）纳入平面法的基本方法是：①先确定一个平面，②证明有关点，线在这个平面内；
（3）辅助平面法的基本方法是：①先证明有关点，线确定一个平面，其余点，线也确定一个平面；②证明这两个平面重合。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如图已知直线l和三条平行直线a，b，c， l
相交于A，B，C。 a A
求证：l，a，b，c四条直线共面。
（提示：证明直线a，b确定一个平面， b B
直线l在该平面内， 证明直线a，c c C
确定一个平面， 直线l在该平面内，再证明两个平面重合）
2、如图平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与 F
ABCD都是直角梯形，=，
BC EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 AD，BEAF。 E D
求证：C，D，E，F四点共面； A
（提示：证明CE//DF） B C
【典例4】解答下列问题： A
1、已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD H
的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且= E D
=，则四边形EFGH的形状是（ ） B F G C
A 空间四边形 B 平行四边形 C 矩形 D 梯形
【解析】
【考点】①三角形中位线定义与性质；②平行四边形定义与性质；③平行四边形判定定理及运用。
【解题思路】根据三角形中位线的性质，结合问题条件得到EH//FG，EH=FG，运用平行四边形判定定理可证四边形EFGH是平行四边形就可得出选项。
【详细解答】如图，E，H分别是AB，AD 的中点，EH//BD，EH=BD，同理可证
FG//BD，FG=BD，EH//FG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形，B正确，选B。
2、下列命题中，正确的结论有（ ）
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各个命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，①错误；对②，两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等，②正确；对③，如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等，③错误；对④，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行，④正确，综上所述，正确结论有②④两个,B正确，选B。
3、如图所示，在三棱柱ABC—中，E，F分别
是AB，AC上的点，且AE：EB=AF：FC=1：2，则EF A C
与的位置关系是 。 B
【解析】
【考点】①三棱柱定义与性质；②直线与直线位置关系及运用；③直线平行直线判定定理及运用。
【解题思路】根据直线平行直线判定定理，结合问题条件得到EF//BC，运用三棱柱的性质可证EF//，从而得出直线EF与直线的位置关系。
【详细解答】如图，E，F分别是AB，AC上的点，且AE：EB=AF：FC=1：2，EF//BC，
ABC—是三棱柱，BC//，EF//，直线EF与直线平行。
4、如图已知E，F，G，H分别是空间四边形 A
ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形；
【解析】 E H
【考点】①平行四边形定义与性质；②三角形中位线
定理及运用；③平行四边形判定定理及运用。 B D
【解题思路】根据三角形中位线定理，结合问题条件 F G
证明EH//FG，EH=FG，运用平行四边形判定定理就可 C
证明四边形EFGH是平行四边形。
【详细解答】证明：E，H 分别是AB，AD的中点，EH//BD，EH=BD，同理可证
FG//BD，FG=BD，EH//FG，EH=FG，四边形EFGH是平行四边形。
5、如图P是所在平面外的一点，D，E分别 P
是和的重心。
求证：（1）DE∥AC；
（2）DE=AC。 A D E C
【解析】 M N
【考点】①三角形重心定义与性质；②直线与直线
平行判定定理及运用；③三角形中位线定理及运用。 B
【解题思路】（1）根据三角形重心的性质，运用直线平行直线的判定定理，结合问题条件就可证明DE∥AC；（2）根据三角形重心的性质，运用三角形中位线定理，结合问题条件就可证明DE=AC。
【详细解答】（1）如图，连接PD并延长角AB于点M，连接PE并延长角BC于点N，连接MN，D，E分别是和的重心，= =，M，N分别是AB，BC的中点，DE∥AC；（2）M，N分别是AB，BC的中点，MN//AC，MN=AC，
= =，DE=AC=AC。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与平行公理，等角定理相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握平行公理，等角定理；
