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专题13 等腰三角形与直角三角形
【考情预测】
特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10 分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
1、等腰三角形
1）等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2）等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、等边三角形
1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
3、直角三角形与勾股定理
1）直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2）勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
【重难点突破】
考点1. 等腰三角形的性质
【解题技巧】1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，
则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
6. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
【典例精析】
例1．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
例2．（2022·海南·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．
【详解】由作法得BD平分∠ABC，∴
设∴
∵∴∵∴
∵∴，解得∴故选：A
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．
【变式训练】
变式1．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，于点，若，则______．
【答案】3
【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点，即可求出的长．
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
变式2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．
【详解】解：∵是的角平分线，∴，
∴，故选项A、D结论正确，不符合题意；
又是的角平分线，，∴，故选项B结论正确，不符合题意；
由已知条件推不出，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．
【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．
变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解
题的关键．
考点2. 等腰三角形的判定
【解题技巧】
1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
【典例精析】
例1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
例2．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．
（1）求证：．（2）若，求的面积
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意证明即可；
（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）因为平分，所以．所以，
又因为，所以，所以．
（2）由题意，得，，所以，
所以的面积为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
【答案】45°或36°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：①如图1，
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，∴x+x+x+x=180，解得x=45，∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴原等腰三角形的底角为36°；故答案为45°或36°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
变式2．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；（2）由题意易得，则有，然后由（1）可求解．
【详解】（1）证明：∵BD平分，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴，
由（1）可得．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键．
变式3．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相等，则D是假命题．故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
考点3. 等边三角形的性质
【解题技巧】
1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
【典例精析】
例1．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．
【详解】解：如图，
，，
∴=
== ==，∴，
设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，
则，，
∴，∴，∵△ABC是等边三角形，
∴， ，
∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的直线上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，
∴，∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE
∵，∴，解得OE=，∴OC=，
∴OP=CP-OC=．故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．
例2．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【答案】 80 ##
【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB =∠ECA，
在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS），∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF与AC相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，
∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，
在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，
过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，
∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式训练】
变式1．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】是等边三角形，是边上的中点
，
扇形故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键．
变式2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解；(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
(1)如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，又∵MQCN，∴∠QMP=∠CNP，
在， ∴， 则MP=NP；
(2)∵为等边三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，
又由（1）得，，则PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
变式3．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
考点4.等边三角形的判定
【解题技巧】
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
【典例精析】
例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加，理由如下：
为等腰三角形，，
为等边三角形，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理．
例2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）如图，AF平分，
（2）∵，且，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，
又∵AF平分，，∴，
又∵，∴，，
∴，∴
又∵∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
【变式训练】
变式1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．
【答案】
【分析】先证明 是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从而求得的面积．
【详解】解：如下图所示，设与交于点O，连接和，
∵点D为的中点，，
∴,，是的角平分线，是，
∴，∴
∵，∴ 是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴∵
∵，∴∴，,
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本题关键．
变式2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可．
【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，故A选项正确
∵等边三角形三线合一，由作图知，CD是线段AB的垂直平分线，∴，故B选项正确，
∴，，故C选项正确，D选项错误．故选：ABC．
【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式3.（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
【答案】C
【分析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
【详解】∵都是等边三角形，∴，，，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，
又∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
∴是等边三角形．故答案选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键．
考点5. 直角三角形
【解题技巧】在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
【典例精析】
例1．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解．
【详解】解：在中，，，，，
设到的距离为，，，故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2022·青海·中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
【详解】解：在中，，，，
．又为中线，．
为中点，即点是的中点，是的中位线，则．故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
变式2．（2022·湖南永州·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，∴∠A=30°，
∵点D为边AC的中点，BD=2∴AC=2BD=4，∴BC=，故选：C．
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形
的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
变式3．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
(1)证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；
(2)解：∵AB=4，∴CE=CM=AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE cos30°=．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
考点6. 勾股定理
【解题技巧】
1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
【典例精析】
例1．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，
，；
如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，过点C作CD⊥AB1，，
，，，，
，，，，
综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，故选：C．
【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
例2．（2022·浙江温州·校考二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABCD，CEFG，FHMN，GNPQ，DGST如图所示排列，其中点A、B、E、H、M共线，可得结论：正方形CEFG与的面积相等．若正方形CEFG与的面积之和为120，则正方形DGST与正方形GNPQ面积之和为（ ）
A．270 B．300 C．320 D．350
【答案】B
【分析】如图，过作交DC的延长线与K，交NF的延长线与J， 证明 可得 同理： 可得 证明再结合勾股定理可得： ，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作交DC的延长线与K，交NF的延长线与J，
∵正方形ABCD，HMNF，
同理：
正方形CEFG与的面积相等，正方形CEFG与的面积之和为120，
正方形CEFG为60，由勾股定理可得：
故选B
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，故答案为：m2-1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
变式2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．
【答案】或
【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．
变式3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于_____
【答案】
【详解】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，
∴BC=，AD=BD=2.5，∴BC·AH=AC·AB，即2.5AH=6，∴AH=2.4，
由折叠的性质可知，AE=AB，DE=DB=DC，∴AD是BE的垂直平分线，△BCE是直角三角形，
∴S△ADB=AD·OB=BD·AH，∴OB=AH=2.4，∴BE=4.8，∴CE=．故答案为：．
【点睛】本题的解题要点有：（1）读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH⊥BC于点H，连接BE交AD于点O，利用面积法求出AH和OB的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角．
考点7. 弦图问题
【典例精析】
例1．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
【答案】3
【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，在Rt AED中，，即，
解得：x=4（负值已经舍去），∴x-1=3，故答案为：3．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
例2．（2022·广东江门·校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是_____________．
【答案】##
【分析】由题意可知，，，从而由勾股定理可求出．再根据等腰直角三角形的性质可求出，进而可求出，，最后根据矩形的面积公式即可求出中间矩形的面积．
【详解】如图，由题意可知，，,
∴，∴．
∵，即，∴，∴
∴，，
∴中间的矩形的面积是．故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
选B．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
变式2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
【答案】D
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得，进而根据面积差以及三角形面积公式求得，最后根据完全平方公式即可求得．
【详解】菱形的对角线互相垂直平分，个直角三角形全等；
，，，
四边形是正方形，又正方形的面积为13，正方形的边长为，
根据勾股定理，则，中间空白处的四边形的面积为1，
个直角三角形的面积为，，，
，．故选D．
【点睛】本题考查正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得是解题的关键．
变式3.15．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当___时，取得最大值．
【答案】=
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则由“张爽弦图”可知， 即要使的值最大，则需最小
又当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
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专题13 等腰三角形与直角三角形
【考情预测】
特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10 分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
1、等腰三角形
1）等腰三角形的性质
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．
2）等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、等边三角形
1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
3、直角三角形与勾股定理
1）直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2）勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
【重难点突破】
考点1. 等腰三角形的性质
【解题技巧】1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．
3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，
则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
6. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
【典例精析】
例1．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
例2．（2022·海南·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，于点，若，则______．
变式2．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
考点2. 等腰三角形的判定
【解题技巧】
1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．
【典例精析】
例1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2．（2021·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：．（2）若，求的面积
【变式训练】
变式1．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
变式2．（2021·山东淄博市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．
变式3．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
考点3. 等边三角形的性质
【解题技巧】
1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
【典例精析】
例1．（2022·安徽·中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
【变式训练】
变式1．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
变式3．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
考点4.等边三角形的判定
【解题技巧】
