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专题7二次函数图象与几何图形
专题价值
二次函数在中考的考察方式一般是以图象形式呈现函数关系,所以考查的核心是对函数概念的理解及对图形性质的把握.作为综合性非常强的必考点,务必要引起同学的重视.这类题没有固定的“套路”,没有“定向思维”可用,对考生的能力要求很高.当二次函数图象与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、圆、及图形的相似等知识点结合起来考察时,对考生的知识运用能力要求非常高.
在平面直角坐标系中解决这类问题,一般要抓住两点:一是抓住几何图形上的点,利用点坐标来进行相关计算;二是要充分利用图形的性质,如二次函数图象的对称性等,同时,始终要关注数与形的结合.万变不离其宗,只要用“点”打开解决二次函数图象问题的金钥匙,那么,找到相应的解题方法也就一目了然了.
常用解题思路
1.等腰三角形存在性问题
已知点,点在轴正半轴上,若为等腰三角形,求点坐标.
先根据“两圆一线”作出点的三种位置,分类讨论后,利用勾股定理列出方程,或直接通过等腰三角形性质求解.以为圆心,为半径作圆,,以为圆心,为半径作圆,,过作,作中垂线交轴于,设中.
2.直角三角形存在性问题
在平面直角坐标系中,点坐标为,点坐标为,在轴上找一点使得是直角三角形,求点坐标.
先根据“两线一圆”作出点的三种位置.
若为直角,过点作的垂线,与轴的交,点即为所求,点;
若为直角,过点作的垂线,与轴的交点即为所求，点；
若为直角,以为直径作圆,与轴的交点即为所求点.(直径所对的圆周角为直角)其次,通过构造一线三直角相似,或勾股定理建立方程解决,当然也可利用斜边中线等于斜边一半的重要性质.
过点作轴,过作轴于点,交于,过作轴于点,易证,同理.
设.
3.平行四边形存在性问题
在平面直角坐标系中,在轴上,在直线上.若以四点为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标.
解决此类题,通常借助平行四边形性质:对角线互相平分.若四边形是平行四边形,则
的中点必然也是的中点.根据中点公式可得,,即.这种盲解的方式虽快,但还需注意对对角线的讨论:
(1)四边形是平行四边形,一定是对角线.
(2)以四个点为顶点的四边形是平行四边形,对角线不确定,需要分类讨论.有时还要关注是否出现四点共线的情况,如出现要舍去.
设,
(1)为对角线,.
把代入得,.
(2)为对角线,.
把代入得,.
此时三点共线,舍去.
(3)为对角线,.
把代入得,.
综上,点坐标为或.
曾经这么考
一、巧用勾股定理
例1已知二次函数的图象与轴的负半轴和正半轴分别交于两点,与轴交于点,它的顶点为,直线与过点垂直于轴的直线交于点,且.
(1)求两点的坐标;
(2)若,求这个二次函数的关系式;
(3)在(2)的基础上,将直线先绕点旋转到与轴平行,再沿轴向上平移1个单位得直线是直线上的动点,是否存在点,使为直角三角形 若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
【剖析】
(1)先求得二次函数图象对称轴为,然后利用平行线分线段成比例定理求得的值,
从而得到点的坐标,利用二次函数图象的对称性可求得点的坐标;
(2)过点作,垂足为.先求得点和点的坐标(用含字母的式子表示),然后可得到,然后利用锐角三角函数的定义可求得的值,然后将点和点的坐标代入二次函数的解析式可求得的值;
(3)先求得二次函数的顶点坐标,然后再求得直线.设点的坐标为,依据两点间的距离公式可知,,最后依据勾股定理的逆定理列方程求解即可.
【解答】
(1)如图1,由题意得,二次函数图象对称轴为.
.
.
点与点关于对称,点的坐标为.
图1 图2
(2)如图2,过点作,垂足为.
将代入得,点的坐标为.
将代入得,点的坐标为.
.
,解得.将代入二次函数解析式得,.
将点的坐标代入得,,解得,.
二次函数解析式为.
(3)点的坐标为.
由题意得,直线.设点的坐标为,
由两点间的距离公式得,,
当时,,解得,或.
点的坐标为或.
当时,,解得,.
点的坐标为.
当时,,解得,.
点的坐标为.