（2）运用平行公理，等角定理时，需要注意平行公理的条件是两条直线同时平行于第三条直线，结论是这两条直线平行；等角定理的条件是一个角的两边分别与另一个角的两边平行，结论是这两个角相等（或互补）。
〔练习4〕 解答下列问题：
1、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）（答案：C）
A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线
2、如图已知A、B、C不共面，且A∥B， A
A=B，B∥C，B=C。 B
求证：≌（提示：证明AB=，BC
=，ABC=.）
【典例5】解答下列问题： C
1、若直线和是异面直线，在平面内，
在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A l与，都不相交 B l与，都相交
C l至多与，中的一条相交 D l至少与，中的一条相交
【解析】
【考点】①异面直线定义与性质；②直线与直线位置关系及运用；③直线与平面位置关系及运用。
【解题思路】根据异面直线的性质，运用直线与直线和直线与平面的位置关系，结合问题条件对各选项命题是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， l与，都不相交 ，l//，l//，//，直线，共面，与题设矛盾，A错误；对B， l与，都相交 ，也可能只与其中一条直线相交，B错误；对C，l与，中的一条相交 ，也可能与，都相交 ，C错误；对D，由A知，l与，都不相交不成立， l至少与，中的一条相交，综上所述D正确，选D。
2、如图在正方体ABCD —中。
M，N分别是B，C的中点，则下列 N
判断错误的是（ ） M
A MN与C垂直 B MN与AC垂直 F D C
C MN与BD平行 D MN与平行 A E B
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②直线垂直直线判定定理及运用；③直线平行直线判定定理及运用。
【解题思路】根据正方体的性质，运用直线垂直直线和直线平行直线的判定定理，结合问题条件对各选项判断是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】如图，连接C，，ABCD —是正方体，M，N分别是C，C的中点，MN//，MN//BD，C/，AC，CMN，ACMN，=，MN与不平行，D错误，选D。
3、如图已知直线a，b，c，平面，若c∥， c
a，b，且a∥b,a与c是异面直线。 a
求证：b与c是异面直线。
【解析】 b
【考点】①异面直线定义与性质；②判断异面直线的基本方法；③反证法及运用。
【解题思路】根据异面直线的性质，运用判断异面直线的基本方法和数学反证法，结合问题条件就可证明b与c是异面直线。
【详细解答】证明：设b与c共面，①当b//c时，a//b，a//c，直线a，c共面，与题设矛盾；②当bc=A时，b，A，直线c=A，与题设矛盾，综上所述，b与c是异面直线。
『思考问题5』
【典例5】是异面直线的判定（或证明）问题，解答这类问题的主要方法是：①直接
运用异面直线的判定定理；②运用反证法；
（2）在实际解答问题时，一般都采用反证法，反证法的基本步骤是：①设问题的反面成立；
②由假设条件进行推理得出与题设（或定义，公理，定理，哲理）矛盾的结果；③得到需要证明的结论；
（3）判断空间线，面位置关系的基本方法是构造直观模型法，其具体步骤是：①根据题意构造符合题意的直观模型；②运用直观模型对问题进行判断；③得出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱
的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有 （填上所有正确答案的序号）（答案：②④）
G G M G M M
H G N
M N
N H H N H
① ② ③ ④
2、已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若ab，ac，则b//c；② 若ab，ac，则bc；③若a//b，bc，则ac。其中正确的个数为（ ）（答案：B）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知a，b，c是相异直线，，，是相异平面，则下列命题中正确的是（ ）（答案：C）
A a与b异面，b与c异面a与c异面 B a与b相交，b与c相交a与c相交
C //， //// D a，b，与相交a与b相交
4、如图在长方体ABCD---中那些
棱所在的直线与直线A成异面直线？
（答案：与直线A成异面直线的棱所在
的直线有BC， ，DC，）
D C
【典例6】解答下列问题： A B
1、异面直线是指（ ）
A 空间中两条不相交的直线 B 分别位于两个不同平面内的两条直线
C 平面内的一条直线与平面外的一条直线 D 不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】
【考点】①异面直线定义与性质；②判断异面直线的基本方法。