在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
【典例精析】
例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．
例2．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【变式训练】
变式1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是____________．
变式2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形 B． C． D．
变式3.（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
考点5. 直角三角形
【解题技巧】在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
【典例精析】
例1．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
例2．（2022·青海·中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．6 D．8
【变式训练】
变式1．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖南永州·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　）
A． B． C．2 D．4
变式3．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．
考点6. 勾股定理
【解题技巧】
1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
【典例精析】
例1．（2022·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知△ABC中，∠A＝30°， AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
例2．（2022·浙江温州·校考二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABCD，CEFG，FHMN，GNPQ，DGST如图所示排列，其中点A、B、E、H、M共线，可得结论：正方形CEFG与的面积相等．若正方形CEFG与的面积之和为120，则正方形DGST与正方形GNPQ面积之和为（ ）
A．270 B．300 C．320 D．350
【变式训练】
变式1．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是_______（结果用含m的式子表示）．
变式2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则______________．
变式3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE，则线段 CE 的长等于_____
考点7. 弦图问题
【典例精析】
例1．（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
例2．（2022·广东江门·校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是_____________．
【变式训练】
变式1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
变式2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
变式3.15．（2020·湖南娄底市·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当___时，取得最大值．
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专题13 等腰三角形与直角三角形
【考场演练1】热点必刷
1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】C
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．
【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，
如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，
由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C．
【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．
2．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角,则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
3．（2022·云南文山·统考三模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长．
【详解】是的中位线，，
，，，，
是的平分线，，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
4．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，
∴AD=4，AF=2，，∴；故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，中，，，点在边上，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据等腰三角形的性质可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
又，，．
在直角中，，，，
，．故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键．
6．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，∵，，∴，故选B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键．
7．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，∴，∵AD平分，∴∠BAD=45°，
∵，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，∴，
∵AB=AE，∴，∴；故选D．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．
8．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40 ，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40 ，∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴DO=DE，∴∠DOE=∠DEO=40 ，
∵∠OCD为△DCE的外角，∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，∴70 =40 +∠CDE，∴∠CDE=30 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
9．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】解：因为AD垂直BC，则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为所以AD=，因为sin∠C=，所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，所以EF==1，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．
10．（2021·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即D选项正确；
【详解】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，∴，
∵，∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，∵为钝角，∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；由旋转可知，
∵，∴为等边三角形，∴．
∴，∴，故D选项正确，符合题意；故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
11．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在等腰直角中，，、分别为、上的点，
，为上的点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则MP＝NP＝CP，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．
【详解】解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，
∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∴CH＝CG＝MN，
∵PC＝MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝MN，①P是MN中点时，∴MP＝NP＝CP，∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMN＝∠PCM＝90° 50°＝40°，
∴∠CPM＝180° 40° 40°＝100°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，
∵∠CPB＝117°，∴∠BPM＝117° 100°＝17°，
∵∠PMC＝∠PBM＋∠BPM，∴∠PBM＝40° 17°＝23°，∴∠ABP＝45° 23°＝22°．
②CP1＝MN，∴CP＝CP1，∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，
∵∠BP1C＝117°，∴∠BP1M＝117° 80°＝37°，∴∠MBP1＝40° 37°＝3°，
而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建矩形CNGM证明P是MN的中点是解本题的关键．
12．（2022·四川成都·校考模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为______．
【答案】
【分析】把沿翻折得，作于点．根据轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，分别求得和的长，根据勾股定理求得的长即可．
【详解】解：平分，把沿翻折得，如图，
，，作于点，
