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专题3图形折叠的应用
专题价值
折叠与平移,旋转一起,组成了初中阶段几何的三大变化,既基础,又非常重要.在折叠变化中,有对应角,有对应边,有对应点的连线,解题时,经常需要构造辅助线.同时,折叠还经常与相似,勾股定理等知识点综合考查,对学生的几何素养要求很高.
常用解题甶路
如图1,沿着边折叠,得到,连接,与交于点上有另一点.
.
2.垂直平分.
.
折叠问题的常见辅助线与注意事项:
1.连接对应点,对应点的连线被折痕垂直平分,出现特殊角,中点.
2.利用好折痕充当角平分线,结合平行构造等腰.
3.在平面直角坐标系中,与折叠有关的问题,还可以借助解析法求解,比如求对称点坐标.
4.折叠位置不同,可能导致题目有多解的可能!
5.图形折叠的落点问题,常要与圆联系起来.如图2,在矩形中,为上动点,将沿着折叠,则点的对称点的轨迹为以为圆心,长为半径的一道弧,圆心角为的两倍.
图1 图2
曾经这么考!
一、折叠得边等得角等
例1如图,Rt中,,将边沿翻折,使点落在上的点处;再将边沿翻折,使点落在的延长线上的点处,两条折痕与斜边分别交于点,则线段的长为
【剖析】
我们要从折叠中,发现相等的量,先从边入手,可知,马上可以求,再从角入手,可以知道,则,可知是等腰直角三角形,,进而利用勾股定理即可解决.
【解答】
连接,由题意得,,由折叠知,,
,
,是等腰直角三角形,
,
,
.
例2如图,矩形中,为对角线,将矩形沿所在直线折叠,使点落在上的点处,点落在上的点处,连接.已知,则的长为
【剖析】
矩形的两邻边长已知,可先求出对角线长为5,根据折叠的性质得,在Rt中,设的长度为,由勾股定理列方程,求出的长度,同理在Rt中,设的长度为,可求出的长度,最后在Rt中,再次利用勾股定理求出的长度.
【解答】
四边形是矩形,,
设,由折叠知,,
,在Rt中,,
,解得,
设,由折叠知,,
,在Rt中,,
,解得,
在Rt中,.
二、折叠得面积等
例3如图,已知平行四边形的三个顶点,,作平行四边形关于直线的对称图形.
（1）若,试求四边形面积的最大值.
（2）若点恰好落在轴上,试求的值.
【剖析】
（1）首先,我们可以发现四边形是平行四边形,
,从而可以利用面积的和差关系得到.
,问题转化成求的最大值,则利用-,配方后,求最大值.（2）当点恰好落在轴上,可知.
根据“两角对应相等的三角形相似”,可证,从而根据“相似三角形对应边成比例”,求出,最后,借助已知的等条件,利用勾股定理建立方程.从而得到边与边之间的关系.
【解答】
（1）平行四边形与四边形关于直线对称,
四边形是平行四边形，
易证,
,四边形是平行四边形,
,
,
,
,
当时,最大值为9.
（2）如图,当点恰好落在轴上,
,
,
,
由轴对称的性质可得,.
在中,，
整理得,.
三、折叠构造基本模型
例4如图,已知矩形中,.动点从点出发,在边上以每秒1个单位的速度向点运动,连接,作点关于直线的对称点.设点的运动时间为.
（1）若,求当三点同一直线上时对应的的值.
（2）若满足:在动点从点到点的整个运动过程中,有且只有一个时刻,使点到直线的距离等于3.求所有这样的的取值范围.
【剖析】
（1）本题中,三点共线是关键,根据,以及经过翻折得到,可以得到2个重要条件:①,②基本模型,平行+角平分,构造等腰三角形.即,从而利用勾股定理即可解决.
（2）我们知道,点的轨迹是以为圆心,4为半径的圆弧.这里要求的取值范围,我们可以从假如没有范围限制,来进一步思考.
假如非常短,点末到达点,则点的对称点在边的上方,与边的距离比较远,就“不存在这样的点,使其到直线的距离等于3”.
