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专题6方案类、行程类应用题
专题价值
方案类、行程类应用题作为中考的重难点,主要考查学生对方程,不等式,函数的综合运用能力,能结合图表,函数图象的条件分析题意,认真仔细化简计算是解题的关键.
常用解题思路
一般而言,应用题考查的类型灵活多样,对于方案类应用题,给出信息的方式无外乎直接给条件,或者给图象,或者给表格.对于直接给条件的,可以结合题意,先列不等式,再结合函数求最值;对于给出图象的,要结合图象,求出函数关系式,再根据题意建立不等式求范围;对于给出表格的,要仔细分析用好数据.
对于行程问题,尤其是给出图象的,要具体搞清横轴、纵轴表示的实际意义,明确某些点表示的实际意义,从而求出需要的量,解决问题.
想要在方案类、行程类应用题中得高分,甚至满分,必须认真读懂题意,仔细推敲!
曾经这么考!
一、仔细读题,认真分析条件
例1某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料,准备由甲、乙两车间全部用于生产产品.甲车间用每箱原材料可生产出产品12千克,需耗水4吨;乙车间通过节能改造,用每箱原材料可生产出的产品比甲车间少2千克,但耗水量是甲车间的一半.已知产品售价为30元/千克,水价为5元/吨.如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨,那么该厂如何分配两车间的生产任务,才能使这次生产所能获取的利润最大 最大利润是多少 （注:利润=产品总售价－购买原材料成本－水费)
【剖析】
本题首先应根据“总耗水量不超过200吨”及两车间所用原材料箱数为非负数建立一元一次不等式组,求出甲车间购买原材料箱数的范围.再建立利润与甲车间购买原材料箱数之间的一次函数关系式,根据的正负性,确定函数的增减性,从而求出最大利润.
【解答】
设甲车间用箱原材料生产产品,则乙车间用箱原材料生产产品.
由题意得,,解得,.
,
随的增大而增大,
当时,,
答:甲车间用40箱原材料生产产品,乙车间用20箱原材料生产产品,可使工厂所获利润最大,最大利润为14600元.
二、结合图象,找出关键数据的实际意义
例2“低碳生活、绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行匀速前往乙地,她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示.在小丽出发的同时,小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地,两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示.
(1)小丽和小明骑车的速度各是多少
(2)求点的坐标,并解释点的实际意义.
图1 图2
【剖析】
(1)由点表示的实际意义,可知小丽用从甲地到乙地,距离,由点表示的实际意义,小丽和小明1小时后相遇,则两人的速度均可求解;
(2)两人相遇后,两人之间的距离在拉大,但速度有差异,显然,点表示的实际意义是,此时速度较快的一方已经到达终点,结合第(1)问两人的速度,算出速度较快一方需要的时间,则点的纵坐标即表示速度较慢一方离出发点的距离.
【解答】
(1)由题意得,,
设小明速度为.
答:小丽的速度为,小明的速度为.
(2)由图象可知,点表示小明到达甲地,此时小丽还在途中.
点.
点的实际意义为出发1.8小时后,小明到达甲地,小丽末到乙地,两人相距,即小丽距离她出发的甲地.
三、读透图表,合理分类讨论
例3某地新建的一个企业,每月将产生1960吨污水.为保护环境,该企业计划购置污水处理器,并在如下两个型号中选择:
污水处理器型号 型 型
处理污水能力(吨/月 240 180
已知商家售出的2台型、3台型污水处理器的总价为44万元;售出的1台型、4台型污水处理器的总价为42万元.
(1)求每台型、型污水处理器的价格;
(2)为确保将每月产生的污水全部处理完,该企业决定购买上述的污水处理器,那么他们至少要支付多少钱
【剖析】
(1)依据题意,列出二元一次方程组求解.
(2)“全部处理完”,应理解为处理能力吨,我们可以分别计算只用型和只用型需要的台数,确定两种型号都使用时,需要台数的范围,分情况讨论,转化为常见的一元一次不等式和一次函数的结合问题,最终找出需要付费的最小值.
【解答】
(1)设每台型污水处理器的价格是万元,每台型污水处理器的价格是万元,由题意得,,解得,.
答:每台型污水处理器的价格是10万元,每台型污水处理器的价格是8万元.
(2)解设全购买型污水处理器,共台,,
全购买型污水处理器,共台,,
若两种型号均购买,需要9或10或11台.设支付费用万元.