【解题思路】根据异面直线的性质，运用判断异面直线的基本方法，结合问题条件对各选项的直线是否是异面直线进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，空间中两条不相交的直线，也可能平行，A错误；对B，分别位于两个不同平面内的两条直线也可能平行，B错误；对C，平面内的一条直线与平面外的一条直线也可能平行，C错误；对D，不同在任何一个平面内的两条直线，这两天直线既不平行，也不相交，是异面直线，D正确，选D。
2、若点P为两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A 过点P有且只有一条直线与l，m都平行 B 过点P有且只有一条直线与l，m都垂直
C 过点P有且只有一条直线与l，m都相交 D 过点P有且只有一条直线与l，m都异面
【解析】
【考点】①异面直线定义与性质；②判断异面直线的基本方法。
【解题思路】根据异面直线的性质，运用判断异面直线的基本方法，结合问题条件对各选项的说法是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，过点P有且只有一条直线与l，m都平行，l//m，直线l与直线m共面，与题设矛盾，A错误；对B，过点P与异面直线l，m都垂直的直线有且只有一条，B正确；对C，过点P与异面直线l，m都相交的直线有无数条，C错误；
对D，过点P与异面直线l，m都异面的直线有无数条，D错误，综上所述，B正确，选B。
3、如图，在长方体ABCD —中，有下列
几组直线：①直线B与直线C；②直线B与
直线C；③直线D与直线C；④直线AB与 D C
直线C。其中是异面直线的为（ ） A B
A ①② B ①④ C ②③ D ②④
【解析】
【考点】①长方体定义与性质；②异面直线定义与性质；③判断异面直线的基本方法。
【解题思路】根据长方体和异面直线的性质，运用判断异面直线的基本方法，结合问题条件对各组直线是否是异面直线进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①，ABCD —是长方体，//BC，=BC，四边形CB是平行四边形，B//C，直线B与直线C不是异面直线；对②，//CD，=CD，四边形CD是平行四边形，D//C，=BC，四边形CD是平行四边形，D//C，C//平面BD，直线B与直线C是异面直线；对③，DC=，直线D与直线C不是异面直线；对④，AB//CD，AB//平面CD，直线AB与直线C是异面直线，综上所述，②④中的直线是异面直线，D正确，选D。
4、空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC=4，BD=2，PR=3，则AC和BD所成的角为（ ）
A B C D
【解析】 A
【考点】①空间四边形定义与性质；②异面直线所成角 B P M D
定义与性质；③求异面直线所成角余弦值的基本方法。 Q R
【解题思路】根据空间四边形和异面直线所成角的性质， C
运用求异面直线所成角余弦值的基本方法，结合问题条件求出异面直线AC与BD所成
角的大小就可得出选项。
【详细解答】如图，取AD的中点M，连接PM，MR，P，M分别是AB，AD 的中点，PM//BD，同理可得RM//AC，PMR是异面直线AC与BD所成角，AC=4，BD=2，PQ=AC=2，PM=BD=，PR=3，cos PMR==0，PMR=，
A正确，选A。
5、正四棱柱ABCD---中，A=2AB，
求异面直线B与A所成角的余弦值；
【解析】
【考点】①正四棱柱定义与性质；②异面直线所成角
定义与性质；③求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据正四棱柱和异面直线所成角的性质， D C
运用求异面直线所成角余弦值的基本方法，结合问题
条件就可求出异面直线DE与BF所成角的余弦值。 A B
【详细解答】如图，设AB=AD=1,连接C，AC，ABCD---是正四棱柱，
B//C，AC是异面直线B与A所成角，在AC中，A=C
==，AC==，cos AC==，即异面直线B
与A所成角的余弦值为。
6、在棱长a的正四面体ABCD中，E，F分别是BC， A
AD的中点。
求异面直线DE与BF所成角的余弦值。 F
【解析】 M
【考点】①正四面体定义与性质；②异面直线所成角 B D
定义与性质；③求异面直线所成角余弦值的基本方法。 E
【解题思路】根据正四面体和异面直线所成角的性质， C
运用求异面直线所成角余弦值的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线DE与BF所成
角的余弦值。
【详细解答】如图，取AE的中点M，连接BM，FM，M，F分别是AE，AD 的中点，MF
//DE，BFM是异面直线BF与DE所成角， 正四面体ABCD的棱长为a，在BFM
中，MF=DE=a=a， BF=a，BM==a ，cos BFM
== ，即异面直线DE与BF所成角的余弦值为。
7、已知正方体ABCD —中。
（1）求AC与D 所成角的大小；
(2) 若E，F 分别是AB，AD 的中点，
求与EF所成角的大小。 F D M C
【解析】 A E B