假如非常长,点末到达点,则点的对称点可以落在上方距离为3的直线上,也可以落在下方距离为3的直线上,即存在两个这样的点.
因此,必须要分两种临界情形:（1）当点与重合时,点在的上方,且到的距离为3.（2）当点与重合时,点在的下方,且到的距离为3.
计算时,求出所有能求的边的长度,利用勾股定理或相似,建立方程求解.
【解答】
（1）如图1,由折叠知,,又.则.
图1
（2）①如图2,当点在直线上方,点与点重合,过点作,作交于,延长交于点,延长交于点,
Rt中,,设,在Rt中,,解得,.
图2
②如图3,当点在直线下方,点与点重合,过点作,延长交于点,延长交于点,Rt中,,设,
在Rt中,,解得,,
综上,范围为.
图3
还会这么考？
1.如图,正方形纸片的边长为是边上一点,连接、折叠该纸片,使点落在上的点,并使折痕经过点,得到折痕,点在上,若,则的长为__________.
第1题图
2.如图,在矩形中,,点在边上,且.连接,将沿折叠,若点的对应点落在矩形的边上,则的值为_____________.
第2题图
3.如图,在四边形中,把Rt沿着翻折得到Rt,若,则线段的长度为_____________.
第3题图
4.将一个直角三角形纸片放真在平面直角坐标系中,点,点,点,0）.是边上的一点（点不与点重合）,沿着折叠该纸片,得点的对应点,当时,点的坐标为5.如图,矩形的顶点都在坐标轴上,点在第二象限,矩形的面积为.把矩形沿翻折,使点与点重合.若反比例函数的图象恰好过点和的中点.则的长为_____________.
第5题图
6.在中,为边上一动点,将沿着过点的直线折叠使点落在边上,则的取值范围是________________.
第6题图
中,.
（1）如图1,若是的平分线,,求的长与的值;
（2）如图2,将边折叠,使得点落在边上,折痕为,再将边折叠,使得与重合,折痕为,求的长.
图1 图2
第7题图
8.如图,在三角形纸片中,,将沿过顶点的直线折叠,使点落在边上的点处,折痕为.
(1)求线段的长;
(2)若点是边的中点,点为线段上的一个动点,将沿折叠得到,点的对应点为点与交于点,求的取值范围.
9.在中,已知是边上的一点,将沿着过点的直线折叠,使点落在边上的点处(不与点重合),折痕交边于点.
(1)如图1,若,求的长;
(2)如图2,若,且当时,存在两次不同的折叠,使点落在边上两个不同的位置,请直接写出的取值范围.
10.如图,在Rt中,是边的中点,平行于的动直线分别交的边于点,设.
(1)当时,求的面积;
(2)若点关于直线的对称点为点,请求出点恰好落在的内部(不含边界)时,的取值范围；
(3)是否可能为直角三角形 如果能,请求佳所有符合条件的的值;如不能,请说明理由.
11.如图1,在矩形中,,动点从出发,以每秒1个单位的速度,沿射线方向移动,作关于直线的对称,设点的运动时间为.
(1)若.
①如图2,当点落在上时,显然是直角三角形,求此时的值;
②是否存在异于图2的时刻,使得是直角三角形 若存在,请直接写出所有符合题意的的值 若不存在,请说明理由.
(2)当点不与点重合时,若直线与直线相交于点,且当时存在某一时刻有结论成立,试探究:对于的任意时刻,结论“”是否总是成立 请说明理由.
12.如图1,在矩形中,,动点在线段上以每秒1个单位的速度从点向点运动,过点作交于,将沿翻折得到.设点的运动时间为.
(1)当点落在边上时,的值为
(2)设与重叠部分的面积为,求与的函数关系式;
(3)如图2,以为直径作.当与边相切时,求的长.
专题3图形折至的应用
1.如图,设交于四边形为正方形,,由折叠知,垂直平分,又,,在Rt中,.
第1题图
2.由折叠知,,点不可能落在上,
(1)当点落在边上时,如图1.
;
(2)当点落在边上时,如图2.
.易证,
,解得(舍去).综上,的值为或.
第2题图1
第2题图2
3.如图,延长交于,过点作于,,由于Rt沿着翻折得到Rt,则,则.在中,设,Rt中,,.
