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专题17倍角、半角、等角与“12345”
专题价值
近两年的各地中考二次函数压轴题中,涉及角度的问题越来越多,比如,以某个角与某个角相等,或某个角是某个角度数的2倍(一半)为条件,设计一些求点坐标的问题.通常这些问题与三角函数有关,而“12345”则是一个关于三角函数结论的简洁记忆方法,在一些涉及45度的计算中比较方便,因此,掌握这个专题,对于解决一些较难的函数压轴题,和一些涉及线段角度计算的填选压轴题,很有帮助.
常用解题思路
1."12345"
“12345”模型指的是,正切值分别为和的两个角的和为,即若,则.
(1)如图1,求 .
图1 图2
,如图2,连接,则.
(2)如图3,求 .
图3图4
,如图4,过作延长线于,则,.
2.半角与倍角
如图5,已知Rt中,,
求.(2)求.
图5
利用外角构造“半角”:
如图6,延长到点,使,连接,则,
在中,Rt中,,,Rt中,.
图6
利用外角构造“倍角”:
在内部,构造一个以为底角的等腰三角形,则顶角的补角作为外角.
如图7,作的中垂线交于,交于,连接在中,,
设中,,
Rt中,.
图7
结论：
由12345模型和倍半角结论,我们还可以得出一些三角函数的结论,注意,仅限于填空选择题!
若,则;若,则;
若,则.
曾经这么考!
例1如图,正方形中,,点为上一点,将沿着折叠,点落在点处,连接,若,求的长.
【剖析】
由翻折知,,则为等腰三角形,马上想到,若过点作,则,且易证,即,即
的正切值为，而，由“12345”模型，可知的正切值为，则的正切值也为长度可求.
【解答】
如图,过点作,则,易证,,则.
例2如图,已知二次函数的图象经过点,,与轴交于点.抛物线上是否存在点,使,若存在,请求出点的坐标.若不存在,请说明理由.
【剖析】
首先,根据待定系数法,可以求出二次函数的解析式,求出的度数,则的度数也可知,求出所在直线的解析式,与二次函数图象的交点即为点.
【解答】
把代入得,,则.易得直线的解析式为,
(1)直线与相交,则,把代入得,.则,
联立得,(舍去).即.
(2)直线,则,把代入得,.则,
联立得,(舍去).即.
综上,存在点,坐标为.
例3如图,抛物线交轴于两点,交轴于点.直线经过点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴与直线相交于点,连接,判定的形状,并说明理由;
(3)在直线上是否存在点,使与直线的夹角等于的2倍 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【剖析】
(1)先根据直线经过点,即可确定的坐标,然后用待定系数法求抛物线解析式;
(2)先求出的坐标,结合抛物线的对称性,说明为等腰三角形;再结合,得到,进一步说明,则,即可判定的形状;
(3)本题要考虑两种情况,若为等腰三角形,则可将作为其外角,是的2倍,可作的垂直平分线交于,利用勾股定理,建立方程,求出的距离,确定的坐标.若,则点关于点对称,在直线上作点关于的对称点,利用中点坐标公式即可确定点的坐标.
【解答】
(1)直线经过点当时,,即;当时,,即,.把代入得,拋物线的解析式为.
(2)为直角三角形,理由如下:
令,抛物线的对称轴是直线为等腰三角形,为直角三角形;
(3)如图,作的垂直平分线交于,
为等腰直角三角形,,
,设,Rt中,,过作,则,即.
在直线上作点关于的对称点,设,则为的中点,,的坐标为.
综上,存在这样的点,坐标分别为.
例4二次函数的图象与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,顶点为点,连接.
(1)若,求二次函数的表达式;
(2)若把沿着直线翻折,点恰好在直线上,求二次函数的表达式.
【剖析】
(1)根据二次函数表达式,可先用含的代数式表示出点、点、点的坐标,过点作,过点作,可求得的正切值,且都相等,则,可知,问题迎刃而解.
(2)点恰好在直线上,说明平分,想到重要的辅助线作法,见角平分线作垂直,过点作的垂线段,分别计算出和的面积,从而确定与的比值,建立关于的方程,问题得解.
【解答】
(1)令,.
如图1,过,点作于,过点作于.
,
,
又,或(舍去),.
(2)如图2,连接,过点作,由翻折知,平分,
,
,
,即,
或(舍去)或(舍去)，
图1 图2
还会怎么考？
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算时,可以按下图进行构造.在中,,延长,使,连接,得,所以.类比这种方法,计算的值为 .
第1题图
2.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标分别为,点在第一象限内,连接.已知,则________.
3.如图,正方形中,是中点,连接,将沿折叠,使得点落在正方形内的点处,连接并延长,交的延长线于点,则________.
4.如图,正方形中,是对角线上的一个动点(不与重合),连接,将绕点顺时针旋转到,连接交于点延长线与边交于点.若,求的值.
5.如图,中,是边上一点,,则的长为_______.
6.如图,中,点在边上,垂直于的延长线于点,,则边的长为_______.
