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数学课程
知识点8 实数的大小
第一章 集 合
2.1.1 实数的大小
教学情景创设
如今，随着生活水平不断提高，汽车已经进入到千家万户，左图是一款东风标致408，目前市场上这款车最低配置的报价不低于12.19万元，若设车的价钱为x元，则可表示为x≥12.9；这款车最高配置报价为不高于16.99万元，可以表示为x≤16.99.则这款车型的价钱在12.9≤ x≤16.99范围中.我们可以根据自己经济状况选择性的购买.
研究不等关系的问题非常有实际意义.
问题情境创设
点 P 从左向右移动，对应实数大小的变化？实数与数轴上的点的关系是怎样的？
问题2
点A对应的实数与点B 对应的实数各是多少？哪个大？
问题1
当数轴上的动点P从左向右移动时，它对应的实数就从小到大变化.这就是说，数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大．
点A位于点B的右边，则点A对应的实数3比点B对应的实数-2大，即3>-2.
设a，b为任意两个实数，在数轴上用点A表示a，用点B表示b，则点A,B在数轴上的位置有几种关系呢？
实数的大小
实数的大小
实数a，b的关系为：（1）a＞b；（2） a＝b ；（3）a＜b.
（1）
（2）
（3）
上面三个式子的另一种表达方法是：
实数的大小
a＞b a－b＞0；
a＝b a－b＝0；
a＜b a－b＜0.
含有不等号(＜，＞，≤，≥，≠)的式子，叫做不等式．
从上述式子可以看出要比较a，b两个实数的大小，只需将两数作差与零进行比较即可.我们将这种比较方法叫做作差比较法.
1 将下列语句用不等号表示：
①大于 ； ②小于 ；
③至少 ； ④至多 ；
⑤不小于 ； ⑥不等于 ；
2 把下列语句用不等式表示：
(1) x 是负数 ；
(2) x2是非负数 ；
(3)-x不大于3 ；
(4) b为非正数 ．
课堂练习
课 堂 练 习
＞
＜
≥
≤
≥
≠
X < 0
x2≥0
-x≤3
b≤0
(1)因为 (－3)－(－4)＝－3＋4 ＝1＞0，所以 －3＞－4.
案例讲解
(1) －3和－4
(2) 和
(3) 和 　　
(4) 12.3和
例1 比较下列各组中
两个实数的大小：
(2)因为 ,
所以 .
解：
(3)因为
所以 ．
(4)因为
所以 ．
因为 (x＋1)(x＋2)－(x－3)(x＋6)
案例讲解
例2 对任意实数x，比较(x＋1)(x＋2)与(x－3)(x＋6)的大小．
解：
＝(x2＋3x＋2)－(x2＋3x－18)
＝20＞0．
所以 (x＋1)(x＋2)＞(x－3)(x＋6)．
(1)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小；
课堂练习
课 堂 练 习
解：因为 (x＋5)(x＋7)－(x＋6)2
所以 (x＋5)(x＋7)<(x＋6)2．
＝(x2＋12x＋35)－(x2＋12x+36)
＝－1<0．
解：因为 (a＋3)(a－5) －(a＋2)(a－4)
所以 (a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)
＝－7<0．
(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
因为 (x2＋1)2－(x4＋x2＋1)
案例讲解
例3 比较(x2＋1)2 与 x4＋x2＋1 的大小．
解：
＝(x4＋2x2＋1)－x4－x2－1
＝x2≥0，
所以 (x2＋1)2≥ x4＋x2＋1，
当且仅当x＝0时，等号成立．
(1)比较 (x＋4)2与(x＋2)(x＋6)的大小；
课堂练习
课 堂 练 习
解：因为 (x＋4)2 －(x＋2)(x＋6)
所以 ( x＋4)2 >(x＋2)(x＋6)．
＝(x2＋8x＋16)－(x2＋8x+12)
＝4>0．
＝ x2 ≥ 0．
(2)比较 (x＋1)2与2x＋1的大小；
解：因为 (x＋1)2 －(2x＋1)
＝(x2＋2x＋1)－2x－1
所以 ( x＋1)2 ≥ 2x＋1．
归纳小结 整体构建
作差
变形
定号
作差比较法的步骤：
结论
作业布置
必做题：
选做题：
《教材》P34练习
B组1、2（4）（5）（6）习题.
《教材》P33练习A组3；
《同步练习》P14，2.1.1习题.
再 见

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