资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台第十八章 平行四边形18.2.3 正方形一、温故知新(导)正方形是我们熟悉的几何图形,它的四条边都相等,四个角都是直角.因此,正方形既是 ,又是 ,(如图18.2-11)它具有的性质应该有哪些呢?这是今天我们要学的内容,下面我们来看看今天的学习目标和重难点。学习目标1、掌握正方形的概念、性质并会灵活运用;2、理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系;3、掌握正方形的判定条件,能灵活运用正方形性质与判定进行推理或计算.学习重难点重点:正方形的定义、性质和判定及运用方法;难点:正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.二、自我挑战(思)1、正方形的定义:有一组 相等,且有一个角是 的平行四边形是正方形.2、正方形即是矩形又是菱形,它有哪些性质呢?正方形的性质:(1)边: 条边都相等;(2)角: 个角都是直角;(3)对角线:对角线 ,每条对角线平分 .3、我们知道,正方形是特殊的矩形,特殊的菱形,特殊的平行四边形,特殊的四边形,那么,当矩形、菱形、平行四边形、四边形满足什么样的条件时,就成为正方形呢?正方形的判定方法:(1)有一组邻边 的矩形是正方形;(2) 有一个角是 的菱形是正方形;(3)即是矩形,又是菱形,所以是 ;(4) 有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形是正方形;(5)对角线 的四边形是正方形.4、求证:对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.已知:如图,四边形ABCD,对角线AC、BD相较于点O,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD且AC=BD.求证:四边形ABCD是正方形三、互动质疑(议、展)1、正方形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?2、正方形的每一条对角线平分的一组对角,得到的每一个角是多少度?3、满足下列条件的四边形是不是正方形?(是的在括号内填是;不是的填否.)①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.( )②对角线互相垂直的矩形是正方形. ( )③对角线相等的菱形是正方形. ( )④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.( )⑤四条边都相等的四边形是正方形.( )⑥四个角都相等的四边形是正方形.( )⑦对角线垂直且相等的四边形是正方形.( )4、实例:例5 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:如图18.2-12,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相较于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.5、正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?并列表或用框图表示这些关系.四、清点战果(评)今天你是否完成了学习目标?你的困惑解决了没?五、一战成名(检)1、如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是( )A.当∠ABC=90°,平行四边形ABCD是矩形B.当AC=BD,平行四边形ABCD是矩形C.当AB=BC,平行四边形ABCD是菱形D.当AC⊥BD,平行四边形ABCD是正方形2、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,能判定四边形ABCD是正方形的是 ( )A.AC=BC=CD=DA B.AO=CO,BO=DO,AC⊥BDC.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AB=BC,CD⊥DA3、如图,E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN的形状是( )A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形4、边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A'B'C'D',此时阴影部分的面积为 cm2.5、如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点,若BM=,则正方形ABCD的边长为 .6、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC(1)求证:四边形AFDE为正方形;(2)若AD=32,求四边形AFDE的面积.六、用(一)必做题1、如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列条件中,能使矩形ABCD成为正方形的是( )A.AC=BC B.∠AOB=60°C.OA=AD D.BC=CD2、给出下列判断,正确的是( )A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.3、下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线互相垂直;②它是一个正方形;③它是一个菱形.下列推理过程正确的是( )A.由②推出③,由③推出①B.由①推出②,由②推出③C.由③推出①,由①推出③D.由①推出③,由③推出②4、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(5,0),点E为对角线的交点,则点E的坐标为( ).5、如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,正确结论的是 填序号.(二)选做题6、如图所示△ABC中,∠C=90°,∠CAB,∠ABC的平分线相交于D点,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.(1)求证:四边形CEDF为正方形;(2)若AC=6,BC=8,则CE的长为 .7、如图,正方形ABCD中,AB=4,点E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.(1)求证:矩形DEFG是正方形;(2)求AG+AE的值;(3)若F恰为AB中点,请直接写出正方形DEFG的面积.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台第十八章 平行四边形18.2.3 正方形一、温故知新(导)正方形是我们熟悉的几何图形,它的四条边都相等,四个角都是直角.因此,正方形既是 菱形 ,又是 矩形 ,(如图18.2-11)它具有的性质应该有哪些呢?