(1)两种共购买9台,设型购买台,型台.
由题意得,,
随的增大而增大,当时,.
(2)两种共购买10台,设型购买台,型台.
由题意得,,
随的增大而增大,当时,.
(2)两种共购买11台,设型购买台,型台.
由题意得,,
随的增大而增大,当时,.
综上,.
答:购买型污水处理器6台,型污水处理器3台,至少要支付84万元.
四、结合自变量范围,表示分段函数
例4为切实做好疫情防控工作,开学前夕,学校准备在药店购买口罩和体温计发放给每个学生.已知每盒口罩有100只,每盒体温计有10支,每盒口罩价格比每盒体温计价格多150元.用1200元购买口罩盒数与用300元购买体温计所得盒数相同.
(1)求每盒口罩和每盒体温计的价格各是多少元
(2)如给每位学生发放2只口罩和1支体温计,且口罩和体温计均整盒购买,设购买口罩盒(为正整数),则购买体温计多少盒能和口罩刚好配套 请用含的代数式表示.
(3)在药店累计购医用品超过1800元后,超出1800元的部分可享受8折优惠.该校按(2)中的配套方案购买,共支付元,求关于的函数关系式.若该校九年级有900名学生,需要购买口罩和水银体温计各多少盒 所需总费用为多少元
【剖析】
(1)设每盒体温计的价格是元,根据用1200元购买口罩盒数与用300元购买体温计的盒数相同,列出分式方程求解即可;(2)先用含的代数式表示出需要体温计的支数,再表示出体温计的盒数;
(3)根据药店累计购医用品达1800元,算出的临界值为4,当时和当时,分别得出关于的函数关系式,再合并起来,根据该校九年级有900名学生,求出口罩的盒数,从而得到体温计的盒数以及总费用.
【解答】
(1)设每盒体温计的价格是元,则每盒口罩的价格是元,由题意得,,解得,,经检验,是原方程的解,
元,
答:每盒口罩和每盒体温计的价格各是200元,50元;
(2)购买口罩盒,,共有口罩个,给每位学生发放2只口罩和1支体温计,
需要发放支体温计,,需要购买盒体温计;
(3)由题意得,令,解得,,
若末超过1800元,即当时,,
若超过1800元,即当时,,
,
若该校九年级有900名学生,即,解得,,
则,
答:需要购买口罩18盒,体温计90盒,所需总费用为6840元.
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1.已知甲、乙两种原料中均含有元素,其含量及每吨原料的购买单价如下表所示:
元素含量 单价(万元/吨)
甲原料 2.5
乙原料 6
已知用甲原料提取每千克元素要排放废气1吨,用乙原料提取每千克元素要排放废气0.5吨.若某厂要提取元素20千克,并要求废气排放不超过16吨,问:该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元
2.2020年体育中考,增设了考生进人考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进人考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进人考点的累计人数(人)与时间(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中表示)
时间(分钟) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数人) 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
(1)根据这15分钟内考生进人考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式;
(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人 全部考生都完成体温检测需要多少时间
(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点
3.某运动器械厂根据市场需求,计划生产两种型号的按摩椅,其部分信息如下:两种型号的按摩椅共生产40台,该厂所筹生产按摩椅的资金不少于90万元,但不超过91万元,且所筹资金全部用于这两种按摩椅,现已知两种按摩椅的生产成本和售价如表：
型号 成本(万元/台) 售价(万元/台)
2 2.4
2.5 3
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该公司对此两种按摩椅有几种生产方案 哪种生产方案获得最大利润
(2)据市场调查,每台型按摩椅的售价将会提高万元,每台型按摩椅售价不会改变,该公司应如何生产才可以获得最大利润
4.某发电厂共有6台发电机发电,每台的发电量为300万千瓦/月.该厂计划从今年7月份开始到年底,对6台发电机各进行一次改造升级.每月改造升级1台,这台发电机当月停机,并于次月再投人发电,每台发电机改造升级后,每月的发电量将比原来提高.已知每台发电机改造升级的费用为20万元,将今年7月份作为第1个月开始往后算,该厂第(是正整数)个月的发电量设为(万千瓦).
(1)求该厂第2个月的发电量及今年下半年的总发电量;
(2)求关于的函数关系式;
(3)如果每发1千瓦电可以盈利0.04元,那么从第1个月开始,至少要到第几个月,这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额(万元),将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额(万元)
5.有一块矩形地块米,米,为美观,拟种植不同的花卉,如图所示,将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形,其中梯形的高相等,均为米.现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉;在等腰梯形和中种植乙种花卉;在矩形中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米元/米元/米,设三种花卉的种植总成本为元.
