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2023年广东省高考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则下列图中阴影部分可以表示集合的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为( )
A. B. C. D.
3. 已知函数若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 如图所示是中国年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是( )
A. 年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的
B. 从年开始，中国汽车的出口量大于进口量
C. 年中国汽车出口量的第百分位数是万辆
D. 年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差
5. 在复平面内，已知复数满足为虚数单位，记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字，，，，，的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为”的不同的排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 水平桌面上放置了个半径为的小球，个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动忽略小球的大小，它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是( )
A. 小球运动的最高点与最低点的距离为
B. 小球经过往复运动一次
C. 时小球是自下往上运动
D. 当时，小球到达最低点
10. 在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则( )
A.
B. 与所成角为
C. 与平面所成角为
D. 与平面所成角的正切值为
11. 已知抛物线：的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点点和点在点的两侧，则下列命题正确的是( )
A. 若为的中线，则
B. 若为的角平分线，则
C. 存在直线，使得
D. 对于任意直线，都有
12. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有，则称是“封闭”函数则下列命题正确的是( )
A. 是“封闭”函数
B. 定义在上的函数都是“封闭”函数
C. 若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D. 若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量满足，则与的夹角为 ．
14. 在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 ．
15. 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有个不同的实数根，，，，则 ．
16. 已知动圆经过点及原点，点是圆与圆：的一个公共点，则当最小时，圆的半径为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
求的取值范围．
18. 本小题分
已知各项都是正数的数列，前项和满足．
求数列的通项公式．
记是数列的前项和，是数列的前项和当时，试比较与的大小．
19. 本小题分
如图所示的在多面体中，，，平面平面，平面平面，点，分别是，中点．
证明：平面平面；
若，求平面和平面夹角的余弦值．
20. 本小题分
某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为白色抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望；
若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望；
如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
21. 本小题分
已知点，点和点为椭圆上不同的三个点当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好是边长为的等边三角形．
求椭圆标准方程；
若为原点，且满足，求的面积．
22. 本小题分
已知函数．
求的极值；
当时，，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
或，，
对于，图中阴影部分可以表示集合为，故A错误；
对于，图中阴影部分可以表示集合为，故B正确；
对于，图中阴影部分可以表示集合为，故C错误；
对于，图中阴影部分可以表示集合为，且，
，，
，且或，故D错误．
故选：．
先求出集合，，再利用集合的基本运算逐个判断各个选项即可．
本题主要考查图表达集合的关系和运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设圆锥和圆柱的底面半径为，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，
所以圆锥的母线长为，
则圆锥和圆柱的高为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为，
故选：．
根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可．
本题考查圆柱与圆锥的侧面积的求解，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：根据函数的图象，可得在上单调递增，
若，则有，
，，
则实数的取值范围是．
故选：．
结合图象，可知在上单调递增，由此解不等式．
本题考查分段函数的单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由条形图可知年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的，所以选项A正确；
由条形图可知从年开始，中国汽车的出口量大于进口量，所以选项B正确；
年中国汽车出口量由小到大排列为：，，，，，，，，，，因此第百分位数是，所以选项C正确；
由条形图可知年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，因此年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差，所以选项D不正确，
故选：．
根据条形图，结合百分位数、方差的性质逐一判断即可．
本题主要考查了统计图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，
，
，即，化简整理可得，，
复数的对应点的轨迹，
对应的点为点，
点与点之间距离的最小值为．
故选：．
根据已知条件，集合复数模公式，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行，
第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为”，则中间的数字只能为两组数，或，中的一组，共有种排法；
第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；
第三步，排数字和，共有种排法；
由分步计数原理知，共有不同的排法种数为．
故选：．
分步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，，
由，代入不等式中，
整理得恒成立，
则，解得，
又，则；
故选：．
根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面含球面部分都相切，
此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与，共线，
所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即，
故选：．
根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与球各面含球面部分都相切，进而求半径最小值．
本题主要考查了球的结构特征，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：小球运动的最高点与最低点的距离为，所以选项A错误；
因为，所以小球经过往复运动一次，因此选项B正确；
当时，，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当时，，所以选项D正确．
故选：．
根据正弦型函数的性质逐一判断即可．
本题主要考查三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项A，因为底面，面，
所以，因为四边形是正方形，
所以，又，，平面，
所以平面，又面，
所以，选项A正确；
选项B，因为平面，又面，
所以，故选项B错误；
选项C，因为底面，面，
所以，又四边形是正方形，
所以，又，，平面，
所以平面，所以与平面所成角为，
易知，故选项C正确；
选项D，如图，取中点，连，，
因为底面，面，所以，
双四边形是正方形，所以，又，
所以平面，面，所以，
又，所以，，所以面，
所以与平面所成角为，
不妨设，易知，
在，，故选项D正确．
故选：．
对于选项A，利用线面垂直的判定定理得到平面，进而可判定选项A正确；对于选项B，由平面，知，故可得选项B错误；对于选项C和，利用线面角的定义，找出线面角，从而转化成平面角，在相应的三角形中进行求解，即可判断选项的正误．
