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专题11阅读理解与新定义问题
专题价值
阅读理解与新定义问题是中考的热点之一,这种题型往往内容丰富、思维深刻、超越常规,不仅考查学生的阅读能力,而且综合考查学生的数学意识和应用能力.这类问题能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程,符合学生的认知规律,但对学生的模仿意识、思维能力和创新精神有较高的要求.
常用解题用路
阅读理解与新定义问题一般由两部分组成:一是阅读材料,二是考查内容.它要求学生根据阅读获取的信息进行计算或推理来解答问题.阅读理解题提供的阅读材料主要包括:一段情景材料的辨析与纠错,新定义问题则提供一个新数学概念的形成与应用过程,或一个新数学公式、方法的推导与应用等.考查内容既有考查基础的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的,考查方式也常常从“明理、探索、归纳、纠错”等角度切人.
曾经这么考!
一、阅读理解,要学会数形结合
例1阅读理解
如图,点在反比例函数的图象上,连接,取线段的中点.分别过点作轴的垂线,垂足为交反比例函数的图象于点.点的横坐标分别为.
小红通过观察反比例函数的图象,并运用儿何知识得出结论:
,
由此得出一个关于之间数量关系的命题:
若,则___________________.
(2)证明命题
小东认为:可以通过“若,则”的思路证明上述命题.
小晴认为:可以通过“若,且,则”的思路证明上述命题.
请你选择一种方法证明(1)中的命题.
【剖析】
(1)分别利用反比例函数解析式,求出的长,利用,得出不等式.
(2)常规方法无非两种,利用作差法比较大小,或利用作商法比较大小。
【解答】
(1),
.
(2)法一:,
,
,
.
法二:,
.
二、阅读理解,要学会从模仿到创造
例2(1)如图1,在正方形中,是边(不含端点)上任意一点,是延长线上一点,是的平分线上一点.若,求证:.
下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.
证明:在边上截取,连接.
在正方形中,,
.
(下面请你完成余下的证朋过程)
图1 图2
(2)若将(1)中的“正方形”改为“正三角形”(如图2),是的平分线上一点,则时,结论是否还成立 请说明理由.
(3)若将(1)中的“正方形”改为“正边形,请你作出猜想:当时,结论仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)
【剖析】
本题是考查解题思维过程的阅读理解题.第(1)小题给出在正方形背景中的部分证明过程,第(2)小题变式为在等边三角形背景中,并利用前面的方法和思路给出完整证明过程,第(3)小题拓展到正多边形背景中,由(1)(2)的结论入手,从而概括归纳出的度数与正多边形每个内角度数相等的规律.
【解答】
(1)证明:在边上截取,连接.
正方形中,.
,,
.
是的平分线上一点,.
在与中,,
.
(2)解:结论还成立,证明:在边上截取,连接.
在等边中,.
,,
.
是的平分线上一点,.
在与中,,
.
(3)解:若将(1)中的“正方形”改为“正边形,则当时,结论仍然成立.
三、新定义问题,要善于模仿与变形
例3规定:,给出以下四个结论:①②③④其中正确的结论的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【剖析】
根据题目所规定的公式,化简三角函数,即可判断结论.(2)中的,可看作中的,可看作中的,可看成,再结合(3)判断.
【解答】
①,故此结论正确;
②,故此结论正确;③
,故此结论正确;
④
,故此结论错误,选.
四、新定义问题,要善于归纳与探索
例4根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
（1）某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
(1)四条边成比例的两个凸四边形相似;命题)
(2)三个角分别相等的两个凸四边形相似;命题）
(3)两个大小不同的正方形相似.命题)
(2)如图1,在四边形和四边形中,,.求证:四边形与四边形相似.
(3)如图2,四边形中,与相交于点,过点作分别交于点.记四边形的面积为,四边形的面积为,若四边形与四边形相似,求的值.
图1图2
【剖析】
(1)仔细读题,根据相似多边形的定义,即可判断.
