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相等角、二倍角、特殊角的存在性
1．如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），做MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；
(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标．
2．如图1，抛物线与轴交于点（2，0）（6，0），与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的正切值；
（3）如图2，过点的直线交抛物线于点，若，求点的坐标．
3.综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线的顶点为A，且与y轴的交点为B，过点B作轴交抛物线于点，在CB延长线上取点D，使，连接OC，OD，AC和AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；
（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)m的值是________；
(2)P（异于点A）为抛物线上一点，若，求点P的坐标：
(3)Q为抛物线上一点，若，请直接写出点Q的坐标
5.如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；
6. 如图，已知抛物线（为常数，且＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使∠AEC=45°？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．
7.在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标；
（3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E的坐标．
8.已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标
②是否存在点D，使得DBA的度数恰好是BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
9.如图1，在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过三点，且其对称轴为其中点，点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①如图（1），点是直线上方抛物线上的动点，当四边形的面积取最大值时，求点的坐标；
②如图（2），连接在抛物线上有一点满足，请直接写出点的横坐标．
10.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象与x轴交于O、A两点，其顶点B的坐标为（2，﹣6）．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，点C是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接BO、CO，当△OBC是以BC为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；
（3）如图2，P是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接OP，与对称轴交于点M，点Q在OP上，满足＝，设点P的横坐标为n；
①请用含n的代数式表示点Q的坐标（，）；
②连接BQ，OB，当△OBQ的面积为15时，求点P的坐标；
③当∠POA＝2∠OBM时，直接写出点P的横坐标．
11.如图1，已知抛物线的顶点为，与轴的交点为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M为轴上方抛物线上的一点，与抛物线的对称轴交于点，若，求点的坐标；
12.如图，在平面直角坐标系中抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C， A、B两点横坐标为-1和3，C点纵坐标为-4.（1）求抛物线的解析式；
（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由.

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