(1)当时,求种植总成本;
(2)求种植总成本与的函数表达式,并写出自变量的取值范围;
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过,并求三种花卉的最低种植总成本.
第5题图
6.国家支持大学生创新办实业,提供小额无息贷款,学生王亮享受国家政策贷款36000元用于代理某品牌服装销售,已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量(件)与销售价(元/件)之间的关系可用图中的一条线段(实线)来表示.该店应支付员工.的工资为每人每天82元,每天还应支付其它费用为106元(不包含贷款).(件)
(1)求日销售量(件)与销售价(元/件)之间的函数关系式;
(2)若该店暂不考虑偿还贷款,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(销售额-成本支出),求该店员工的人数;
(3)若该店只有2名员工,则该店至少需要多少天能还清所有贷款,此时每件服装的价格应定为多少元
第6题图
7.某品牌恤专营批发店的恤衫在进价基础上加价销售,每月销售额9万元,该店每月固定支出1.7万元,进货时还需付进价的其它费用.
(1)为保证每月有1万元的利润,的最小值是多少 (月利润总销售额-总进价-固定支出-其它费用)
(2)经市场调研发现,售价每降低1%,销售量将提高6%,该店决定自下月起降价以促进销售,已知每件恤原销售价为60元,问:在取(1)中的最小值且所进恤当月能够全部销售完的情况下,销售价调整为多少时能获得最大利润,最大利润是多少
8.甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器,1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成,电热蚊香液作为易耗品可单独购买.1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器售价的.已知电热蚊香液的利润率为,整套驱蚊器的利润率为.张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器,并另外买了4瓶电热蚊香液,超市从中共获利10元.
(1)求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价;
(2)为了促进该款驱蚊器的销售,甲超市打8.5折销售,而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液.在这段促销期间,甲超市销售2000套驱蚊器,而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍.问乙超市至少销售了多少套驱蚊器
9.一天,小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后,在家休假的爸爸发现小明忘带数学书,于是爸爸立即匀速跑步去追小明,爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速的快步赶往学校,并在从家出发后23分钟到校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程(米)与小明从家出发到学校的步行时间(分钟)之间的函数关系如图所示,则小明家到学校的路程为______米.
第9题图
10.甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行,货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通知及掉头时间不计).最后两车同时到达甲地,已知两车距各自出发地的距离(千米)与轿车所用的时间(小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)货车的速度是_____千米/小时;轿车的速度是_____千米/小时;值为________.
(2)求轿车距其出发地的距离(千米)与所用时间(小时)之间的函数关系式并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.
第10题图
11.小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第回到家中.设小明出发第时的速度为,离家的距离为与之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第时离家的距离为____________;
(2)画出与之间的函数图象;
(3)求各时段与之间的函数表达式.
第11题图
12.某风景区内有免费的班车,从人口处出发,沿公路开1500米停靠塔林(上下车时间忽略不计),再开1200米前往草甸.第一班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从人口处发车.小聪周末到该风景区游玩,上午到达人口处,因还没到班车发车时间,于是从景区人口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林.离人口处的路程(米)与时间(分)的函数关系如图所示.
(1)求第一班车离人口处的路程(米)与时间(分)的函数表达式.
(2)求第一班车从人口处到达塔林所需的时间.
(3)小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车 如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟 (假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变）
第12题图
专题6方案类、行程类应用题
1．解设甲原料提取元素,乙原料提取,费用为万元.
由题意得,,解得,,
,
随的增大而减小,
当时,,
答:该厂购买这两种原料的费用最少是1.2万元.
2．(1)由表格中数据的变化趋势可知,
①当时,是的二次函数,当时,,
设二次函数的关系式为,把代入得,,解得,
二次函数关系式为,
②当时,,
与之间的函数关系式为;
(2)设第分钟时的排队人数为人,
由题意得,,
①当时,,
当时,的最大值为490,
②当时,随的增大而减小,当时,的最大值为450,
综上,排队人数最多时是490人,
由题意得,要全部考生都完成体温检测,,
答:排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟;
(3)设从一开始就应该增加个检测点,由题意得,,
解得,是整数,取2,
答:一开始就应该至少增加2个检测点.