综上,点的坐标为或或或.
二、活用中点公式
例2如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,二次函数经过两点且与轴的负半轴交于点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若点为直线上方抛物线上的一个动点,当时,求点的坐标;
(3)已知分别是直线和二次函数图象上的动点,当为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合条件的点的坐标.
【剖析】
(1)先根据一次函数与坐标轴的交点,求得两点坐标,代入二次函数解析式,求出的值,得解.
(2)通过过点作的平行线,构造与相等的,在上方继续构造即可.
(3)四点作平行四边形,可任选两点作为对角线的两端点,利用对角线互相平分,中点坐标相同的公式盲解,注意三种情况分类讨论.
【解答】
(1)在中,令,得,令,得.
把代入得，，解得，二次函数的解析式为
(2)如图1,过点作交二次函数图象于点,过点作交于.
轴,,即,
.
设,则,
,
,
解得(舍去),点的坐标为.
图1 图2
(3)设点
(1)如图2,四边形为平行四边形,,
.
(2)如图3,四边形为平行四边形,,
.
图3 图4
(3)如图4,四边形为平行四边形,,
.
综上,所有符合条件的点为,.
三、构造母子相似
例3如图所示,二次函数的图象与一次函数的图象交于两点,点在点的右侧,直线分别与轴交于两点,其中.
(1)求两点的横坐标;
(2)若是以为腰的等腰三角形,求的值.
(3)二次函数图象的对称轴与轴交于点,是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【剖析】
(1)将二次函数与一次函数联立化简,建立关于的一元二次方程求解,的值对应两点的横坐标.
(2)点坐标确定,长度可求,再分类讨论即可,注意为腰,只需两种情况.
(3)显然,,问题转化为,可模仿例2的第(2)问,先过点作平行,构造与相等的内错角,再构造的两倍,从而与相等,利用母子相似,建立方程,求出的值,注意,点可以在轴上方,也可在轴下方,要注意分类讨论.
【解答】
(1)将二次函数与一次函数联立得,,解得,或2,故点的横坐标分别为1,2;
(2),
(1)当时,即,解得,,
；
(2)当时,即,解得,或-3;
故的值为-1或-2或-3;
(3)(1)当点在轴上方,则,即时,
图1 图2
如图1,过点作于点,在上找点,使,
轴,轴,,又2),(舍去).
(2)当点在轴下方,则,即时,
如图2,过点作于点,在的延长线上找点,使,
轴,轴,,又,舍去.
综上,或.
法(隐去抛物线)
(1)当点在轴上方,则,即时,如图3,过点作轴于,作于,在延长线上取点,使,连接,则,则,,(舍去).
图3 图4
(2)当点在轴下方,则,即时,
如图4,过点作轴于,作于,在延长线上取点,使,连接,则,舍去.
四、巧妙增设参数
例4在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线交二次函数的图象于点,,点在该二次函数的图象上,设过点(其中)且平行于轴的直线交直线于点,交直线于点,以线段为邻边作矩形.
(1)若点的横坐标为8.
(1)用含的代数式表示的坐标;
(2)点能否落在该二次函数的图象上 若能,求出的值;若不能,请说明理由;
(2)当时,若点恰好落在该二次函数的图象上,请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式.
【剖析】
(1)(1)求出点的坐标,进而求出直线的函数表达式,将点的纵坐标代入表达式中,的坐标即可求解.
(2)利用一线三直角型相似,表示出点的坐标,利用中点公式,表示出点的坐标,再代入二次函数表达式,求出的值.
(2)设,用含的代数式表示出直线的表达式以及点的坐标,利用一线三直角型相似,表示出点的坐标,利用中点公式,表示出点的坐标,再代入二次函数表达式,求出的值.即可求出直线的表达式.
【解答】
(1)(1)点在的图象上,横坐标为,,直线的函数表达式为点的纵坐标为,.
(2)假设点能落在抛物线上,如图,过点作轴于点,过点作轴于点,易证
四边形为矩形,,
,把点坐标代入得,(舍去)或.
（2）设,易得直线的函数表达式为,过点作轴于点,过点作轴于点,易证,四边形为矩形,,
,把点坐标代入得,,
若直线的函数表达式为,
若直线的函数表达式为
综上所述,直线的函数表达式为或.