【考点】①正方体定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③求异面直线所成角大小的基本方法。
【解题思路】（1）根据正方体和异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角大小的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AC与D所成角的大小；（2）根据正方体和异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角大小的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线与EF所成角的大小。
【详细解答】（1）如图，连接C，A，ABCD —是正方体，D//
C，AC是异面直线AC与D所成角，AC=A=C，AC=，
即异面直线AC与D所成角的大小为；（2）如图，连接BD交AC于点M,连接，ABCD —是正方体，ACBD，//AC，E，F 分别是AB，AD 的中点，EF//BD，AMD是异面直线EF与所成角，AMD=，异面直线EF与所成角的大小为。
『思考问题6』
（1）【典例6】是求异面直线所成角的余弦值（或角的大小）的问题，解答这类问题是根据异面直线所成角的定义，确定出异面直线所成的角，再运用解三角形的相关知识求解；
（2）求异面直线所成角常用的方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：①利用图形中已有的平行线平移；②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移；
（3）计算异面直线所成的角的余弦值(或大小)时，基本思路是构造一个三角形，再运用解三角形的基本方法求解；
（4）求异面直线所成的角的一般步骤是：①作出异面直线所成的角；②证明所作的角是异面直线所成的角；③在图形中构造含所求角的三角形；④运用三角形的相关知识求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、如图在正方体ABCD---中。
（1）指出那些棱所在的直线与直线B是异面直线；
（2）求异面直线B与C所成角的大小；
（3）指出那些棱所在的直线与直线A垂直。
（答案：（1）与直线B是异面直线的棱有DC， D C
，D，C；（2）； （3）与直线
A垂直的棱有AD，AB，BC，CD，，， A B
，。）
2、如图在正方体ABCD---中，棱长为a，已 M
知M，N，P，Q，R，S分别是图中所在棱的中点。 P R N
求：①异面直线B和所成角的正弦值； Q
（1）异面直线PQ和RS所成角的大小；
（2）异面直线AR和QC所成角的大小； S
（3）异面直线BR和CN所成角的余弦值。 D C
（答案：（1）； （2）； （3）。） A B
A
3、如图所示，在棱长均为a的三棱锥A—BCD
中，E为BC的中点，则异面直线AE和BD所 D E B
成角的余弦值为 。 （答案：） C
【典例7】解答下列问题：
1、点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA平面ABC，PA=8，底边BC=6，AB=5，则点P到BC的距离为（ ）
A 4 B C 3 D 2
【解析】
【考点】①等腰三角形定义与性质；②直线垂直平面性质定理及运用；③点到直线距离定义与性质；④直角三角形定义与性质；⑤求点到直线距离的基本方法。
【解题思路】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，根据等腰三角形的性质，运用直线垂直平面的性质定理，得到PD是点P到BC的距离，利用直角三角形的性质和求点到直线距离的基本方法，结合问题条件求出PD就可得出选项。 P
【详细解答】如图，取BC的中点D，连接AD，PD，
点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA A
平面ABC，PB=PC，PDBC，PD是点P到 B D C
BC的距离，在RtPAD中，PA=8，AD==4，PD== 4，即点P到BC的距离为 4，A正确，选A。
2、如图在正方体ABCD—中，棱长为a。
求：（1）异面直线AB与C之间的距离；
（2）异面直线AB与D之间的距离。
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②异面直线距离定义与性质；③求异面直线距离的基本方法。
【解题思路】（1）根据正方体和异面直线距离的性质，运用求异面直线距离的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AB与C之间的距离；（2）根据正方体和异面直线距离的性质，运用求异面直线距离的基本方法，结合问题条件就可求出异面直线AB与D之间的距离。
【详细解答】（1）如图，设点B到平面C的
距离为h，连 接C， ABCD—是正
方体，AB// ，平面C， O E
AB平面C，AB//平面C，异面
直线AB与C之间 的距离，直线AB到平 D C
面C的距离，=aah A B
