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专题13 最值问题(1)一一运用代数性质
专题价值
代数最值型问题是初中数学中比较常见的题目,也经常出现在各地的中考试卷中.这类问题贴近生活、贴近社会,有利于体现数学的人文价值和社会价值,考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等各方面的能力,但解决这类问题的难度较大,灵活性强.有的时候,在几何法无法切入的情况下,用代数法却能另辟捷径来求解.
常用解题思路
解决代数最值型问题常见的方法有下面2种:
1.利用一次函数或二次函数的性质来求解,结合自变量的取值范围确定最大值或最小值.
2.对于一些已知含参数的点坐标,求距离,面积最值的题目,可利用距离公式,面积公式,转化为二次函数,配方后求最值;
曾经这么考
例1已知二次函数,当且时,的最小值为,最大值为,则的值为________.
【剖析】
根据可知,,而二次函数的对称轴为直线,则本题有两种情况,
(1),
(2),
但在讨论第二种情况时,可知时,取到最大值为5,但取到最小值时,是取还是取,还要再进一步判断.
【解答】
(1),
则时,随着的增大而增大,
当时,,
当时,,不合题意,舍去.
(2),
则时,随着的增大而增大,时,随着的增大而减小,
当时,,
若时,取最小值为,则,
,
则只可能当时,取最小值为,
则,符合题意.
.
例2已知点与点是一平行四边形的四个顶点,则长的最小值为________.
【剖析】
本题要分情况讨论,若为边,则,是定值.显然,只有为对角线时,才有最小值,则点、点为对角顶点,根据平行四边形对角线互相平分,我们可以求点到中点的距离最小值,再乘2,即可求得的最小值,这样求解,甚至无需画图.
【解答】
有两种情况:
①是平行四边形的一条边,那么有.
②是平行四边形的一条对角线,设交于点,
点为的中点,,即,
当取得最小值时,最小,
由勾股定理得,,
,当时,.
,即的最小值是.
例3如图,矩形中,,点点分别是上的动点,且,点是的中点,则的最小值为________.
【剖析】
本题中,均为动点,要求的最值,比较困难.联想到四边形为矩形,我们不妨可以建立直角坐标系,设点坐标为,用含的代数式表示的坐标,再利用距离公式求出最值.
【解答】
以点为原点,方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立平面直角坐标系,则,,设,易得直线解析式为,
为中点,则,
,
当时,.
例4如图,在中,为边上一动点(点除外),以为一边作正方形,连接,则面积的最大值为__________.
【剖析】
要求面积,我们首先要明确底和高,显然可以作为底,那么必然想到过点作延长线的垂线段为高,但末知,垂线段长度也不确定,要求面积,两者间必然有联系,此时不难想到过点作于点,易证,而为定长,则与
之和为定值,问题迎刃而解.
13.【解答】
过点作于点,作于点,作于点.
,易证,
即,设,则,
易证,
,
当时,面积的最大值为8.
还会怎么考
1.定义一个新的运算:,则运算的最小值为（ ）
A.-3
B.-2
C.2
D.3
2.定义符号的含义为:当时,;当时,.如:.则的最小值为（ ）
A.0
B.1
C.
D.
3.已知直角平面坐标系内有两点,点与点,则的最小值为________.
4.在平面直角坐标系中,已知平行四边形的点、点,点,则对角线的最小值为________.
5.已知直线与直线同时经过点,点是以为圆心,为半径的圆上的一个动点,则线段的最小值为________.
6.如图,正方形中,,点为边上一动点,连接,以为边,作正方形(点在所在直线的同侧),为中点,连接.则点在运动过程中,的最小值为________.
7.如图,在边长为的正方形纸片上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒四个顶点正好重合于上底面上一点).已知在边上,是被前去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积;
（2）某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积最大,试问应取何值
8.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,点在轴的负半轴上,交轴于点为线段的中点.
(1)________,点的坐标为________；
(2)若点为线段上的一个动点,过点作轴,交反比例函数图象于点,求面积的最大值.
