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专题16 隐圆模型一边对角
专题题价值
边对角,是最近几年全国各地中考和模拟题的热点内容.最基本的模型是,若三角形一条边的长度确定,且该边所对角的度数确定,则该边所对角的顶点必在三角形外接圆上运动.(其运动轨迹为关于三角形确定长度的边对称的两段弧,但不包括边的两个端点).
由这个模型,可引出“定边对定角”,“动边对定角”等许多延伸问题,求定值,求最值,题目虽千变万化,但只要抓住其中边对角的本质,许多问题迎刃而解.
常用解题用路
一、定弦定角必有圆
若一边的长度确定,该边所对角的度数确定,则该边所对顶点必在三角形外接圆上运动.(其运动轨迹为关于确定长度的边对称的两段弧,但不包括点、点)
思路:如图1,是所对的角,度数始终保持不变.则可看作为圆周角,联想到构造这个三角形的外接圆,点的轨迹即为圆上的一部分弧.考虑到对称性,则是两段弧.锃角三角形同理.
图1 图2 图3
二、弦长直径乘正弦
已知外接圆半径为,则.
思路:如图2,连接并延长,交于点,连接,则,
若为钟角,如图3,则
.
三、弧长要减二倍角
已知外接圆半径为,则定角在运动过程中,顶点走过的路径为一段弧长,其所对圆心角度数是360度减去这个定角度数的两倍.
如图4,若为锐角,则.如图5,若为针角,则.
图4 图5
曾经这么考!
一、定边对定角求定值
例1如图,中,于点,若,则的长是 .
【剖析】
由题意得,为定长为定角,定边对定角,必有隐圆,因此,可以构造的外接圆,连接,过点作于,作于,则可得,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得的长,即可求的长.
【解答】
如图,构造的外接圆,连接,过点作于,作于,Rt中,,Rt中,.
二、定边对定角确定最值
例2在中,,则面积的最大值为 .
【剖析】
本题是典型的边对角问题,度数确定,所对边长度确定,则构造的外接圆,考虑到为圆周角,则弦所对圆心角为直角,将点与点相连,过点作垂线段,则当共线时,以为的高,此时面积最大.
【解答】
构造的外接圆,易知,过点作于点,过点作于点.
例3如图,中,,以边为斜边在形外作Rt,使得,连接,则的最大值为 .
【剖析】
由题意得,为定长为定角,是90度,则可以将此角看作圆周角,定边对定角,必有 心圆,因此,可以构造的外接圆,连接,根据中的三边关系,则为一半,则想办法求出的长即可,可以过点作,两次利用勾股定理求出的长,问题得解.
【解答】
如图,构造的外接圆,连接,当三点共线时,最大.过作,设,Rt中,,Rt中,,
Rt中,,.
三、解答题中的边对角问题
例4已知:平面直角坐标系中,四边形的顶点分别为、.
(1)是否存在这样的,使得在边上总存在点,且 若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)当与的平分线的交点在边上时,求的值.
【剖析】
(1)由四边形四个点的坐标易得,要使为定值,则联想到边对角,以为直径作,与直线分别交于点(点在左侧),利用勾股定理计算出,坐标,即点位置,此时只要保证点在点左侧,点在点右侧,即满足条件.
(2)由“角平分线加平行构造等腰三角形”,易知,则为中点,而,即点位置仍为(1)问中位置,此时,将中点的横坐标表示出来,与的横坐标相等,即可求值.
【解答】
(1)由题意得,,如图1,以为直径作,与直线分别交于点,则.作于,连,则,
点,点.
当,即时,边上总存在这样的点,使.
(2)四边形是平行四边形.
当在边上时,,
点只能是点或点.
如图2,当点在点处,
分别是与的平分线,
是的中点.
点为.
当点在点处,.
综上,或3.5.
图1图2
还会怎么考？
1.在中,,则的长的取值范围是 .
2.如图,正六边形的边长为2,两顶点分别在轴和轴上运动,则顶点到原点的距离的最大值和最小值的乘积为 .
第2题图
3.如图,已知平面直角坐标系第一象限中,直线经过点.线段的两个端点分别在轴与直线上均与原点不重合滑动,且,分别作轴,直线,交点为,则在整个滑动过程中,两点间的距离为定值 .
第3题图
4.如图,在Rt中,,点分别在边上,,连接,相交于点,则面积的最大值为 .
第4题图
5.如图,是的直径,是上一动点,是的中点,连接,则的最小值为 .
第5题图
6.如图,的半径为1,弦,点为优弧上一动点,交直线于点,则的最大面积是 .
第6题图
7.如图,直线分别交轴于点,过点的直线与直线相交,过原点作直线于点,则的最小值为
第7题图
8.如图,点是直线上的动点,点是轴上的动点,若,则面积的最大值为( )
A.2B.C.D.
第8题图
9.如图,线段的长为为上一动点,分别以为边在的同侧作两个等边三角形,和,连接交于点,则的周长最大值为 .
第9题图
10.如图,是的直径,是(异于)上两点,是上一动点,的角平分线交于点的平分线交于点.当点从点运动到点时,则两点的运动路径长的比是 .
第题图
11.如图,在四边形中,,点为四边形内部一点,且满足,则点在运动过程中所形成的图形的长为 .
第11题图
12.如图,点为抛物线的顶点,,在轴上是否存在点,使若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
第12题图
专题16隐圆模型一一边对角
1.如图,作的外接圆,,当时,是直径,最长.
;
当时,是等边三角形,,
长的取值范围是.
第1题图
2.如图,以中点为圆心,长为半径,构造的外接圆,连接、
,易证,
.
第2题图
3.由直线经过点得,,构造的外接圆,连接为直径,如图,连接为中点,.
第3题图
4.如图,设,设,,则,易证,即,则.若面积最大,则面积最大,构造的外接圆,点在上运动,连接,当时,为底边上的高,且最大,此时为等腰直角三角形,.
第4题图
5.如图,连接为中点,点在以为直径的圆弧上运动,,取中点,连接,当且仅当三点共线时,,过点作为等边三角形,,Rt中,,的最小值为.
第5题图
6.如图,连接,构造的外接圆,则,过点作于,并反向延长交于.
第6题图
7.如图,,构造的外接圆点在上.分别交轴于点.过作,当最小时,面积最小,过作,连接,则,即,易证,即的最小值为.
第7题图
8.如图1,当时,构造的外接圆,易知,,过点作于点,交于,过点作于点,,易知.
如图2,当时,构造的外接圆,易知,过点作于点,反向延长交于,过点作延长线于点,,易知,综上,选.
第8题图1 第8题图2
9.易证,
构造的外接圆,连接,则点在如图1所示的弧上运动,圆心角.
如图2,延长至,使得,连接,易得为等边三角形,,构造的外接圆,点在如图2所示的弧上运动,显然当为直径时最大,此时,即的周长最大值是.
第9题图1 第9题图2
10.如图,连接,设是直径,,易知点是的内心,,连接,以为圆心,长为半径构造,在优弧上任取一点,则,点在上,连接分别交劣弧于点、点,则点的运动轨迹是,点的运动轨迹是,连接、,设,则.
第10题图
11.将绕点顺时针旋转到,则,,构造的外接圆,连接,易知,则点的轨迹长为劣弧的长度,.
第11题图
12.抛物线的解析式,
,作对称轴于点,连接,
,
,点在以点为圆心,长为半径的上,
,设,则,
或.
第12题图
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