=h==a=，h=a，异面直线AB与C之间的距离为a；（2）设点B到平面DC的距离为d，C交D于点O，连接B交C点E，连接OE，OE//DC//AB，OE平面DC，AB平面DC，AB//平面DC，异面直线AB与D之间的距离，直线AB到平面DC的距离，=aad=h==a=，d=a，异面直线AB与D之间的距离为a。
3、如图已知正方体ABCD---的棱长为
a，M是棱A的中点，点O是对角线B的
中点。
（1）证明OM是异面直线A和B的共垂线；
（2）求异面直线A和B的距离。 M E O
【解析】 D E C
【考点】①正方体定义与性质；②异面直线距离定义
与性质；③求异面直线距离的基本方法；④直线垂直 A B
平面判定定理及运用；⑤直线垂直平面性质定理及运用。
【详细解答】（1）如图，连接B，A，B与A相交于点E，连接EM，EO，
ABCD—是正方体，M，O分别是A，B的中点，EO//，EM//AB，
AEO，AEM，EO，EM平面EMO，EOEM=E，A平面EMO，
OM平面EMO，AOM，同理可证BOM，OM是异面直线A和B的共垂线；（2）由（1）知，异面直线A和B的距离是线段OM的长，RtOEM中，
OE=EM=a，OM==a，异面直线A与B之间的距离为a。
『思考问题7』
（1）【典例7】是求异面直线距离的问题，解答这类问题是根据异面直线距离的定义，确定两异面直线的公垂线段，再运用解三角形的知识求出公垂线段的长；
（2）求异面直线的距离一般应分两步进行：①确定异面直线的公垂线段；②求公垂线段的长（一般是构造含公垂线段的三角形，运用解三角形的方法进行）；
（3）确定异面直线的公垂线段涉及到线线垂直的证明问题，解决的方法有两种：①几何证明法；②空间向量法。
〔练习7〕解答下列问题：
1、如图在长方体ABCD---中，
底面正方形的边长是a，高为b。
（1）求异面直线A和的距离；
（2）求异面直线AB和的距离。
（答案：（1）异面直线A和的距离为a； D C
（2）异面直线AB和的距离为b。）
2、如图在长方体ABCD---中， A B
棱长为a，M，N分别是AB，BC的中点。
求：（1）异面直线D与MN所成角的大小；
（2）异面直线B与MN之间的距离。
（答案：（1）异面直线D与MN所成角
的大小为；（2）异面直线B与MN之间 D C
的距离为a。） A M B
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线l平面，直线m平面，则ml。则下述命题中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标II）
①；②；③；④。
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②逻辑连接词定义与性质；③判断命题真假的基本方法；④判断复合命题真假的基本方法；⑤平面基本性质及运用； ⑥空间两条直线位置关系及运用； ⑦直线垂直平面性质定理及运用。
【解题思路】根据平面的基本性质，可以判断命题为真命题，命题为假命题，由空间两条直线的位置关系，可以判断命题为假命题；运用直线垂直平面的性质定理，可以判断命题为真命题，利用连接连接词的性质和判断复合命题真假的基本方法分别对①②③④几个复合命题的真假进行判断就可得出所有真命题的序号。
【详细解答】两两相交且不过同一点的三条直线确定唯一一个平面，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，命题为真命题，当空间三点在同一直线上时，该三点不能确定一个平面，过空间中任意三点不一定有一个平面，命题为假命题，空间两条直线的位置关系有相交，平行和异面三种情况，若空间两条直线不相交，这两条直线可能平行，也可能是异面直线，命题是假命题，直线l平面，直线m平面， ml，命题为真命题，①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，所有真命题的序号是①③④。
2、平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，----则平面内五条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）（2019成都市高三零诊）
A 15 B 16 C 17 D 18
【解析】
【考点】①直线的定义与性质；②平面的定义与性质；③逻辑推理的基本方法。
【解题思路】根据直线，平面的性质和逻辑推理的基本方法，结合问题条件确定出平面内五条两两相交，且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数就可得出选项。
【详细解答】设平面内n条两两相交，且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为f(n)， f(1)=2，f(2)=4=2+2= f(1)+2，f(3)=7=4+3= f(2)+3，--------， f(4)= f(3)+4=7+4=11，
f(5)= f(4)+5=11+5=16，B正确，选B。
