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(共44张PPT)
平面与平面的垂直
学习目标
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.
3.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
平面和平面垂直是两个平面相交时的一种特殊位置关系。
我们先回忆一下直线与直线垂直的研究思路。
思考: 如何去刻画平面与平面之间的位置关系？
1. 直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直.
2. 直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
垂直于同一个平面的两条直线平行．
a⊥α
b⊥α
a//b
3. 直线与平面垂直的性质定理
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用角刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.
二面角
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线．
射线
射线
半平面
半平面
1. 二面角
(1)半平面：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面．
(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
l
A
B
β
α
．P
．Q
(3)二面角的记法：
记作：二面角α-AB-β；
二面角P-AB-Q；
二面角α-l-β或P-l-Q．
棱
面
(4)二面角的画法
Ⅰ.平卧式：
A
B


l
A
B
l


A
B
C
D
Ⅱ.直立式：
A
B


A
B


l
根据前面研究异面直线所成的角和
直线与平面所成的角的经验，
我们可以用一个平面角来度量二面
角的大小．
这样的平面角该如何建构呢？
虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样．
比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态．
受此启发，你认为该怎样刻画二面角大小呢？
在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的吗？为什么？
P
A
B
不能. 因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是“唯一性”．
是唯一确定的．
在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？
如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
O
A
B
(5)二面角的平面角
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
注意：(1)大小与点O的位置无关.
(2)二面角的平面角两边一定要垂直于棱.
二面角的平面角θ的取值范围是什么？
直二面角的定义：我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角．
锐二面角
直二面角
钝二面角
注意区分各种角的取值范围：
异面直线所成角：___________，线面角：____________.
(0°, 90°]
[0°, 90°]
α(β)
l
A(B)
O
α
β
l
A
B
O
θ=0o
二面角的平面角θ的取值范围为
θ =180o
0o≤θ≤180o．
作出下列各图中的二面角的平面角：
B
A
C
D
A’
A
B’
C’
C
D’
D
B
二面角B—B’C--A
A
D
B
C


l
二面角 -l-
AC⊥l
BD ⊥l
O
E
O
O
二面角A--BC--D
D
　如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值.
例1
(6)求二面角
解：如图，取CD的中点M，连接AM，BM，
则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面
角A－CD－B的平面角.
设点H是△BCD的中心，连接AH，
则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上.
求二面角的平面角的大小的步骤
(1)作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线.
(2)证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角.
(3)计算：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小.
(4)结论.将求出的角转化为面面角
反思感悟
一“作”二“证”三“计算”四“结论”
　（1）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
跟踪训练1
解：由已知PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC α，点A α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.
解　如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.
∵AO⊥α，BC α，∴AO⊥BC.
又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.
而AD 平面AOD，
∴AD⊥BC.
∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.
由AO⊥α，OB α，OC α，
知AO⊥OB，AO⊥OC.
跟踪训
∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
在Rt△AOD中，
∴∠ADO＝60°，
即所求二面角大小是60°.
小
结
二面角
二面角
一、二面角的定义：
二、二面角的表示方法：
三、二面角的平面角：
四、二面角的平面角的作法：
五、二面角的计算：
从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。这条直线叫做二面
角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。
二 面 角 －AB－
二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 － l－
1、二面角的平面角必须满足
三个条件
2、二面角的平面角的大小与
其顶点在棱上的位置无关
3、二面角的大小用它的平面
角的大小来度量
定义法
线面垂直法
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算所求的角
4、结论
一“作”二“证”三“计算”四“结论”
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.
观察
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角
分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数．
二面角C-AO-B
二面角A-BO-C
二面角A-CO-B
(2)画法：如图画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．
(1)定义：一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
平面α与β垂直，记作α⊥β．
定义就是证明面面垂直的一种方法。
2. 两平面垂直的定义
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.
先研究平面与平面垂直的判定．
　这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
观察 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．这种方法说明了什么道理？
类似结论也可以在长方体中发现．
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，
此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
这个定理说明了，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
(3). 平面与平面垂直的判定定理
线面垂直 面面垂直
图形语言：
符号语言：
β
a
A
α
线线垂直
线面垂直
面面垂直
例7 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'．
判定定理应用
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理，其实质归根结底还是找一条直线与平面内的两条相交直线垂直，一定要把定理用符号语言叙述完整.
反思感悟
例8 如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
【课本练习3】在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？
由AB⊥平面BCD可知：
平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
再证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．
教科书第158页的例8以及练习的第3题中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，即四个面都是直角三角形的三棱锥．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注．
四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”；
将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；
底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”．
堑堵
阳马
鳖臑
两个堑堵组成一个长方体
一个阳马和一个鳖臑组成一个堑堵
两个鳖臑组成一个阳马
　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.
跟踪训练2
证明：如图，作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，
又SH＝SH，SA＝SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH 平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，
又SH 平面ASC，
∴平面ABC⊥平面ASC.
图形的折叠问题
典例　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝ AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
证明　取BE的中点N，CD的中点M，
∴AB＝AE，即A′B＝A′E.
∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中，CD⊥MN，
又∵MN∩A′M＝M，
∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∴BE必与CD相交，
又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，
∴A′N⊥平面BCDE.
又∵A′N 平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
反思感悟
(1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.
(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法：
①定义法
②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来解决.
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．
α
β
c
A
b
a
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理。
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
3. 平面与平面垂直的性质定理
面面垂直 线面垂直
图形语言：
α⊥β
α∩β＝a
a⊥β
α
β
b
a
b α
b⊥a
这个定理说明了，可以由平面与平面垂直证明直线与平面垂直.
这个定理可以用于解决现实生活中的问题。例如装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可。
A
×
×
×
C
所以直线a与直线b重合，因此a ．
探究
　设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，则直线a与平面α具有什么位置关系？
设α∩β＝c．
过点P在平面α内作直线b⊥c．
由平面与平面垂直的性质定理可知，b⊥β．
因为过一点有且仅有一条直线与平面β垂直，
追问：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置．探究能给你什么样的启发？
追问：在立体几何中，我们常需过平面外一个点向平面作垂线．这个问题的难点在于确定垂足的位置．探究能给你什么样的启发？
欲确定平面α外一点P在平面α内的射影，可寻找或构造一个过点P且与α垂直的平面β．则根据平面与平面垂直的性质定理，只需过点P向平面α、β的交线作垂线即可．
例9.如图,已知平面 ,β, ⊥β,直线a满足a⊥β, a ,试判断直线a与平面 的位置关系.
b
a

β
解:
例10.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.
E
P
A
B
C
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC,
∴PA⊥BC.又PA∩AE=A,
∴BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC.
∵BC 平面PBC,
∴AE⊥BC
E
反思感悟
利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于它们的交线.
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
判定
性质
判定
定义
从本节的讨论可以看到：
　如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
跟踪训练3
证明：如图，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足，
∴四边形AECD为正方形，
∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又平面ACD⊥平面ABC，
平面ACD∩平面ABC＝AC，
BC 平面ABC，
∴BC⊥平面ACD.

β
l
课堂
小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的定义和判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个 平面垂直.

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