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专题12直线与动圆的位置关系
问题价值
纵观近几年全国中考,圆的考查在各级各类模拟卷中依然相当热烈.
研究“动圆问题”,我们会发现“动圆”主要是根据“圆心动”和“半径变”这两个要素来进行问题设计,而“动圆问题”中主要涉及的就是直线与这个“动圆”的位置关系.一般以下列方式出现:“圆心定,半径不定”、“圆心不定,半径定”、“圆心不定,半径不定”,直线与动圆“相切、相交”“动圆与某线段公共点个数与时间范围的讨论”,此类问题一般以计算为主,所用的手段是勾股定理、相似、面积法等,此类问题的核心是直线和动圆相切,解决了相切的情况,直线与动圆的相交、相离就可以顺势处理(若是线段与动圆问题,则以公共点的个数体现).
常用解题思路
在Rt中,,以点为圆心的的半径为.
当满足时,与有1个公共点;
当满足时,与有2个公共点.
如图,作,则,比较与可得,
或时,与有1个公共点;
时,与有2个公共点.
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一、初探动圆一一动线与动心圆
例1在矩形中,,点在对角线上,的半径为2,如果与矩形的各边都没有公共点,那么线段长的取值范围是________.
【剖析】
根据勾股定理可得,而且此题圆心不定、半径确定,圆与各边都没有公共点,则应先考虑与相切时的情况,设与边相切于,连接,根据三角形相似,求出的长度;设与边相切于,连接,求出的长度,则的长度也可知,则没有公共点时,对应的取值范围可求.
【解答】
在矩形中,,
如图1,设与边相切于,连接,则,
图1 图2
,
如图2,设与边相切于,连接,同理,,
,
当与矩形的各边都没有公共点,线段长的取值范围是.
例2如图,中,,点从点出发,在边上以的速度向点运动;与此同时,点从点出发,在边上以的速度向点运动.过的中点作的垂线,则当点运动了________时,以点为圆心为半径的圆与直线相切.
【剖析】
此题圆心不定、半径确定,但圆与直线相切时的图形也确定.当对问题感觉无法把握时,可以画出满足条件的图形,来加深对问题的理解.
当是的切线时,,用含的代数式表示后,可再表示出,进而利用对应边成比例,可知,易证已知,可计算出,进而求出,利用,问题得解.
【解答】
设运动时间为,
,易证,
.
二、再探动圆一一动线与动径圆
例3如图,已知直线与相离,于点与相交于点与相切于点的延长线交直线于点,若在上存在点,使是以为底边的等腰三角形,则的半径的取值范围为__________.
【剖析】
此题圆心确定、半径不定,要使是以为底边的等腰三角形,则
点为顶角顶点,在的中垂线上,则到中垂线的距离小于等于半径,即的一半也小于等于半径,不难证明,所以问题最终转化为的一半小于等于半径,而与组成直角三角形的三边,问题得解.
【解答】
连接切于,作线段的垂直平分线交于点,交于,作,则,故.又圆与直线相离,
的半径的取值范围为.
三、三探动圆一一动线与动心、动径圆
例4如图,菱形的边长为.点从点出发,以个单位的速度沿向作匀速运动;与此同时,点也从点出发,以1个单位/s的速度,沿射线作匀速运动.当运动到点时,都停止运动.设点运动的时间为.
(1)当异于时,请说明;
(2)以为圆心长为半径作圆,在整个运动过程中,为怎样的值时,与边分别有1个公共点和2个公共点.
【剖析】
此题圆心动,半径也不确定.
(1)首先要通过证明同位角相等,得出,不妨利用对应边成比例,得出,平行可证.
(2)随着运动的圆心半径在不断变大,可以有几个特殊位置,与边相切,有唯一公共点;经过点,经过点,再将半径与比较,可确定公共点个数.由于试题是以线段与圆的公共点个数呈现的,与常见的直线与圆的位置关系有所不同,故分类时画图是关键.
【解答】
(1)四边形是菱形,,又;
如图1,连接交于四边形是菱形,,
,运动后,,
,又.