第3题图
4.设,分两种情况:
(1)如图1,点在所在直线上方,,
易证,则,
易知点在轴上,平分,
设直线的解析式为,把点,点代入得,,
易知.
第4题图1
第4题图2
(2)如图2,点在所在直线下方,由折叠知,,
四边形是菱形,
,作于,
把代入.
综上,或.
5.如图,连接,由翻折知,,
,四边形为菱形,为中点,为中点,过作,则矩形矩形,设.
第5题图
6.由题意得,点是以为圆心,长为半径的圆与的交点,如图1,当与有2个交点时,作于,则,
第6题图1
(1)如图2,当时,最小,即最小,是等腰直角三角形,设,则,
第6题图2
(2)如图3,当与重合时,最大,作于,设,
在Rt中,,易知,
的取值范围是.
第6题图3
7.(1)是的平分线,,即是等腰三角形,设,则,由,可得,即,解得,由,可得.
(2)由折叠知,,
,设,则,
,即,
解得.
8.(1)由折叠知,,即.
.
在和中,,
,即,解得,,
,解得,;
(2)如图,由折叠知,,
.点是边的中点,,.设,则,
点为线段上的一个动点,.
,即,
又.
,即.
第8题图
9.(1),如图1,过点作于点,将沿过点的直线折叠,
当点落在线段上的点处时,,
Rt中,.
当点落在线段上的点处时,同理可得,.
综上,满足条件的的值为或.
(2)存在两次不同的折叠,使点落在边上两个不同的位置,即指以为圆心,为半径的圆与边有两个交点,且不含两点.
如图2,过点作于,以为圆心,为半径,构造,则与交于点和点..
第9题图1
第9题图2
第9题图3
第9题图4
如图3,取中点,作交于,过点作于,以为圆心,为半径,构造,则与交于点.,易证,.
如图4,在上取点,以为圆心,为半径,构造,则与相切于点.,设,易证,
当时,折叠后,点落不在边上.当时,折叠后,点落在边上的点.
当时,折叠后,点落在边上的一个位置.
当时,折叠后,点落在边上的点和点处.
当时,折叠后,点落在边上两个不同的位置.
当时,折叠后,点落在边上的点处.
当时,折叠后,点落不在边上.
则当时,存在两次不同的折叠,使点落在边上两个不同的位置.
10.(1)如图1,作于点.在Rt中,,
,Rt中,,
.
(2)①当点关于直线的对称点落在边时，点与点重合，
②如图2,当点关于直线的对称点落在边上时,
垂直平分,易证,点是的中点,
易证.
③点关于直线的对称点落在边显然是不可能的,点的对称点只可能在图2中的射线上,延伸后,其也只可能与延长线相交,故不合题意,舍去.
综上,点恰好落在的内部(不含边界)时,.
第10题图1
第10题图2
第10题图3
第10题图4
(3)能为直角三角形,
①如图3,当时,连接交于点,易证,同理,,四边形为矩形,
是的中点,.
②如图4,当时,,
易证.
③当时,,则,由(2)(3)知,,则必在上,且必然在延长线上,故不合题意,舍去.综上,或时,是直角三角形.
11.(1)①如图四边形是矩形,,由翻折知,,.
②如图2,当时,四边形是矩形,,,在Rt中,,解得.
如图3,当时,在中,,在Rt中,,解得.如图4,当时,.易证四边形为正方形,.综上,满足条件的的值为2或6或.
第11题图1
第11题图2
第11题图3
第11题图4
(2)如图5,时,,由翻折知,,又,即四边形是正方形.
如图6,时,易证,
由折叠知,,
,结论恒成立.
第11题图5
第11题图6
12.(1)如图1,作于点,
解得,由折叠知,,
,
,又,
解得.在Rt中,,即,解得.
第12题图1
(2)如图2,当点在上时,,由折叠知,.
第12题图2
①当时,如图3,.
第12题图3
②当时,如图4,,
,
由(1)知,,
.
综上,
第12题图4
(3)如图5,设切点为,作于,连接并延长交于,设,则,.
第12题图5
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