资源简介

福州重点学校 2022-2023 学年第二学期高一数学期中考试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：
单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．）
1．若复数 z 满足 + (5 6 ) = 3 ，则 z 的虚部是（ ）
A. 2 B. 6 C. 1 D. 6
2．已知向量 = (2,0)， = (1,1)，则下列结论正确的是( )
A. = 1 B. // C. | | = | | D. ( ) ⊥

3．设 a，b为非零向量，则“ a b a b ”是“ a与b共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 如图，矩形O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图，B C 与 y 轴交于点 D ，其中O A 6，
O C 2，则原图形OABC的面积是（ ）
A. 24 B. 24 2 C. 3 2 D. 12

5．已知点C为 OAB边 AB上一点，且 AC 2CB，若存在实数m， n，使得OC mOA nOB，
则m n的值为（ ）
1 1 2
A. B. 0 C. D.
3 3 3
6．函数 f x ex cos x 的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a 2 3 ，b2 c2 24，则角A的最大值
为（ ）

A. B. C. D.
2 3 4 6
8．如图，直角梯形 ABCD 中，已知 AB / /CD, BAD 90 ， AD AB 2,CD 1，动点 P在线
1 2
段 BC上运动，且 AP mAB nAD m,n R ，则 的最小值是（ ）
m n
A. 3 B. 3 2 2 C. 4 D. 4 2 2
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．）
9. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体
10．已知 i是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A. i2021 i
B. “ a 0 ”是“复数 a bi a,b R 是纯虚数”的必要不充分条件
C. 若复数 z a i a R ，且 z 2，则 a 3
D. 若复数 z满足 2z z 3 2i，则复数的虚部为-2
11．下列命题中，正确的是（ ）
A. 在△ ABC中，若 sin A sin B，则 A B
B. 在锐角△ ABC中，不等式 sin A cosB恒成立
C. 在△ ABC中，若acos A bcosB，则△ ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ ABC中，若 B 60 ，b2 ac，则△ ABC必是等边三角形

12．已知四边形 ABCD是边长为 2的正方形， P为平面 ABCD内一点，则 PA PB PC PD
（ ）
A．最小值为 4 B．最大值为 4
C．无最小值 D．无最大值
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 若 i是虚数单位，则 i i2 i2021 ▲ ．
14．已知向量 a，b 满足|a |＝1，|b |＝2，| a b |＝2，则| a b |＝ ▲ ．
15．一船以 22 3 km/h的速度向正北航行，在 A处看灯塔 S在船的北偏东 45°，1小时 30分后航行到
B处，在 B处看灯塔 S在船的南偏东 15°，则灯塔 S与 B之间的距离为 ▲ km．
16. 已知等边 ABC，D是 ABC外的一点，且 AD 2，CD 1，则平面四边形 ABCD的面积的
最大值是 ▲ ．
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共 5题，共 70分）
17.（本题 10分）
已知m R，复数 z 2m2 m 1 m2 1 i（其中 i为虚数单位）
（1）当实数 m取何值时，复数 z是纯虚数；
（2）若复数 z1 z 3i在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 m的取值范围.
18.（本题 12分）

已知 a (1,2)，b (2, 2)， c b a .

（1）求 a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若 a c，求实数 的值和向量 c
19. 2已知函数 f x sin x 3sinxcosx .
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）若 f x ,m 3在区间 上的最大值为 ，求m的最小值. 3 2
20.（本题 12分）
在 ABC中， B 45 ， AC 10 ， cosC 2 5 .
5
(1)求 BC边的长；
(2)求 AB边上的中线CD的长．
21.（本题 12分）
b cosB 1
在① ，② 2bsin A a tan B，③ a c sin A csin A B bsin B这三个条件中任
a 3 sin A
选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 ABC的内角A， B，C所对的边分别是 a，b，c，若______.
（1）求角 B；
（2）若 a c 4，求 ABC周长的最小值，并求出此时 ABC的面积.
22.（本题 12分）
目前，中国已经建成全球最大的 5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到 5G基站的身
影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座 5G基站 AB，已知基站高 AB 50m，该同
学眼高 1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置 C处（眼睛所在位置）测得基站底部 B的仰角
为 37°，测得基站顶端 A的仰角为 45°.
（1）求出山高 BE（结果保留整数）；
（2）如图（第二幅），当该同学面向基站 AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置 C
处（眼睛所在位置）到基站 AB所在直线的距离CD xm，且记在 C处观测基站底部 B的仰角为 ，
观测基站顶端 A的仰角为 .试问当 x多大时，观测基站的视角 ACB最大
参考数据： sin 8 0.14， sin 37 0.6， sin 45 0.7， sin127 0.8 .
一、单选题（每题 5分，共 8小题）
1．若复数 z 满足 + (5 6 ) = 3 ，则 z 的虚部是（ ）
A. 2 B. 6 C. 1 D. 6
【答案】D
2．已知向量 = (2,0)， = (1,1)，则下列结论正确的是( )
A. = 1 B. // C. | | = | | D. ( ) ⊥
2.【答案】D
解：根据题意向量 = (2,0)， = (1,1)，依次分析选项：
对于 A． · = 2 × 1 + 0 × 1 = 2，故 A错误；
对于 B．2 × 1 0 × 1 = 2 ≠ 0，所以 , 不平行，故 B错误；
对于 C． = 22 + 02 = 2, = 12 + 12 = 2，故 C错误；
对于 D． = 1, 1 ， · = 1 × 1 + 1 × 1 = 0，
所以 ⊥ ，故 D正确．
故选 D．