本题考查线线垂直的证明，线线角的求解，线面角的求解，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意，不妨令，都在第一象限，
又，，设：，
联立：，可得，
则，即，
，，
，如图所示，
：若为的中线，则，
，所以，故，
，则，故A正确；
：若为的角平分线，则，
作，垂直准线于，，则且，
，，
，将代入整理得：
，，
，故B错误；
：若，即，即为等腰直角三角形，
此时，即，，
，，，则此时，为同一点，不合题设，故C错误；
：，又，
结合，可得，即恒成立，故D正确．
故选：．
设：，不妨令，都在第一象限，，，联立抛物线，根据已知及韦达定理得、，，则，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：：当，时，，而，错误；
：对于区间，，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，正确；
：对于区间，，使，则，
而是“封闭”函数，则，即，都有，
对于区间，，使，则，，
而，，，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，正确；
：对于区间，存在一个满足在，使，都有，且，，
此时，上述为一个“封闭”函数，且该函数在，有恒成立，
对于区间，结合上述函数，，使，则，，，，
将上述各式，两边分别累加并消项得，故成立，
所以一定是“封闭”函数，故错误．
故选：．
特殊值，判断即可；根据定义及函数的性质即可判断；、根据定义得到都有、有，再判断所给定区间里是否有、成立即可判断．
本题考查以新定义为载体，考查函数的性质以及命题的真假判断，对于、，根据给定的条件得到，都有以及，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，
设与的夹角为，则，
因为，
所以．
故答案为：．
根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：设直线的倾斜角为，由已知得，
设直线的倾斜角为，则，
因为在等边三角形中，，所以，
当，，
所以，
当，，
所以，
综上，或．
故答案为：或．
由等边三角形的性质和直线的倾斜角与斜率的关系以及两角和与差的正切公式，得出边所在直线斜率．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由为偶函数，则，故，
又是定义在上的奇函数，则，
所以，故，即有，
综上，的周期为，且关于对称的奇函数，
由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，
所以在的大致草图如下：
要使在上恰好有个不同的实数根，即与有个交点，
所以，必有两对交点分别关于，对称，则．
故答案为：．
由题设可得的周期为，且关于对称的奇函数，结合区间单调性判断上单调情况，根据与有个交点，及函数的对称性求根的和．
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性及对称性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图：
记圆半径为，，则，，
所以，
当最小时，最大，此时两圆内切．
由已知设动圆的圆心为，
又圆心可得，
即，
解得，所以，即圆的半径为．
故答案为：．
利用两圆的位置关系确定两圆内切时最小，根据位置关系可得圆的半径．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
整理得，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以．
，
在中，因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以的取值范围为．
【解析】根据三角恒等变换和正弦定理得到，进而由余弦定理得到，求出；
由三角函数和差公式求出，由求出取值范围．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
18.【答案】解：当时，，所以或舍去，
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以；
由得，则，
所以，
由得，
所以，
因为，
所以，故，
所以当时，．
【解析】根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；
根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可．
本题考查等差数列的定义与通项公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
19.【答案】解：证明：如图，取中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
同理可得平面，
所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为点，分别是，中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，所以平面平面．
因为，，所以，
由知，平面，平面，
所以，
所以，，两两相互垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
因为，所以，，，
则，，，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由，
得，即，解得，
取，得，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明；
先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角即可．
本题考查面面平行的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，
则每次中奖的概率为，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，，，
则，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为；
若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为．
因为两问的数学期望相等，第问中两次奖的概率比第问的大，
即，第不中奖的概率比第问小，即，
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第问方式进行抽．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第问方式进行抽奖．
【解析】根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；
根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可．
本题主要考查离散型随机变量期望与分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为的等边三角形，
当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，
不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，
当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，
不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，舍去，
椭圆的标准方程为；
设，，，
，
，，
当直线斜率不存在时，
即，，则，
点在椭圆上，所以，则有，
，点到的距离为，
此时；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得，得，
，
由韦达定理得，
，
，
又点在椭圆上，
，
，
，
点到直线的距离，
，
综上所述，的面积为．
【解析】分点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点和点，点和点中有两个点为左顶点和右顶点两种情况，求出，得到椭圆方程；
设出，，，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，求出弦长，进而利用点到直线距离求出面积．
本题考查差椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，弦长公式的应用，三角形面积的求解，属难题．
22.【答案】解：求导得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
由题知不等式在上恒成立，
则原问题等价于不等式在上恒成立，
记，
则，
记，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
即当时，，此时；当时，，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
即，
所以，
当时，
因为，，所以不等式恒成立，
所以；
当时，
因为存在，使得，而，
此时不满足，
所以无解．
综上所述，，即实数的取值范围是．
【解析】先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值；
原问题转化为不等式在上恒成立，通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，考查运算求解能力，属于难题．
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