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1.如图,二次函数的图象与轴有两个交点,且经过点,过点的直线与轴交于点,与该函数的图象交于点(异于点).满足是等腰直角三角形,记的面积为的面积为,且,求该二次函数的表达式.
第1题图
2.如图,在第一象限内作射线,与轴的夹角为,在射线上取点,过点作轴于点.在二次函数上取点,在轴上取点,使得以为顶点,且以点为直角顶点的三角形与全等,则符合条件的点的坐标是_____.
第2题图
3.如图,二次函数过轴于点,四边形为正方形,点在线段上,点在此二次函数图象上,且在直线的左侧,则正方形的边长为_______.
第3题图
4.如图,在中,,点的坐标为,过点作直线交于,交于,以为顶点的二次函数图象经过点,当和的面积相等时,则二次函数解析式为_________.
第4题图
5.如图,二次函数过点,矩形的边在线段上(点在点的左边),点在抛物线上.设,当时,.
(1)求二次函数的表达式.
(2)当为何值时,矩形的周长有最大值 最大值是多少
(3)保持时的矩形不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点,且直线平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
第5题图
6.如图,二次函数与轴交于两点(点在点左边),与轴交于点.直线经过两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点是二次函数图象上一动点,过点且垂直于轴的直线与直线及轴分别交于点,垂足为.设.
(1)点在二次函数图象上运动,若三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(点重合除外).请直接写出符合条件的的值;
(2)当点在直线下方的二次函数图象上运动时,是否存在一点,使与相似.若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
第6题图
7.如图,二次函数交轴于两点,与轴交于点,连接.点是第一象限内二次函数图象上的一个动点,点的横坐标为.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)过点作轴,垂足为点交于点.试探究点在运动过程中,是否存在这样的点,使得以为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点作,垂足为点.请用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时有最大值,最大值是多少
第7题图
8.如图,二次函数与轴交于两点(点在点左侧),,,直线与二次函数图象交于两点,其中点的横坐标为2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)是线段上的一个动点,过点作轴的平行线交二次函数图象于点,求线段长度的最大值;
(3)点是二次函数图象上的动点,在轴上是否存在点,使以四个点为顶点的四边形是平行四边形 如果存在,请直接写出所有满足条件的点坐标;如果不存在,请说明理由.
第8题图
9.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数与轴交于两点(点在点的左侧),经过点的直线与轴负半轴交于点,与二次函数图象的另一个交点为,且.
(1)求两点的坐标及二次函数的对称轴;
(2)求直线的函数表达式(其中用含的式子表示);
(3)点是直线上方的二次函数图象上的动点,若的面积的最大值为,求的值;
(4)设是二次函数图象对称轴上的一点,点在二次函数图象上,以点为顶点的四边形能否成为矩形 若能,请直接写出点的坐标;若不能,请说明理由.
第9题图
10．如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，直线与该二次函数图象交于两点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．
(3)以点为圆心，1为半径作圆，圆上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，已知二次函数与轴交于、两点，交轴于点，对称轴是直线．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)连接是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标；
(3)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交二次函数图象于点，交线段于点．设运动时间为秒．
①若与相似，请直接写出的值；
②能否为等腰三角形 若能，求出的值；若不能，请说明理由．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，二次函数的顶点为，与轴的交点为．过点的直线与二次函数图象交于另一点(点在对称轴左侧)，点在的延长线上，连接、、和．
(1)如图1，当∥轴时，
①已知点的坐标是，求二次函数的解析式；
②若四边形是平行四边形，求证：．
(2)如图2，若，是否存在这样的点，使四边形是平行四边形 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
专题7二次函数图象与几何图形
1．①若,则与重合,直线与轴重合,和直线与该函数的图象交于点(异于点)矛盾,不合题意,舍去;
②若,则在轴下方,与点在轴上矛盾,不合题意,舍去;
③若,则,
,直线解析式为,
过点作轴,垂足为,,又,即点纵坐标为点在直线上,将代入中,得,把三点坐标代入得,.
第1题图
2．①如图1,当,则,即点重合;
由于,则直线解析式为,与抛物线解析式联立得,,
解得,或,故;
②如图2,当,此时;
易知,则直线解析式为,与抛物线解析式联立得,,
解得,或,故;
综上,的坐标为或.