3、如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD 平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）（2019全国高考新课标III）
A BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B BM EN，且直线BM，EN是相交直线
C BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D BM EN，且直线BM，EN是异面直线
【解析】
【考点】①正方形的定义与性质；②正三角形的定义与性质；③平面垂直平面性质定理及运用；④异面直线的定义与性质；⑤判断线段相等的基本方法。
【解题思路】根据平面垂直平面的性质定理，结合问题条件证明EF平面ABCD，得到EFNF，EN= =1，显然BM＞BF＞BC＞1，从而判断BM EN，可以排除A，C；由M，N分别是DE，DB的中点，证明MN//BE，MN=BE，得到四边形EMNB是梯形，从而EN，BM相交，可以排除D就可得出选项。
【详细解答】如图，取CD的中点F，连接NF，EF，MF，BF，MN，BE，设正方形ABCD的边长为1，ECD为正三角形，F是CD的中点， EFCD，平面ECD平面ABCD，平面ECD 平面ABCD=CD，EF 平面ECD， EF平面ABCD， EFFN， EN= =1，显然BM＞BF＞BC＞1，BM EN，可以排除A，C；M，N分别是DE，DB的中点，MN//BE，MN=BE，四边形EMNB是梯形，EN，BM相交，可以排除D，B正确，选B。
4、已知直三棱柱ABC—中，ABC=，AB=2，BC=C=1，则异面直线A与B所成角的余弦值为（ ）（2017全国高考新课标II卷）
A B C D
【解析】
【考点】①直三棱柱定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③求异面直线所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】根据直三棱柱和异面直线所成角的性质，运用求异面直线所成角余弦值的基本方法，结合问题条件求出异面直线AB与B所成角的余弦值就可得出选项。
【详细解答】如图，分别取AB，B，，BC的中点M，N，P，Q，连接MN，MP，NP，MQ，PQ，NP//B，MN//A，MNP是异面直线A与B所成角，直三棱柱ABC—中，ABC=，AB=2，BC=C=1，MN=A=
=，NP=B==，在RtPQM中，PQ=C=1，MQ=AC=
=，MP==，PNM中，cosMNP
=||=，异面直线A与B所成角的余弦值为，C正确，选C。
a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成角时，AB与b成；②当直线AB与a成角时，AB与b成；③直线AB与a所成角的最小值为；④直线AB与a所成角的最小值为；其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）（2017全国高考新课标III卷）
【解析】
【考点】①空间向量定义与性质；②等腰直角三角形定义与性质；③建立空间直角坐标系的基本方法；④向量坐标运算法则和基本方法。
【解题思路】根据等腰直角三角形和空间向量的性质，运用建立空间直角坐标系的基本方法，结合问题条件建立空间直角坐标系C-xyz，利用空间向量运算法则和基本方法，对各结论的正确与错误进行判断，就可得出其中正确的编号。
【详细解答】如图，设设正方体ABCD—的棱长为1，三角形ABC的直角边AC的等腰直角三角形，AC=1，AB=，斜边AB以直角边AC为旋转轴旋转时，A点不变，点B的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，AC，a，b三条直线两两互相垂直，以C为原点，，，分别x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，
C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A（0，0，0），直线a的单位向量
=（0，1，0），直线b的单位向量=（1，0，0），动点（cos，sin）(为，之间的夹角，[0，2）），=（cos，sin，-1），||=，设直线A与a的夹角为，[0，]，cos=||=||=[0，]，
[，]，③正确，④错误；设直线A与b的夹角为，[0，]，cos=||=||=，当直线AB与a成角时，sin=
cos=，cos=，cos==，=，①错误，②正确，综上所述，其中正确的结论是②③。
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且AB//CD，正方体六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数为分别记为m，n，则m+n=（）
A 8 B 9 C 10 D 11
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②正四面体定义与性质；③空间直线，平面之间的位置关系及运用。
