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2023年中考数学复习： 二次函数
班级：_________ 姓名：_________ 学号：__________
选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线（ ）
A． B．
C． D．
3．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（　　）
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
5．已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，抛物线与直线相交于点和，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
10．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，在横线上填上合理的答案）
11．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
12．抛物线的顶点坐标为______________________________．
13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 _____．
14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
15．如图，二次函数与一次函数的图像相交于点，则使成立的x的取值范围是___________
16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知二次函数y=x2+mx+m2 3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2 3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
18．如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴交点为，求．
19．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
20．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：
销售单价x/元 20 25 30 35
月销售量y/件 3300 2800 2300 1800
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
21．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
22．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
答案：
1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．B
11．（答案不唯一） 12．(1，8) 13． 14．
15．或 16．
17（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2 3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2 3，
即m2+2m 3=0，
解得：m1=1，m2= 3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x 2，
∵Δ=b2 4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x 2的图象与x轴有两个交点．
18．（1）解：∵抛物线的顶点为C(1，9)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+9，
∵抛物线与x轴交于点B(4，0)，
∴a(4-1)2+9=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+9=-x2+2x+8；
（2）解：过点C作CE⊥y轴于点E，
∵抛物线与y轴交点为D，
∴D(0，8)，
∵B(4，0)，C(1，9)，
∴CE=1，OE=9，OD=8，OB=4，
∴S△BCD= S梯形OBCE-S△ECD-S△OBD
=(1+4)×9-×1×1-×4×8
=6．
19．解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，
∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，
∴C（0，-2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y＝kx+b，
则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝，
当 x＝时，
y＝-2＝，
∴P（，）．
20．（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由题意得：
解得：
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+5300．
（2）设月销售利润为w元，
则w＝（x﹣17）（﹣100x+5300）
＝﹣100x2+7000x﹣90100
＝﹣100（x﹣35）2+32400
∵﹣100＜0
∴当x＝35时，w有最大值，最大值为32400．
答：当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元.
21．解：(1) ∵0＜24 3x≤10，
∴≤x<8
∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x(≤x<8)．
(2)当S＝45时，有－3x2＋24x＝45．
解得x1＝3，x2＝5．
∵≤x<8，
∴x＝5，
即AB的长为5m．
(3)能围成面积比45m2更大的花圃．
∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，
∴在≤x<8的范围内，当x＝时，S取得最大值，S最大值＝．
即最大面积为m2，
此时AB＝m，BC＝10m．
22．（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，由题意可知点P在直线BC上方，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
23．（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．

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