3．把代入得,二次函数解析式为,设正方形的边长为,则,把代入得,
,解得,(舍去),
正方形边长为.
4.如图,过点作于点,过点作于点,
于点为中点,
.
.
,即点纵坐标为1.
设直线的解析式为,把代入得,,
当时,,解得.
设所求抛物线的解析式为,
将代入得,,解得,
抛物线解析式为,即.
5.(1)设二次函数的表达式为当时,,
点的坐标为,将点坐标代入解析式得,,解得,,
二次函数的表达式为;
(2)由抛物线的对称性知,,
,
当时,矩形的周长有最大值为;
(3)如图,当时,点的坐标分别为,
矩形对角线的交点的坐标为,
当点分别落在线段上,直线过点时,必平分矩形的面积,
线段平移后得到线段,
线段的中点平移后的对应点是,
在中,是中位线,,故抛物线向右平移的距离是4个单位.
6.(1)令;令;
将坐标代入解析式得,二次函数的解析式为;
(2)①,分以下几种情况讨论:
是的中点时,,即,
解得(三点重合,舍去);
是的中点时,,即,
解得(舍去);
是的中点时,,即,
解得(舍去);符合条件的的值有;
②二次函数的解析式为,
,又,
与相似,,垂足为与相似,且.
1)如图1,点的纵坐标是-2,代入抛物线得,,解得(舍去),点的坐标为.
2)如图2,,延长交轴于点,过点作轴于点,易得,设,Rt中,,设,点,代入抛物线得,,解得(舍去),点的坐标为.
综上,点的坐标为或.
7.(1)设,解得,,
则二次函数的表达式为.
(2)存在,点的坐标分别为,
则,
将点的坐标代入一次函数表达式得,,
①当时,如图1,,设,则,由勾股定理得,,解得,(舍去),,故点;
②当时,如图2,,则,
则,故点;
③当时,如图3,设,则,不在第一象限,舍去),综上,点的坐标为或;
(3)设点,则点,
,
,
有最大值,当时,.
8.(1)二次函数与轴交于,
,解得,,
二次函数的解析式为.
(2)点在抛物线上,且点的横坐标为2,
,设直线的解析式为,
,解得,,
直线的解析式为,
设点的横坐标为,
则,
,
,开口向下,且,
当时,.
(3)如图,若为边,则,即轴,则坐标,
;
若为对角线,则纵坐标为,
.
综上,点坐标为或或或.
(1)当时,,解得,对称轴为直线;
(2)直线过,即,
二次函数图象与直线交于点,即,
,解得点的横坐标为4,
,直线的函数表达式为;
(3)如图1,过点作轴交直线于点,设,则.
(4)令,即,解得.①如图2,若为边,则,过作轴,过作轴,易证,.
②如图3,若为对角线,则,,过作轴,过作,过作,易证,.
综上,存在点或,使以点为顶点的四边形成为矩形.
10.(1)把代入得,,二次函数的解析式为.
(2)如图1,过点作轴交于点,设,
.
(3)①若为直角,如图2,过作交于,过作,过作.易证,设,同理,易证.
②若为直角,如图3,过点作的切线交于,则,.过作交轴于,过作交延长线于.易证,设.
综上,坐标为或或或.
11.(1)点关于直线对称,,代入中,解得二次函数的解析式为;
(2)易得直线的解析式为点关于直线对称,到对称轴的距离为,将代入中得,;
(3)①如图1,设,.
若,则(舍去).
若,则(舍去),(舍去).
综上;
②如图2,轴,,
当时,在Rt中,,;
当时,.
当时,则点重合,此时,不合题意.
综上,当或时,为等腰三角形.
12.(1)①轴,点,将点代入得,二次函数的解析式为;
②如图1,过点作轴于,交于点,
轴,,又点是抛物线的顶点坐标,
,
四边形是平行四边形,,又
,即.
(2)二次函数的解析式为,顶点的坐标为,假设存在这样的点使四边形是平行四边形,如图2,
设点,过点作轴于点,交于,则四边形是平行四边形,易证,,过点作轴于,交于,,点的纵坐标为轴,,,,由,解得,点的纵坐标是,,存在这样的点,使四边形是平行四边形.
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