图1 图2
(2)(1)如图2,与切于点,连接,则.在Rt中,
,由,即,
解得,此时与边有一个公共点;
图3 图4
(2)如图3,过点,此时,
为等边三角形,.
当时,与边有2个公共点;
(3)如图4,过点,此时,即,
当时,与边有一个公共点;
(4)当点运动到点,即时,过点,
此时,与边有一个公共点;
综上,当或或时,与边有1个公共点;
当时,与边有2个公共点.
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1.如图,已知射线,点从点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线向右运动;同时射线绕点顺时针旋转一周,当射线停止运动时,点随之停止运动.以为圆心,1个单位长度为半径画圆,若运动两秒后,射线与恰好有且只有一个公共点,则射线旋转的速度为每秒________度.
第1题图
2.如图,Rt中,是线段上一点,过点的交于点是线段上一点,且,则的最小值为________.
第2题图
3.如图,Rt中,,点在边上,.点是线段上一动点,当半径为6的与的一边相切时,的长为________.
第3题图
4.如图,在中,在内自由移动,若的半径为1,且圆心在内所能到达的区域的面积为,则的周长为________.
第4题图
5.如图,矩形的边,点从点出发,沿射线移动.以为直径作,点为与射线的公共点,连接,过点作,交于点.当与射线相切时,点停止移动.则在运动过程中点移动路程的长为________.
第5题图
6.如图,在中,,动点从点出发,沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点从点出发,沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时间为秒,以为圆心,长为半径的与的另一个交点分别为,连接.
(1)若是等腰三角形,求的值;
(2)若与线段只有一个公共点,求的取值范围.
7.如图,在平面直角坐标系中,将直线以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为秒.在第一象限内有一半径为3,且与两坐标轴恰好都相切的,在直线出发的同时,以每秒2个单位的速度向右运动,则当为何值时,直线与相切
8.如图,已知点,经过的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点从点出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为秒.
(1)用含的代数式表示点的坐标为:________.
(2)过作于,过作轴于,问:为何值时,以为圆心、1为半径的圆与直线相切 并说明此时与直线的位置关系.
9.已知在平面直角坐标系中,直线分别交轴和轴于点.
(1)如图1,已知经过点,且与直线相切于点,求的直径长;
(2)如图2,已知直线分别交轴和轴于点和点,点是直线上的一个动点,以为圆心,为半径画圆.
①当点与点重合时,求证:直线与相切;
②设与直线相交于两点,连结.问:是否存在这样的点,使得是等腰直角三角形,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
10.如图,二次函数的图象与轴交于两点,横坐标为-2的点是抛物线上一定点,点是抛物线上的动点.若点从点出发,横坐标以1个单位的速度增加,沿抛物线运动,过点作矩形轴,轴,且.点以1个单位的速度同时从点出发,沿的方向在矩形的边上运动.当点返回点时,运动均停止.设点的运动时间为.以点为圆心,长为半径作圆.当为何值时,与轴相切.
11.已知,平面直角坐标系中,点坐标为点坐标为点坐标为为线段上一点,以为圆心,为半径作.
(1)如图1,若经过两点,求证:点在上;
(2)如图2,若与相切,且,求;
(3)若,且与的两边相切,求的值.
12.如图1,已知线段长为6,点在轴负半轴,点在轴正半轴,绕点顺时针旋转点恰好落在轴上点处,点在第一象限内且四边形是平行四边形.
(1)求点、点的坐标并用尺规作图确定两点位置(保留作图痕迹)
(2)如图2,若半径为1的从点出发,沿以每秒4个单位长的速度匀速移动,同时的半径以每秒0.5个单位长的速度增加,运动到点时运动停止,
①为何值时,与轴相切
②在整个运动过程中,与轴有公共点的时间共有几秒
(3)若线段绕点顺时针旋转,线段扫过的面积是多少
专题12直线与动圆的位置关系
1.由题意得,运动两秒后,.
若与相切于点,则Rt中,旋转过的度数为,旋转的速度为每秒30度.若与相切于点,则Rt中,,旋转过的度数为,旋转的速度为每秒60度.综上,答案为30或60.
2.连接,则,作,由垂径定理得,,易证,易证四边形为矩形,则,则.