这是今天我们要学的内容,下面我们来看看今天的学习目标和重难点。学习目标1、掌握正方形的概念、性质并会灵活运用;2、理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系;3、掌握正方形的判定条件,能灵活运用正方形性质与判定进行推理或计算.学习重难点重点:正方形的定义、性质和判定及运用方法;难点:正方形的性质及与其他特殊四边形的联系与区别.二、自我挑战(思)1、正方形的定义:有一组 邻边 相等,且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形.2、正方形即是矩形又是菱形,它有哪些性质呢?正方形的性质:(1)边: 四 条边都相等;(2)角: 四 个角都是直角;(3)对角线:对角线 互相垂直平分且相等 ,每条对角线平分 每一组对角 .3、我们知道,正方形是特殊的矩形,特殊的菱形,特殊的平行四边形,特殊的四边形,那么,当矩形、菱形、平行四边形、四边形满足什么样的条件时,就成为正方形呢?正方形的判定方法:(1)有一组邻边 相等 的矩形是正方形;(2) 有一个角是 直角 的菱形是正方形;(3)即是矩形,又是菱形,所以是 正方形 ;(4) 有一组邻边 相等 且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形;(5)对角线 互相垂直平分且相等 的四边形是正方形.4、求证:对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.已知:如图,四边形ABCD,对角线AC、BD相较于点O,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD且AC=BD.求证:四边形ABCD是正方形证明:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴ ABCD是菱形;又∵AC=BD,∴ ABCD是矩形,∴ ABCD是正方形.三、互动质疑(议、展)1、正方形是轴对称图形吗?它有几条对称轴?正方形是轴对称图形,它有四条对称轴,分别是对边中点连线和对角线所在直线.2、正方形的每一条对角线平分的一组对角,得到的每一个角是多少度?每一个角都是45° .3、满足下列条件的四边形是不是正方形?(是的在括号内填是;不是的填否.)①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.( 是 )②对角线互相垂直的矩形是正方形. ( 是 )③对角线相等的菱形是正方形. ( 是 )④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.( 是 )⑤四条边都相等的四边形是正方形.( 否 )⑥四个角都相等的四边形是正方形.( 否 )⑦对角线垂直且相等的四边形是正方形.( 否 )4、实例:例5 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:如图18.2-12,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相较于点O.求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO .5、正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系?并列表或用框图表示这些关系.由定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形;由一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形,可以看出:正方形、菱形、矩形都是特殊的平行四边形,正方形即是矩形又是菱形,它们之间的关系用框图表示为:四、清点战果(评)今天你是否完成了学习目标?你的困惑解决了没?五、一战成名(检)1、如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是( )A.当∠ABC=90°,平行四边形ABCD是矩形B.当AC=BD,平行四边形ABCD是矩形C.当AB=BC,平行四边形ABCD是菱形D.当AC⊥BD,平行四边形ABCD是正方形1、解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°,平行四边形ABCD是矩形,故选项A正确,不符合题意;当AC=BD,平行四边形ABCD是矩形,故选项B正确,不符合题意;当AB=BC,平行四边形ABCD是菱形,故选项C正确,不符合题意;当AC⊥BD,平行四边形ABCD是菱形,但不一定是正方形,故选项D错误,符合题意;故选:D.2、如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,能判定四边形ABCD是正方形的是 ( )A.AC=BC=CD=DA B.AO=CO,BO=DO,AC⊥BDC.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AB=BC,CD⊥DA2、解:因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故C选项符合题意,故选:C.3、如图,E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN的形状是( )A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形3、解:四边形EFMN是正方形.证明:∵AE=BF=CM=DN,∴AN=DM=CF=BE.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS).∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN.∴四边形EFMN是菱形.∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,∴∠ENA+∠DNM=90°.∴∠ENM=90°.∴四边形EFMN是正方形.故选:D.4、边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm,再向右平移1cm,得到正方形A'B'C'D',此时阴影部分的面积为 cm2.4、解:由题意可得,B′E=4-2=2(cm),DE=4-1=3(cm),∴阴影部分的面积:B′E DE=3×2=6(cm2),故答案为:6.5、如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点,若BM=,则正方形ABCD的边长为 .5、解:作MH⊥AC于H,如图,∵四边形ABCD为正方形,∴∠MAH=45°,∴AH=MH,∵CM平分∠ACB,∴BM=MH=,在Rt△AMH中,AM==2,∴AB=AM+BM=2+,故答案为:2+.6、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,DF∥AC(1)求证:四边形AFDE为正方形;(2)若AD=32,求四边形AFDE的面积.6、(1)证明:∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AFDE是平行四边形.