(2)根据相似多边形的定义,想办法先将四边形转化为三角形去证明相似,证两次后,再以四边成比例,四个角相等为条件,证得四边形相似.
(3)本题较难,以四边形与四边形相似为条件,我们要想办法将对应边成比例的条件用起来,并结合平行线分线段成比例定理,灵活运用比例的一些性质来证.
【解答】
(1)
①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等,如菱形与正方形.
②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例,如矩形与正方形.
③两个大小不同的正方形相似.是真命题.
故答案为假,假,真.
(2)证明:如图,连接.
,且,
,
,即,
又,
,
,即,
,
又,
四边形与四边形相似.
(3)四边形与四边形相似,,
,
,即,
,
.
还会这么考
1.阅读理解:
对于一些特殊的代数式可以按下面的方法分解因式:
.
理解运用:
如果,那么,即有或,因此,方程和的所有解就是方程的解.
解决问题:求方程的解.
2.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”,请计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A.2017
B.2016
C.191
D.190
3.定义:在平面直角坐标系中,把从点出发沿纵方向或横方向到达点(至多拐一次弯)的路径长称为的实际距离.如图,若,则的“实际距离”为5,即或.
环保低碳的共享单车,正成为市民出行喜欢的交通工具.设三个小区的坐标分别为,若点为单车停放点,且满足到的“实际距离”相等,则点的坐标为________.
第3题图
4.在平面直角坐标系中,点的坐标为是第一象限内任意一点,连接,若,则我们把叫做点的“双角坐标”.例如,点的“双角坐标”为.若点到轴的距离为,则的最小值为
5.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料樀录如下:
对于三个实数,用表示这三个数的平均数,用表示这三个数中最小的数,例如.请结合上述材料,解决下列问题:
(1)1)(2)
(2)若,则的取值范围为
(3)若,求的值;
(4)如果,求的值.
6.规定:表示不大于的最大整数,表示不小于的最小整数,表示最接近的整数为整数),例如:.则下列说法正确的是.(写出所有正确说法的序号)
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,;
(4)当时,函数的图象与正比例函数的图象有两个交点.
7.定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.
(1)图形判定:如图1,在四边形中,,过点作的垂线交的延长线于点,且,证明:四边形是垂等四边形.
(2)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图2中,面积为24的垂等四边形内接于中,,求的半径.
图1 图2
8.对任意一个三位数,如果满足各个数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”,将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为.例如,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为,所以.
(1)计算:;
(2)若都是“相异数”,其中都是正整数),规定,当时,求的最大值.
9.定义:有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.
理解:(1)若四边形是对余四边形,则与的度数之和为
证明:(2)如图1,是的直径,点在上,相交于点.
求证:四边形是对余四边形;
探究:(3)如图2,在对余四边形中,,探究线段和之间有怎样的数量关系 写出猜想,并说明理由.
图1 图2
10.对于平面直角坐标系中的任意两点,我们把叫做两点间的直角距离,记作.
(1)已知为坐标原点,动点满足,请写出与之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点所组成的图形;
(2)设是一定点,是直线上的动点,我们把的最小值叫做到直线的直角距离.试求点到直线的直角距离.
第10题图
11.在平面直角坐标系中,的半径为是与圆心不重合的点,点关于的反称点的定义如下:若在射线上存在一点,满足,则称为点关于的反称点,如图为点及其关于的反称点的示意图.
特别地,当点与圆心重合时,规定.
(1)当的半径为1时.
(1)分别判断点关于的反称点是否存在 若存在,求其坐标;
(2)点在直线上,若点关于的反称点存在,且点不在轴上,求点的横坐标的取值范围;
(2)的圆心在轴上,半径为1,直线与轴、轴分别交于点,若线段上存在点,使得点关于的反称点在的内部,求圆心的横坐标的取值范围.