3.在Rt中,,在Rt中,,
当与相切时,点到的距离为6,过作于,
则,
;
当与相切时,点到的距离为6,过作于,
则,
,
半径为6的不与的边相切,
综上所述,的长为6.5或.
4.是直角三角形.作,则,易证.
,
,同理,
设.连接平分,延长到,使,连接,
,
设,
在Rt中,,
.
5.如图1,连接,则,则为直径,,则,即点的运动路径与边的夹角度数与度数相等,是定值,则点的运动路径为一条线段.当点刚从点出发时,点在点处.如图2,当与射线相切于点时,点运动至点处,设为点,点运动到点处,连接点在延长线上,则点的路径长为长,易证.
6.(1)Rt中,由勾股定理可得,,由题意得,.
①如图1,若,则.
②如图2,若.
③如图3,若,连接,易证,.综上,或或.
(2)①如图4,当与相切时,与线段只有一个公共点,此时,,
当时,在外,与均只有一个公共点;
②如图5,当时,与重合,与线段有两个公共点,当时,在内,与只有一个公共点;综上,当与只有一个公共点时,的取值范围为或.
7.由题意得,直线与轴交于点秒后,
直线与轴交于点,设平移后的直线解析式为,把代入得,平移后的直线解析式为,
过点作轴交直线于点,把代入得,,
,设直线与切于点,则,
如图.
如图.
综上,或.
8.(1)如图1,作轴于点.设平移后的直线与轴交于点,在中,,则.又,则点的坐标为.
(2)①当和第一次相切时,设切点是.由题意得,,,则,则.
根据直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径得,,此时与直线显然相离;
②当和第二次相切时,则,,此时与直线显然相交;
当或时,和相切,时,和相离,时,和相交.
9.(1)如图1,设与轴交于点,连接为直径,
与直线相切于点为等腰直角三角形,则的直径长;
(2)①如图2,过点作,令,则圆的半径,故点是圆与直线的切点,即直线与相切;
(2)②如图3,当点在两条直线交点的下方时,连接是等腰直角三角形,,设,则,则,解得;
当点在两条直线交点的上方时,同理可得,,设,则,解得;
故点的坐标为或.
10.把代入得,,
把代入解析式得,,
,
①当,
此时点可能在第二象限,也可能在第三或第四象限,,
解得,(舍去),(舍去),
②当,此时点在第四象限,
,解得,(均不合题意,舍去),
③当,此时点仍在第四象限,,解得,(舍去),
④当,
此时点可能在第一象限,也可能仍在第四象限,,
解得,(均不合题意,舍去),
综上,或或.
11.(1)如图1,连接,
,
点在上;
(2)如图2,与分别相切于点点,连接,则有,
.
,解得;
(3),
.
①若与分别相切于点,连接,如图3①,
则有,,解得;
②若与分别相切于点,连接,
如图3②,则有,
,解得.
(3)若与分别相切于点,过点作于,连接,
如图3(3),则有平分,即.
在和中,
.在中,根据勾股定理可得,,解得.综上所述,的值为.
12.(1)由题意得,,.四边形是平行四边形,点的坐标为,点的坐标为.
作法：如图1,①以点为圆心,为半径画弧,与轴交点即为点;
②以点为圆心,为半径画弧;以点为圆心,为半径画弧,两弧的交点即为点.②
①I.点在上时,过点作轴,垂足为,如图2,
与轴相切,.
在Rt中,,
解得,.
II.点在上时,过点作轴,垂足为,如图,
,解得,.
III.点在上时,过点作轴于,过点作轴于,如图4,则有.四边形是平行四边形,,,若与轴相切,则,解得,,舍去.
综上,当取秒或秒时,与轴相切.
②I.点在上,且与轴相切于点时,连接,如图5,
则有,即.在Rt中,,.解得,.
II.点在上,且与轴相切于点时,连接,如图6,,
.
III.点在上,且与轴相切于点时,连接,如图7,,.
.
在整个运动过程中与轴有公共点的时间共有秒.
(3)过点作,垂足为,过点作,垂足为,如图8,则有,同理可得,.
,
线段扫过的面积是.
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