7.如图,已知一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,点在直线上,且,过点作轴于点,直线是抛物线的对称轴.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若点为二次函数的顶点,抛物线与轴交于点,当时,求二次函数的表达式.
8.如图,抛物线交轴于两点,其中点的坐标为,与轴交于点
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点为轴上一点,如果直线与直线的夹角为15度,求线段的长度;
(3)点为抛物线上一点,如果,求点的坐标.
9.如图,抛物线经过三点,点为抛物线上第一象限内的一个动点.
(1)求抛物线所对应的函数表达式;
(2)过点作,垂足为点,是否存在点,使得中的某个角等于的2倍 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
10.若一次函数的图象与轴、轴分別交于两点,点的坐标为,二次函数的图象经过三点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,过点作轴交抛物线于点,点在抛物线上(轴左侧),若恰好平分.求直线的表达式;
(3)如图2,若点在抛物线上(点在轴右侧),连接交于点,连接.(1)当时,求点的坐标;(2)求的最大值.
11.如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线过点且与直线相交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是抛物线上的一动点,当时,求点的坐标;
(3)点在轴的正半轴上,点是轴正半轴上的一动点,且满足.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)当在什么范围时,符合条件的点的个数有2个
12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过坐标原点,与轴正半轴交于点,该抛物线的顶点为,直线经过点,与轴交于点,连接.
(1)求的值及点的坐标;
(2)将直线向下平移,得到过点的直线,且与轴负半轴交于点,取点,,连接,求证:;
(3)点是线段上一动点,点是线段上一动点,连接,线段的延长线与线段交于点.当时,是否存在点,使得 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
专题17倍角、半角、等角与“12345”
1.如图,在Rt中,,延长到点,使,连接,则,设.
第1题图
2.如图,过点作轴,交轴于点,则,设交轴于点.
,
易证,
,
,解得,.
第2题图
3.如图,过点作,由翻折知,.
为中点,,根据“12345”模型可得,.
第3题图
第4题图
4.如图,过点作于,过点作于,则,设,则,由旋转知,QB，∠PBQ＝90°，∴∠BPQ＝45°，根据12345模型可得tan∠EPN＝，则EN＝x，.
5.如图,设,则,延长至点,使得,连接,则,又,设,则,则有,在Rt中,,在Rt中,,则,解得(舍去),.
6.如图,作中垂线,交于,交于,过点作交延长线于.
则,
,
.
,即,在Rt中,
中,.
7.(1)轴于点:
,把代入,一次函数表达式为.
(2)与轴交点,,
如图,作,交于,交于,连,,设,
Rt中,.过作
,抛物线与轴交于点,不能作为顶点,舍去,设,把代入得,,二次函数表达式为.
8.(1)把代入得,抛物线函数解析式为.
(2).
直线与直线的夹角为15度,则,如图1,
(1)在点上方,则,.
(2)在点下方,则,.
如图2,作中垂线交轴于点,交于,则,设,Rt中,.
(1)在上方,设,把代入得,.
联立得,,即点.
(2)在上方,设,把代入得,.联立得,,即点.
综上,点坐标为或.
9.(1)将代入得,.故抛物线的解析式为.
(2)分两种情况考虑:
(1)当时,如图1,过作,过点作.
.
,
易得.联立得,点的坐标为;
(2)当时,如图2,作中垂线交于,交于,过点作交轴于点,过作于.
则,设,Rt中,,.易证.
,设,,把代入得,
－
或(舍去),点的坐标为.综上,点坐标为或.
10.(1)一次函数的图象与轴交于,与轴交于.把代入得,.二次函数表达式为.
(2)如图1,设交于点,
平分,又.令或,－3)..设,把代入得,
直线表达式为.
(3)(1),如图2,过点作交(或延长线)于点,则.设,易得直线的表达式为,
或.
(2)由(1)得,,设,
,
有最大值为.
11.(1)直线与轴交于点,与轴交于点,
把代入拋物线得,.
抛物线的解析式为.
(2)当点在轴上方时,点与点重合,满足,
,当点在轴下方时,如图1,设与轴交于点,
关于轴对称,,
设直线的表达式为,把代入得,
直线的表达式为,
联立得,或,点的坐标为或,
综上,当时,点的坐标为或或.
(3)(1)如图2,,过点作轴于点,易证,,即,整理得,;
(2)如图3,,以为直径构造,点在线段上(不含和),若点有2个,则与线段有两个交点(不含和).
当与线段相切时,与线段(不含和)有1个交点,此时,即为中点,,
.
当点与点重合时,时,如图4,此时与线段(不含和)没有交点,
当时,与线段有两个交点,故的取值范围是.
12.(1)顶点的坐标为.令,得,将点的坐标代入得,;(2)由平移得来,,把代入得,平移后的直线的解析式为.
令,如图1,过点作,中,;
(3)存在点,如图2,过点作轴,过点作轴,
,
,
设,则轴,,
,
,
解得,将代入得,,
当时,存在点,使得.
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