资源简介

8.6空间直线、平面的垂直单元小结 学案
1.学习内容分析
本节课内容是在学习了空间中的线线垂直、线面垂直、面面垂直之后，对空间中垂直关系进行综合分析研究.是继教材直线、平面的平行关系，直线、平面的垂直关系判定之后的迁移与拓展，是“类比”与“转化”思想的又一重要体现．这一节的学习对理顺“线面垂直单元”的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用．
通过对探究空间中三种垂直关系的相互推导，掌握垂直关系的判定定理和性质，发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力.学生已经学习了空间中垂直的位置关系，已经初步具有公理化的思想、空间想象能力和思维能力，也已经初步体验到了数学转化的基本思想. 本节还需在此基础上进一步体会空间与平面的转化思想，使其得到螺旋式的巩固和提高.
2.学习目标
（1）学生能够灵活处理空间立体几何中的线线垂直、线面垂直、面面垂直证明问题，逐步学会用准确的数学语言表达立体几何中垂直关系的论证的一般步骤，掌握解决空间中垂直问题的通性通法，培养学生独立思考与总结能力；
（2）在探究立体几何中垂直关系的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面问题转化为线线垂直”，进一步感悟数学中“以简驭繁”的转化思想.
3. 学习重、难点
重点：空间中垂直关系的判断与证明；
难点：空间中线面垂直关系的证明与应用．
4. 知识准备（前测）
已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
5. 概念的形成
思考：通过以上实例我们可以看到，空间中的平行关系和平行关系在某些情况下是可以实现相互推导论证的，那么同学们能不能总结一下还有哪些平行、垂直关系可以相互推导论证的情况呢？
例1．如图所示，为的直径，C为上一点，平面，于E，于F.求证：平面.
小结 证明线面垂直的关键在于线线垂直，证明线线垂直的一般方法包括以下：
（1）勾股定理；　（2）等腰三角形底边上的中线就是底边上的高；
（3）正方形中构造垂直；（4）菱形对角线（特别是有内角的菱形）；
（5）线面垂直的性质（往往用来证明异面垂直）；
6. 概念的理解
7. 概念的应用
例2. 已知平面，，求二面角的正弦值．
思考：求解二面角的常用方法包括：定义法，三垂线法
变式. 如图所示，在三棱锥中，平面，，且，，是的中点，求二面角的正切值.
小结 通过三垂线法求解二面角问题的关键在于寻找线面垂直关系
课堂小测
1.如图G7-2,在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2和G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,则在四面体SEFG中必有 (　　)
图G7-2
A.SG⊥△EFG所在平面
B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF所在平面
2.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,把该菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=,则二面角B-AC-D的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
8. 反思与小结
在本节课中首先需要引导学生梳理所学的垂直关系，这样学生在结合实际问题时能够准确对照，准确找到题目中隐含的垂直关系；其次对于解题步骤规范化，解题逻辑严密化的要求，需要教师逐步引导、准确示范规范的解题步骤.
9. 课后作业
A组
1.长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为（ ）
A． B． C． D．
2.，是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号）
3．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
证明：平面平面PBC；
4.如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD⊥底面ABCD.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)若EF⊥PC,求证:平面PAB⊥平面PCD.
B组
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=1,AD=2,E为BC的中点,M,N分别为DD1,A1D1的中点.
(1)求证:平面CMN∥平面A1DE;
(2)求直线CN与平面AA1C1C所成角的正弦值.
7.如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成线面角的正弦值.
8.如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的大小.

展开更多......

收起↑