，在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得．故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是巧妙构造辅助线来求解．
13．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
【答案】7
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，所以，所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，所以，在中，，
所以，因此的长为7．故答案为：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．
14．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
【答案】10°或100°
【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，点即为所求；
在中，，，，
由作图可知：，，
；由作图可知：，，
，，．
综上所述：的度数是或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．
15．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
【答案】40°或100°
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
16．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．
【答案】30°##30度
【分析】先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【详解】，，
，，，故答案为：30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
17．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．
【答案】
【分析】如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接
∵点B关于直线CD的对称点为，∴，．
∵，∴．∴，．
∵，∴．∵，∴．∴．
∵．
∴．∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
【答案】或9或3
【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴，∴，
当点P在线段AB上时，如图，
∵，∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴；
当点P在AB的延长线上时，∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，∴，
∵，∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC为等边三角形，∴PA=AC=3．
综上所述，的长为或9或3．故答案为：或9或3
【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．
19．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】先根据，分别为、的中点求得AB＝4，再根据求得AC＝8，BC＝，进而可求得BE＝，最后证明四边形ABFD为平行四边形即可求得四边形ABFD的面积．
【详解】解：∵，分别为、的中点，，∴AB＝2DE＝4，，
∵在中，，∴AC＝2AB＝8，∴BC＝＝＝，
又∵点E为BC中点，∴BE＝BC＝，∵，，∴四边形ABFD为平行四边形，
∴四边形的面积＝AB×BE＝4×＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线、含30°的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
【答案】
【分析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°，
，，∴∠BCE=90°-30°=60°，
又，，∴∠ECD=45°=∠D，∴，
，，
，即．故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．
21．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 __．
【答案】2或14#14或2
【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
【详解】解：过点作边的高，
中，，，，
在中，，，
①是钝角三角形时，，；
②是锐角三角形时，，，故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
22．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
【答案】或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
∵，，∴∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴
∵∴∴
②当点P在CB的延长线上时，如图
由①得，∵AC=PC∴
∴故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
23．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的的性质定理证得DE=DF，再根据HL定理证明△AED≌△AFD，则有AE=AF，利用等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；（2）只需证得四边形AEDF是矩形即可，
【详解】解：（1）∵是的角平分线，，，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，又∵AD=AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又是的角平分线，∴AD⊥EF；
（2）满足∠BAC=90°时，四边形是正方形，
理由：∵∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形，
又∵AE=AF，∴四边形AEDF是正方形．
【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质、矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关知识间的联系和运用是解答的关键．
24．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；（2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
【详解】（1）∵，，∴．
∵平分，∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，又，∴，∴，
∵∴，∴，
∴，∴为等边三角形， ∴，∴，
∵，∴，在中，．
【点睛】此题考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用．
25．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】解：（1）平分，．
，，，．
（2），，．
．．
平分，，即．
【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【答案】A
【分析】连接DE，取AD的中点G，连接EG，先由等腰三角形“三线合一“性质，证得AD⊥BC，BD=CD，再由E是AB的中点，G是AD的中点，求出S△EGD=3，然后证△EGP≌△FDP（AAS），得GP=CP=1.5，从而得DG=3，即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长．
【详解】解：如图，连接DE，取AD的中点G，连接EG，
∵AB=AC，AD平分与BC相交于点D，
∴AD⊥BC，BD=CD，∴S△ABD==12，
∵E是AB的中点，∴S△AED==6，
∵G是AD的中点，∴S△EGD==3，
∵E是AB的中点，G是AD的中点，∴EGBC，EG=BD=CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，∵F是CD的中点，∴DF=CD，∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴GP=PD=1.5，∴GD=3，
∵S△EGD==3，即，∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得PE==2.5，故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，，，
∠EBC＝45°，，为等腰直角三角形，
，，则△EBC的面积是．故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】解：∵∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC∴CN＝，∵AN＝，
∵折叠∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，∴∠NMC＝∠NCM＝45°，∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN MN＝-=．故选B．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，
∴∠NON′=60°，，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
5．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
【答案】B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝6，∴BC＝3，∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，∴∠BB'H＝30°，∴BH＝3，
由勾股定理可得：，∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，∴AM＝2，∴MH＝AH－AM＝1，在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
6．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵，∴=5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
7．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1） D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
【答案】C
【分析】先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标．
【详解】解：直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝1；故A、B两点坐标分别为A（1，0），B（0，1），
∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形，
①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2，1）；②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1，2）；
③当∠APB＝90°时，P点坐标为（1，1）；故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，数形结合思想和分类讨论思想的运用是解题的关键，注意原点不属于任何象限．
8．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出，的长，属于中考常考题型．
9．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】过作于，则，根据矩形的性质得，，根据旋转的性质得到，，，，推出△为等腰直角三角形，得到，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，则，
，，，
四边形是矩形，，，
将绕点顺时针方向旋转后得△，
，，，，
△△，，△为等腰三角形，
△为等腰直角三角形，，设，则，，
，，（负值舍去），，
，，，故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，
，，，，
过B作于H，，，
，，当时，PQ的值最小，
，，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
【答案】5
【分析】①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点
5
②如图：.
将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点,即四点共线时候，
=故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
12．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作关于直线OC对称的，交AB于点D，当是等腰三角形时，的度数为_____________．
【答案】或
【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，，，，从而利用分类讨论思想解题．
【详解】解：，C为AB的中点，，，，
又由折叠性质可得，，
设，则，，，，
①当时，，，解得，；
②当时，，，方程无解，此情况不存在；
③当时，，，解得：，；
综上，的度数为或，故答案为：或．
【点睛】此题考查折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，三角形外角和等腰三角形的性质，难度一般．
13．（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
【答案】
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵，是角平分线，∴，
在中，，∴，
由勾股定理得：，
∵的垂直平分线交于点F，∴，
∴的垂直，故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ______ ．
【答案】或##或
【分析】如图所示，分别以为x轴，y轴建立坐标系，取的中点E、F，连接，则，，根据可知点D在直线
上，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此利用两点距离公式求出点D的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别以为x轴，y轴建立坐标系，取的中点E、F，连接，
∵ ，，∴，∴，
∵，∴点D在线段的垂直平分线上，∴点D在直线上，
∵，∴，设，∴，解得或，
当时，则，∴；
当时，则，∴；
综上所述，的长为或，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线，正确建立坐标系灵活运用所学知识是解题的关键．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为______．
【答案】
【分析】先由等腰三角形性质求出CD以及，再利用作图方式确定MN垂直平分AC，得到CE=AE，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解:∵ 中，， ，平分
∴，且，（等腰三角形“三线合一”）∴，
由分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，可知，MN垂直平分AC，如图，连接CE，∴，∴，
在中，，∴，解得：；
∴的长为；故答案为：．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、尺规作图线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等内容，要求学生理解并掌握相关概念，能熟练运用勾股定理求直角三角形的线段长或建立两线段之间的关系等．
16．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．
【答案】6
【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解．
【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，∴，
∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，∴，∴
∵，∴，
∴△AFH的周长，故答案为：6．
【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
17．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为__________．
【答案】
【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解．
【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示，，
又，，，，
当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示，
在等腰直角三角形中，，，
，，，，
，，，设，
，，，
，，
，，即取得最小值为，故答案为：．
图1 图2
【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键．
18．（2021·北京中考真题）《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向．
【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）证明：在中，，是的中点，
（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；
故答案为，等腰三角形的三线合一．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．
19．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)如图1，求直线AB的解析式；(2)如图2，点P、Q在直线AB上，点P在第二象限，横坐标为t，点Q在第一象限，横坐标为d，，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，点C、点D在x轴的正半轴上（C在D的左侧），连接AC、AD，，，点E是AC中点，连接DE、QE、QD，若，求t值．
【答案】(1)(2)(3)-3
【分析】（1）首先确定点A坐标为（0，8），然后利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）由，，，可得，解得；（3）在OB上取OF，使得，连接AF，延长DE交AB于点G，由，可得，设，则，， ，由勾股定理可知，结合，解得，即可确定，，再根据，点E是AC中点，可知点，，然后利用待定系数法确定直线DE解析式为，将直线AB和直线DE的解析式联立，解得点，可得 ，根据，可解得 ，由（2）可知，，故．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴点A坐标为（0，8），
设直线AB的解析式为，将点，点代入，
可得，解得，∴直线AB的解析式为；
（2）∵点P、Q在直线AB上，点P横坐标为t，点Q横坐标为d，
∴，，∵，，，
∴，∴，
∵点P在第二象限，点Q在第一象限，∴，∴，即；
（3）在OB上取OF，使得，连接AF，延长DE交AB于点G，如下图，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
设，则，，
∴，∴，
∵，∴，解得，∴，，∴，，
∵，点E是AC中点，∴点，∴，
设直线DE解析式为，将点、代入，
可得，解得，∴直线DE解析式为，∴，
∵直线AB的解析式为，，∴，
将直线AB和直线DE的解析式联立，可得，解得，
∴点，由（2）可知，点，∴，
∵，∴，即，解得 ，
由（2）可知，，∴，答：t的值为-3．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
20．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，点、分别为上的两动点点在点的左侧，将线段绕点旋转，将线段绕点旋转，点、点的对应点恰好重合，记作点．
(1)若，判断的形状并证明．(2)如图，当，继续将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，求证：．(3)在（2）的条件下，若，，则______．
【答案】(1)是直角三角形，证明见解析(2)见解析(3)
【分析】（1），则可得，进而可得的值，即可判断出的形状；
（2），则和是等腰直角三角形，，则，再证，可得，即可证明；
（3）由（2）的条件，可求出，进而可得，根据直角三角形特殊角的关系可求出的值，进而可求出的值．
【详解】（1）解：是直角三角形，证明如下：
根据题意得：，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴是直角三角形；
（2）证明：根据题意得：，
∴和是等腰直角三角形，∴，∴，
∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：根据题意得：，∴，
∵，∴，∵是等腰直角三角形，，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了三角形的变换、等腰直角三角形的性质等知识点，证明三角形的相似得等角、根据特殊直角三角形求值是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
21．（2022·江苏镇江·统考一模）【探究发现】
在中，，，M是边上一点，将沿折叠得到．如图1，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q，①证明：；②探究与的数量关系，并写出探究过程；
【类比学习】如图2，在中，，，M是边AC上一点，将沿折叠得到，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q， （用含n的式子表示）；