∵AD平分∠BAC,∴∠FAD=∠EAD.∵DE∥AB,∴∠EDA=∠FAD.∴∠EDA=∠EAD.∴AE=DE.∴四边形AFDE是菱形.∵∠BAC=90°,∴四边形AFDE是正方形.(2)解:∵四边形AFDE是正方形,AD=32,∴AF=DF=DE=AE==16.∴四边形AFDE的面积为16×16=512.六、用(一)必做题1、如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列条件中,能使矩形ABCD成为正方形的是( )A.AC=BC B.∠AOB=60°C.OA=AD D.BC=CD1、解:由邻边相等的矩形是正方形可知,当BC=CD时,矩形ABCD是正方形,故选项D符合题意,而选项A,B,C都不符合题意;故选:D.2、给出下列判断,正确的是( )A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D.有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形.2、解:A、一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,可能是等腰梯形,故不符合题意;B、对角线相等且平分的四边形是矩形,故不符合题意;C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故不符合题意;D、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形,故符合题意;故选:D.3、下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线互相垂直;②它是一个正方形;③它是一个菱形.下列推理过程正确的是( )A.由②推出③,由③推出①B.由①推出②,由②推出③C.由③推出①,由①推出③D.由①推出③,由③推出②3、解:正方形是特殊的菱形,而菱形不一定是正方形;菱形的对角线互相垂直,而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形;正方形拥有菱形的一切性质,故②可以推出③和①,③可以推出①,而①推不出②和③,③推不出②;故选:A.4、如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(5,0),点E为对角线的交点,则点E的坐标为( ).4、解:∵点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(5,0),∴OA=3,OB=5,过D作DH⊥y轴于H,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°,DE=BE,∵∠AHD=∠AOB=90°,∴∠DAH+∠ADH=∠ADH+∠BAO=90°,∴∠ADH=∠BAO,在△ADH和△BAO中,,∴△ADH≌△BAO(AAS),∴AH=OB=5,DH=OA=3,∴OH=8,∴D(3,8),∵点B的坐标为(5,0),∵点E为正方形对角线的交点,即E(4,4),故答案为:4,4.5、如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中,正确结论的是 填序号.5、解:在正方形ABCD中,∠BAF=∠D=90°,AB=AD=CD,∵CE=DF,∴AD-DF=CD-CE,即AF=DE,在△ABF和△DAE中,,∴△ABF≌△DAE(SAS),∴AE=BF,故①正确;∠ABF=∠DAE,∵∠DAE+∠BAO=90°,∴∠ABF+∠BAO=90°,在△ABO中,∠AOB=180°-(∠ABF+∠BAO)=180°-90°=90°,∴AE⊥BF,故②正确;假设AO=OE,∵AE⊥BF(已证),∴AB=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等),∵在Rt△BCE中,BE>BC,∴AB>BC,这与正方形的边长AB=BC相矛盾,所以,假设不成立,AO≠OE,故③错误;∵△ABF≌△DAE,∴S△ABF=S△DAE,∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF,即S△AOB=S四边形DEOF,故④正确;综上所述,正确的有①②④.故答案为:①②④.(二)选做题6、如图所示△ABC中,∠C=90°,∠CAB,∠ABC的平分线相交于D点,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.(1)求证:四边形CEDF为正方形;(2)若AC=6,BC=8,则CE的长为 .6、(1)证明:过点D作DN⊥AB于点N,∵∠C=90°,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,∴四边形FCED是矩形,又∵∠A,∠B的平分线交于D点,∴DF=DE=DN,∴矩形FCED是正方形;(2)解:∵AC=6,BC=8,∠C=90°,∴AB=10,∵四边形CEDF为正方形,∴DF=DE=DN,∴DF×AC+DE×BC+DN×AB=AC×BC,则EC(AC+BC+AB)=AC×BC,故EC==2.故答案为:2.7、如图,正方形ABCD中,AB=4,点E是对角线AC上的一点,连接DE.过点E作EF⊥ED,交AB于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接AG.(1)求证:矩形DEFG是正方形;(2)求AG+AE的值;(3)若F恰为AB中点,请直接写出正方形DEFG的面积.7、(1)证明:如图,作EM⊥AD于M,EN⊥AB于N.∵四边形ABCD是正方形,∴∠EAD=∠EAB,∵EM⊥AD于M,EN⊥AB于N,∴EM=EN,∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°,∴四边形ANEM是矩形,∵EF⊥DE,∴∠MEN=∠DEF=90°,∴∠DEM=∠FEN,∵∠EMD=∠ENF=90°,∴△EMD≌△ENF,∴ED=EF,∵四边形DEFG是矩形,∴四边形DEFG是正方形.(2)解:∵四边形DEFG是正方形,四边形ABCD是正方形,∴DG=DE,DC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠CDE,∴△ADG≌△CDE(SAS),∴AG=CE,∴AE+AG=AE+EC=AC=AD=4.(3)解:连接DF,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=4,AB∥CD,∵F是AB中点,∴AF=FB∴DF==2,∴正方形DEFG的面积为2××2×=10.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 18.2.3正方形导学案(原卷版).docx 18.2.3正方形导学案(解析版).docx