【解题思路】根据正方体和正四面体的性质，运用空间直线，平面之间的位置关系，结合问题条件就可得出直线CE，EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数，从而求出m+n的值就可得出选项。
【详细解答】如图，直线CE在正方体的下底面内，且与正方体的上底面平行，直线CE与正方体左，右两个平面，正方体前，后两个平面都相交，m=4，取CD的中点G，连接FG，EG，EGCD，FGCD，EG，FG平面EFG，EGFG=G，CD平面EFG，平面EFG平面，平面EFG与正方体左，右两个平面平行，直线EF平行正方体左，右两个平面，EFG边EG上的高与正方体前，后两个平面平行，直线EF与正方体前，直线EF与正方体上，下两个平面相交，n=4，综上所述，m+n=4+4=8，A正确，选A。
7、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A l至少与、中的一条相交 B l与、都相交
C l至多与、中的一条相交 D l与、都不相交
【解析】
【考点】①异面直线定义与性质；②空间直线，平面之间的位置关系及运用。
【解题思路】根据异面直线的性质，运用空间直线，平面之间的位置关系，结合问题条件对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，如图，直线l与，中至少一条相交，A正确；对B，如图，直线l与，可能平行，B错误；对C，如图直线l与，可能都相交，C错误；对D，如图，直线l与，可能相交，D错误，综上所述，A正确，选A。
8、设P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ）
A过点P有且只有一条直线与l、m都平行； B过点P有且只有一条直线与l、m都垂直；
C过点P有且只有一条直线与l、m都相交； D过点P有且只有一条直线与l、m都异面。
【解析】
【考点】①异面直线定义与性质；②空间点，直线之间的位置关系及运用。
【解题思路】根据异面直线的性质，运用空间点，直线之间的位置关系，结合问题条件对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，设过点P的直线为n，l//n，m//n，l//m，直线l，m共面，与题设矛盾，A错误；对B，设过点P的直线为n，ln，mn，直线n是l与m的公垂线，这样的直线有且只有一条，B正确；对C，如图直线AD为l，直线 为m，若点P在平面ABCD内，显然过点P的直线n不可能同时与l，m相交，C错误；对D，如图直线AD为l，直线为m，若点P在直线C上，连接P，直线C，P与l，m均为异面直线，D错误，综上所述，B正确，选B。
9、在正方体ABCD----中，E，F分别是棱A、C的中点，则在空间与三条直线，EF，CD都相交的直线（）
A不存在 B有且只有两条 C 有且只有三条 D有无数条
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②空间直线，直线之间的位置关系及运用。
【解题思路】根据正方体的性质，运用空间直线，直线之间的位置关系，结合问题条件对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】如图，在EF上取一点M，直线与点M确定一个平面，平面M与直线CD相交于一点N，当点M变动时，平面M与直线CD交点也随之变化， 平面M与直线CD有不同的交点，直线MN与三条直线，EF，CD都相交，在空间与三条直线，EF，CD都相交的直线有无数条，D正确，选D。
『思考问题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中有关点，线，面之间位置关系的问题，归结起来主要包括：①证明空间三条直线共点问题；②证明空间三点共线问题；③证明空间四点（或三条直线）共面问题；④判断两条直线位置关系；⑤异面直线所成角问题；⑥异面直线距离问题等几种类型；
解答点，线，面之间位置关系问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖璞，如图，在鳖璞ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）（2017成都市高三三诊）（答案：A）
A B - C D -
2、若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（ ）（答案：B）
A过点P有且只有一条直线与l、m都平行； B过点P有且只有一条直线与l、m都垂直；
C过点P有且只有一条直线与l、m都相交； D过点P有且只有一条直线与l、m都异面。
3、平行六面体ABCD----中，既与AB共面也与C共面的棱的条数为( ）
A 3 B 4 C 5 D 6 （答案：C）
4、已知正方体ABCD —中E、F分别 为、的中点。ACBD=P，
EF=Q。
求证：（1）D、B、E、F四点共面；
（2）若平面交平面DBFE于点R，证明P，Q，R共线。
（提示：（1）证明EF//BD；（2）证明P，Q是平面AC和平面DBFE的公共点）
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