【拓展应用】
在前面的发现和探究的经验下，当时，M是的中点时，若，求的长．
【答案】【探究发现】①见解析；②，证明见解析；【类比学习】；【拓展应用】．
【探究发现】①设，利用折叠的性质和等腰三角形的性质求解即可；②通过证明即可求解；
【类比学习】通过证明，求解即可；
【拓展应用】延长交于点，利用垂直平分线以及相似三角形的性质得到，设，求得、，即可求解．
【详解】解：【探究发现】①设，
由折叠的性质可得：，
∴，，
∵，，∴，
∴，，∴；
②在和中∴∴；
解：【类比学习】设，
由折叠的性质可得：，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
又∵∴，∴；
在中，；∴；
解：【拓展应用】延长交于点，则垂直平分，
又∵为的中点∴，，
∴，，
∵，∴，
，
设，则 ∵
∴，即，
∵∴，即
∴∴，，即
由勾股定理可得：，
，解得，负值舍去，即．
【点睛】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，能够灵活利用相关性质进行求解．
22．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，已知．
(1)尺规作图：在AB边作点D，使得CD的长度最短；（请保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的结论下，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）当CD⊥AB时，CD的长度最短，作图见解析；
（2）由三角形面积公式可知，，即，可得有，由，可求证．
(1)解：作图如下：
(2)证明：∵当CD的长度最短，CD⊥AB
又∵∠ACB=90°，∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了垂线的性质--垂线段最短，勾股定理，三角形面积，解题的关键是灵活运用三角形面积和勾股定理进行变换运算．
23．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．
（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；
（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）的长为或．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．（2）如图2中，连接．证明，可得结论．（3）分两种情形：如图中，设交于．图中，设交于，当时，利用三角形的中位线定理，可得，求出，可得结论．
【详解】（1）解：如图1中，
，，，，
，，，，，
（2）证明：如图2中，连接．
，，，，，
，，平分．
（3）解：如图中，设交于．
，，是等腰直角三角形，
，，垂直平分线段，，
，，，
，是等边三角形，
，，，，
，，
，，，．
如图中，设交于，当时，同法可证．
，，，，
，，，，
，，综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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专题13 等腰三角形与直角三角形
【考场演练1】热点必刷
1．（2021·山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想
2．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
3．（2022·云南文山·统考三模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
4．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A． B．3 C．2 D．
5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考二模）如图，中，，，点在边上，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西铜川·统考一模）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2021·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在等腰直角中，，、分别为、上的点，，为上的点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川成都·校考模拟预测）如图，在四边形中，平分，，，，则的长为______．
13．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
14．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
15．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
16．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．
17．（2021·广东广州·中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．
18．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
19．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为______．
20．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
21．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 ．
22．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
23．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交千点H．
（1）求证：；（2）满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．
24．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．
25．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．（2）若，，求的度数．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
6．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1） D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
8．（2021·广西贵港市·中考真题）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△，当恰好经过点D时，△CD为等腰三角形，若B＝2，则A＝（　　）
A． B．2 C． D．
10．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．
如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．
若，P为的费马点，则_________；
若，P为的费马点，则_________．
12．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作关于直线OC对称的，交AB于点D，当是等腰三角形时，的度数为_____________．
13．（2022·湖南永州·统考二模）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．
14．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ______ ．
15．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，中，，，平分交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，则的长为______．
16．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．
17．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为__________．
18．（2021·北京中考真题）《淮南子 天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在中，______________，是的中点，
（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示的方向为南北方向．
19．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，．(1)如图1，求直线AB的解析式；(2)如图2，点P、Q在直线AB上，点P在第二象限，横坐标为t，点Q在第一象限，横坐标为d，，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，点C、点D在x轴的正半轴上（C在D的左侧），连接AC、AD，，，点E是AC中点，连接DE、QE、QD，若，求t值．
20．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，点、分别为上的两动点点在点的左侧，将线段绕点旋转，将线段绕点旋转，点、点的对应点恰好重合，记作点．
(1)若，判断的形状并证明．(2)如图，当，继续将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，求证：．(3)在（2）的条件下，若，，则______．
21．（2022·江苏镇江·统考一模）【探究发现】
在中，，，M是边上一点，将沿折叠得到．如图1，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q，①证明：；②探究与的数量关系，并写出探究过程；
【类比学习】如图2，在中，，，M是边AC上一点，将沿折叠得到，若与线段相交，连接，在上取一点P，使，交于点Q， （用含n的式子表示）；
【拓展应用】在前面的发现和探究的经验下，当时，M是的中点时，若，求的长．
22．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，已知．
(1)尺规作图：在AB边作点D，使得CD的长度最短；（请保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的结论下，若，求证：．
23．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．
（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）；（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；
（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．
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