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专题1网格作图计算
专题价值
近几年的中考题中,以网格为背景的试题十分常见,主要有两类,一类是直尺作图,一类是计算.题型以填空题,选择题,或中等难度解答题为主,综合考查学生的几何素养.
常用解题思路
（1）作网格中某斜线段的平行线:
原斜线段为“横”矩形的对角线,则所作线段为“横”矩形的对角线.
（2）作网格中某斜线段的垂线:
原斜线段为“横”矩形的对角线,则所作线段为“横”矩形的对角线.
（3）等分某条斜线段:
利用型相似,确定两平行对应线段之比为1:,构造与斜线段交叉的线段,再将所构造线段平移次.
例:五等分图1中线段五等分,则需构造两平行线段之比为,如图,连接,依次向右作的平行线即为所求,即平移3次.
图1 图2
（4）计算三条边均不在网格线上的三角形的面积:
割补法,或铅锤法.
（5）计算某两条线段夹角的三角函数值:
将其中一条线段平移后,与另一条线段可构造直角三角形,在直角三角形中计算即可.
曾经这么考！
一、网格作图
例1在的方格纸中,点都在格点上,按要求画图:
（1）在图1中找一个格点,使以点为顶点的四边形是平行四边形.
（2）在图2中仅用无刻度的直尺,把线段三等分（保留画图痕迹,不写画法）.
图1 图2
【剖析】
（1）利用平行四边形对边平行且相等的性质,
过点作,确定点,
过点作,确定点.
（2）三等分,则需构造两平行线段之比为,如图,连接,将向右平移1次即为所求.
【解答】
（1）如图1所示;（2）如图2所示.
图1 图2
例2我们知道,三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线相交于一点,事实上,三角形还具有性质:三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质,只用直尺（不带刻度）作图.
（1）如图1,在中,为的中点,作的中点.
（2）如图2,在由小正方形组成的的网格中,的顶点都在小正方形的顶点上,作的高.
图1 图2
【剖析】
（1）已知为的中点,要作的中点,显然要利用边组成的的三条中线交于一点,则还要确定边的中点,立刻想到平行四边形对角线互相平分,则连接交于点即为一条中线,再连接,交于点,则点即为三条中线的交点,连接并延长交于点,如图1,点即为所求;
（2）为“横1竖3”的矩形对角线,则过点找“横3竖1”的矩形对角线并延长才是边上的高.为“横3竖2”的矩形对角线,则过点找“横2竖3”的矩形对角线的一部分是边上的高.两条线段的交点即为高的交,点,连接并延长交于,如图2,点即为所求.
【解答】
图1 图2
二、求三角函数值
例3如图,在正方形方格纸中,每个小四边形都是相同的正方形,都在格点处,与相交于点,则的值等于________.
【剖析】
本题中,要求角的正切值,应该放在直角三角形中考虑.但这里并没有直角三角形,因此,需要过点作,由于为正方形网格的对角线,则也为正方形对角线一部分,此时,将向下平移一格,正好构成直角三角形,可以直接求解正切值.
【解答】
如图,向下平移一个单位到,交于,过点作是直角三角形,.
三、计算面积
例4如图的的方格纸中有一格点,其面积为,则这个方格纸的面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
【剖析】
本题可以设每个小方格正方形的边长为,用边长为的大正方形面积减去周围三个小三角形的面积,即为的面积,从而可以求的值,这个方格纸的面积也可求.
也可过点作水平网格线,与交于点为水平宽,在竖直方向上的距离为铅垂高,计算面积.
【解答】
法1:设方格纸的边长为,选D.
法2:如图,由题意得,,
还会这么考
1.图1、图2、图3都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段的端点在格点上.
（1）在图1、图2中,以为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;（所画图形不全等）
（2）在图3中,以为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.
图1 图2 图3
第1题图
2.图1,图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.
（1）在图1中画出等腰直角,使点在格点上,且;
（2）在图2中以格点为顶点画出一个正方形,使正方形面积等于（1）中等腰直角面积的4倍,并将正方形分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形面积没有剩余（画出一种即可）.
图1 图2
第2题图
3.如图,将线段放在边长为1的小正方形网格中,点、点均落在格点上,请用无刻度直尺在线段上画出点,使,并保留作图痕迹.
第3题图
4.如图,在的方格中,的顶点均在格点上.试按要求画出线段均为格点）,各画出一条即可.
（1）平分 （2） （3）垂直平分
第4题图
5.请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
（1）如图1,四边形中,,画出四边形的对称轴;
（2）如图2,四边形中,,画出边的垂直平分线.
图1 图2
第5题图
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点均在网格交点上,是的外接圆,则的值是____________.
第6题图
7.如图,由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角为都在格点上,则的值为____________.
第7题图
8.如图,方格纸中有三个格点,则点到的距离为____________.
第8题图
9.如图,在平面直角坐标系中,过格点作一圆弧,点与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是（ ）
A.点
B.点
C.点
D.点
第9题图
10.如图,在边长相同的小正方形网格中,点都在这些小正方形的顶点上,与相交于点,则的值为
第10题图
11.矩形纸片中,.
（1）如图1,四边形是在矩形纸片中裁剪出的一个正方形.你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形,最大面积是多少 说明理由;
（2）请用矩形纸片剪拼成一个面积最大的正方形.要求:在图2的矩形中画出裁剪线,并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）
图1 图2
第11题图
12.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,的顶点均落在格点上,点在网格线上,且.以为直径的半圆与边相交于点,若分别为边上的动点,当取得最小值时,请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点,并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）.
第12题图
专题1网格作图计算
1.(1)如图1、2所示,和即为所求;
(2)如图3所示,平行四边形即为所求.
第1题图1
第1题图2
第1题图3
2.(1)如图1所示.(2)如图2所示.
第2题图1
第2题图2
第3题图
3.由勾股定理得,,当时,.
构造对应边之比为的型相似,点如图所示.
4.(1)答案不唯一,图1利用过中点构造平行,图2利用型全等.
第4题图1
第4题图2
(2)如图3所示.(3)如图4所示.
第4题图3
第4题图4
5.(1)如图1所示.(2)如图2所示.
第5题图1
第5题图2
6.如图,过点作交于,连接,
则.
第6题图
7.如图,延长到格点,连接,易证,设每个小菱形的边长为1,则.
第7题图
8.如图,过点作交于,取中点,过作交于,,点到的距离为.
第8题图
9.如图,找到圆心,连接,分别过点作的垂线,过点作的垂线,过点作的垂线,经过的格点分别为,,选A.
第9题图
10.如图,向上平移一个单位到,连接,是直角三角形,.
第10题图
11.(1)正方形的最大面积是16.设,则.
易证.
,
函数的开口向上,对称轴是直线,
在对称轴的左侧,随的增大而减小,
在对称轴的右侧,随的增大而增大,
当或时,正方形的面积最大,最大值是16.
(2)如下图所示.
第11题图
12.思路:作点关于的对称点,过作,交于点,则最短.作法:如图,取格点,连接,点在上.取格点,连接,连接并延长,与相交于点,易知,且点和点关于对称.连接交半圆于点,连接,交于点,则,根据三角形三条高交于形内一点,连接并延长,与相交于点,点即为所求.
第12题图
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