3.(1)解设生产种型号的按摩椅台,种型号的按摩椅台,生产利润为万元.
由题意得,,解得,,
取整数得,该公司有3种生产方案;
,
随的增大而减小,
当时,,
答:该公司有3种生产方案,当生产种型号的按摩椅18台,种型号的按摩椅22台时获得最大利润18.2万元.
(2)由题意得,,
①当,即时,生产种器械20台,种器械20台,获得最大利润.
②当,即时,三种方案利润都为20万元.
③当,即时,生产种器械18台,种器械22台,获得最大利润.
4．(1)由题意得,第2个月的发电量为:(万千瓦),今年下半年的总发电量为:
(万千瓦)
答:该厂第2个月的发电量为1560万千瓦;今年下半年的总发电量为9900万千瓦.
(2)设,把代入得,
,解得,,
,且为整数
(3)解设到第个月时,,
当时,,不符合.当时,,, ,解得取17.
答:至少要到第17个月.
5．(1)当时,,
故
;
(2)由题意得:,
;
(3),
甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120,
,解得,,
而随的增大而减小,故当时,,
答:三种花卉的最低种植总成本为21600元.
6．(1)设,
把(40,60),代入得,,解得,.
(2)当时,.设该店员工有人,
由题意得,,解得,,
答:该店员工有3人.
(3)设每天的利润为元,
由题意得,,
设需要天能还清所有贷款.
由题意得,,解得,,
答:该店至少需要200天能还清所有贷款,此时每件服装的价格应定为55元.
7．解:(1)设销售量为万件,每件进价为元,
由题意得,,解得,的最小值为50.
(2)原销售量为件,进价为元,设每件恤降价元销售,则销售量为件,设该月产生的利润为元,
由题意得,
当,即售价为元时,元.
答:销售价调整为56元时,最大利润12400元.
8.(1)设1套驱蚊器的售价为元,则1瓶电热蚊香液的售价为元,
1套驱蚊器的成本价为元,1瓶电热蚊香液的成本价为元.
,解得,
由题意得,,解得,,
答:1套驱蚊器的售价为30元,1瓶电热蚊香液的售价为6元.
(2)设乙超市销售套驱蚊器.
由题意得,1套驱蚊器的成本价为24元,1瓶电热蚊香液的成本价为5元.
,解得,,
答:乙超市至少销售3600套驱蚊器.
9．由题意得,11分钟时,爸爸追上小明,16分钟时,爸爸回到家.则小明从家出发,11分钟走过的距离,爸爸只需分钟即可跑完.拿到书之后的5分钟,小明走过的距离与爸爸追上小明时离家的距离之和为1380米.
设小明原速度为(米/分钟),拿到书后的速度为(米/分钟),则家校距离为
.设爸爸跑步速度为(米/分钟),
由题意得,,
解得,小明家到学校的路程为(米).故答案为2080.
10．(1)轿车出发时,货车离出发地50千米,而货车早出发1小时,则货车的速度是50千米/小时;货车行驶全程时间为小时,则轿车行驶全程的时间为小时,则出发第3小时时出现故障,.轿车的速度是千米/小时;
故答案为:;
(2)由题意可知,,
设直线的解析式为,把代入得,,
当时,,
设直线的解析式为,
把代入得,,解得,
(3)设货车出发小时后两车相距90千米,由题意得,
或,解得,或5.
答:货车出发3小时或5小时后两车相距90千米.
11．(1).
答:小明出发第时离家的距离为;
(2),
即第时小明离家距离.
,
,
即第时,小明出发后开始返回.第时,返回家中.
图象如下图所示:
(3)与之间的函数关系式为
,
即
12．(1)由题意得,可设函数表达式为,
把代入得,，解得,,
第一班车离入口处的路程(米)与时间(分)的函数表达式为;
(2)把代入函数表达式得,,
即小聪7点40分到达入口处后的30分钟后,第一班车到达塔林,此时为8点10分,
而第一班车是8点出发,第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟;
(3)小聪8点05分到塔林,而第一班车8点10分才到达塔林.即第一班车比小聪晩到塔林5分钟.设小聪坐上了第班车,则第班车比小聪晩到塔林的时间要不少于小聪在塔林游玩的40分钟,,解得小聪坐上了第5班车,
当时,分钟,即小聪等车的时间为5分钟,
从塔林到草甸坐班车所需时间为(分),
从塔林到草甸步行所需时间为(分),
(分),
答:比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟.、
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