第11题图
12.【探索发现】如图1,是一张直角三角形纸片,,小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线前下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为
【拓展应用】如图2,在中,边上的高,矩形的顶点分别在边上,顶点在边上,则矩形面积的最大值为.(用含的代数式表示)
【灵活应用】如图3,有一块“缺角矩形”,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(为所前出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】如图4,现有一块四边形的木板余料,经测量,且,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形,求该矩形的面积.
图1 图2 图3 图4
专题11阅读理解与新定义问题
1.,,即或,解得或,故方程的解为或或.
2.经过归纳与探索,不难发现的第三项系数为,
展开式中第三项系数为,故选D.
3.如图,设,由题意得,,
显然,
(1);
,无解.
(2);
,解得,.
(3);
,无解.
(4);
,解得,,不合题意,舍去.
综上.
第3题图
4.根据三角形内角和定理知,要使取得最小值,即取得最小值,则需取得最大值,如图,点到轴的距离为以中点为圆心,为半径画圆,与直线相切.
在直线上任取一点,连接交圆于点,连接,当点为切点,时,最大,的最小值为90.
第4题图
5.(1)①,
②;
(2),解得;
(3),解得或3;
(4),
,即,解得.
6.①当时,,故①错误;
②当时,,
故②正确;
③当时,,故③正确;
④当时,可以分类讨论如下:
当时,,
当时,,
当时,,
,则时,得时,得时,得,
当时,如图,函数的图象与正比例函数的图象有三个交点,故④错误,下列说法正确的为②③.
第6题图
7.(1),又四边形是平行四边形,,又是等腰直角三角形,四边形是垂等四边形.
(2)如图,连接,过点作于四边形是垂等四边形,,又垂等四边形的面积是,又,设半径为,在Rt中,,的半径为4.
第7题图
8.(1).
都是“相异数”,,
,
.
.
,且都是正整数,
或或或或或.
是“相异数”,.
是“相异数”,.
或或或或,
或1或的最大值为.
9.(1)四边形是对余四边形,当和互余时,,当与互余时,,则,故答案为或;
(2)如图1,连接四边形是对余四边形;
第9题图1
(3)对余四边形中,,如图2,将绕点逆时针旋转到,连接为等边三角形,,即,Rt中,.
第9题图2
10.(1)由题意得,,
.
(1)当时,,即;
(2)当时,,即;
(3)当时,,即;
(4)当时,,即;
将四个函数关系式图象表示在坐标轴上,所有符合条件的点组成的图形如图所示.
第10题图
(2),
又可取一切实数,表示在数轴上,数所对应的点到数2和所对应的点的距离之和,其最小值为点到直线的直角距离为3.
11.①的反称点不存在,
存在反称点,
存在反称点.
②如图1,设,
直线与坐标轴交点,
当在线段上时,,关于的反称点存在.
当时,与重合,不符合题意,
当时,与重合,不符合题意,
.
第11题图1
(2)设.直线与轴、轴分别交于点,由题意得,
.
若线段上存在点,使得点关于的反称点在的内部,则.
(若,则反称点在圆外,不符合题意;,反称点与圆心重合,符合题意.)
如图2,当在上时,作于,则,
.(当时,点与点重合,的反称点与点重合,在圆的内部);
②如图2,当在点右侧时,.
(当时,点与点重合,的反称点与点重合,在圆的内部);综上,圆心的横坐标的取值范围是.
12.【探索发现】
为中位线,,
又四边形是矩形,则;
【拓展应用】
,即,
设,则矩形,当时,矩形最大值为;
【灵活应用】
如图1,延长交于点,延长交于点,
设延长线的交点为,取中点的中点,连接.
由题意得,四边形是矩形,
,
,
在和中,
同理,
中位线的两端点在线段和上,过点作于点,
由【探索发现】知,矩形的最大面积为,
答:该矩形的面积为720;
【实际应用】
如图2,延长交于点,过点作于点,
,且
,
在Rt中,,
的中点在线段上,
的中点在线段上,
中位线的两端点在线段上,由【拓展应用】知,矩形的最大面积为,答:该矩形的面积为.
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