9.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,将线段绕点顺时针旋转得到线段,反比例函数的图象经过点.
(1)求直线和反比例函数的解析式;
(2)已知点是反比例函数图象上的一个动点,求点到直线距离最短时的坐标.
10.在平面直角坐标系中,已知点,直线经过点,抛物线恰好经过三点中的两点.
(1)求的值;
(2)平移抛物线,使其顶点仍在直线上,求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值.
11.如图,矩形的顶点的坐标分别为和.设直线与直线交于点.
(1)求以直线为对称轴,且过与原点的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点;
(2)设(1)中的抛物线与轴的另一个交点为是该抛物线上位于之间的一动点,求面积的最大值.
12.已知直线交轴于点,交轴于点,二次函数的图象过两点,交轴于另一点,且对于该二次函数图象上的任意两点,当时,总有.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线,求证:当时,;
(3)为线段上不与端点重合的点,直线过点且交直线于点,求与面积之和的最小值.
专题13最值问题(1)-运用代数性质
1.当时,,当时,有最小值为-2;
当时,,无法求得最小值,综上,运算的最小值为-2,故选.
2.抛物线与直线的图象如图1所示,联立得,,即交点,由此可得,的图象如图2所示,则的最小值是,故选.
3.根据两点间的距离公式得,当时,的最小值为.
4.点,设中点为,由题意得,,则,
当时,,故对角线的最小值是6.
5.联立方程组得,,点,
半径为1,则,则,则问题转化为求最小值,
,
当时,,则最小值为.
6.如图,过点作交延长线于,过点作交延长线于,易证,设,
,
,
当时,.
7.(1)如图,设,由于折成的包装盒恰好是个正方体,则这个正方体的底面边长,则,故,
正方形纸片边长为,解得,
则正方体的底面边长.
答：这个包装盒的体积是.
(2)设包装盒的底面边长为,高为,则,
,
,且当时,取得最大值.
8.(1)把点代入反比例函数交轴于点,
为线段的中点,.
(2)设直线的解析式为,
把代入得,直线的解析式为.
点为线段上的一个动点,设轴,,,
当时,面积的最大值为.
9.(1)设直线解析式为,把代入得,直线解析式为;如图,过点作轴,线段绕点顺时针旋转得到线段,易证,把代入得,反比例函数解析式为;
(2)将直线向上平移后,其恰好与反比例函数图象只有一个交点时,这个交点即为点,设平移后直线解析式为,与反比例函数联立得,,
,当时,两函数图象只有一个交点,即,,代入原方程得,.
10.(1)直线经过点,解得直线,把代入得,也在直线上,直线经过点,,抛物线也经过点,则抛物线不可能再同时经过直线上的点、点,又两点的横坐标相同,则抛物线也不可能同时经过点点,抛物线只能经过两点,把代入得,,解得.
(2)由(1)知,抛物线为,设平移后的抛物线为,与轴交点的纵坐标为,其顶点坐标为顶点仍在直线上,当时,平移后所得拋物线与轴交点纵坐标的最大值为.
11.(1)设抛物线的函数关系式为,由题意得,.抛物线过与原点把代入得,,解得,,
所求抛物线的函数关系式为.
设直线的函数关系式为,把代入得,,解得,直线的函数关系式为,点的坐标为,当时,此抛物线过点.
(2)如图,过作轴,交轴于,交直线于,易知,,可得直线的解析式为,设点的坐标为,则,
,
,即当时,取得最大值,即的最大面积为.
12.(1)对于,当时,;当时,,,又或,
若抛物线过,则当时,随的增大而减少,不符合题意,舍去.
若抛物线过,则当时,随的增大而增大,符合题意.
故可设二次函数的表达式为,把代入得,,
二次函数的表达式为.
(2)当时,直线与直线不重合,假设和不平行,则和必相交,设交点为,由得,,解得,与已知矛盾,和不相交,.
(3)如图,直线过点,又直线,即,设
当,即时,最小值为.
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