3．设 a，b为非零向量，则“ a b a b ”是“ a与b共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2 2 2 2
【详解】当 a b a b 时， a 2a b b a 2 a b b ，化简得 a b a b ，即

cos a b 1

a b ， 0，即 a与b共线

当 a与b共线时，则存在唯一实数 a ，使得 b

| a b | 1 b | a | | b | 1 b 1 1 a b , a ， ， 与 不一定相等，即 b 不一定相
等

故“ a b a b ”是“ a与b共线”的充分不必要条件
故选：A
4．B

5．已知点C为 OAB边 AB上一点，且 AC 2CB，若存在实数m， n，使得OC mOA nOB，
则m n的值为（ ）
1 1 2
A. B. 0 C. D.
3 3 3
【答案】A
6．【答案】D
7．在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a 2 3，b2 c2 24，则角A的最大值
为（ ）

A. B. C. D.
2 3 4 6
【答案】B
【解析】
b2a2 c
2 b2 c2
【分析】由题设可得 ，根据余弦定理有 cos A ，利用基本不等式求角A的范围，
2 4bc
即可确定最大值.
2 2
【详解】由b2 c2 24 2a2 a2 b c，则 ，
2
2 2 2 2 2
所以 cos A b c a b c 2bc 1 ，0 A ，
2bc 4bc 4bc 2
所以0 A ，故A的最大值为 .
3 3
故选：B
8．如图，直角梯形 ABCD 中，已知 AB / /CD, BAD 90 ， AD AB 2,CD 1，动点 P在线

段 BC上运动，且 AP mAB nAD m,n 1 2 R ，则 的最小值是（ ）
m n
A. 3 B. 3 2 2 C. 4 D. 4 2 2
【答案】C
【解析】

【分析】设 BP= BC，可以用 表示m和 n，从而得到m与 n的关系，再利用均值不等式求解.

【详解】设 BP= BC
1 1
因为 BC=BA AD DC AB AD AB AB AD
2 2

AP AB BP=AB BC AB 1

AB AD 1

所以 1 AB AD
2 2
所以m 1 1 ， n 所以2m n 2
2
1 2 2m n 2m n 1 n 2m 1 2 2 n 2m 4
m n 2m n 2m n 2m n
n 2m
当且仅当 ，即 n 2m取等，此时 1， P与C重合，符合题意.
2m n
故选：C.
多选题（每题 5分，共 4小题）
9. ACD
10．已知 i是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A. i2021 i
B. “ a 0 ”是“复数 a bi a,b R 是纯虚数”的必要不充分条件
C. 若复数 z a i a R ，且 z 2，则 a 3
D. 若复数 z满足 2z z 3 2i，则复数的虚部为-2
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数得乘方运算即可判断 A；
根据纯虚数得定义及充分性和必要性得定义即可判断 B；
根据复数得模得计算求出 a，即可判断 C；
设复数 z a bi a,b R ，根据复数得加法运算及复数相等得条件即可求出复数 z，从而可判断 D.
1010
【详解】解：对于 A， i2021 i2 i i，故 A错误；
对于 B，若复数 a bi a,b R ，则 a 0且b 0，
所以“ a 0 ”是“复数 a bi a,b R 是纯虚数”的必要不充分条件，故 B正确；
对于 C，若复数 z a i a R ，且 z a2 1 2，解得 a 3 ，故 C错误；
对于 D，设复数 z a bi a,b R ，则 2z z 2a 2bi a bi 3a bi 3 2i，
所以 a 1,b 2，故 z 1 2i，所以复数的虚部为-2，故 D正确.
故选：BD.
11．下列命题中，正确的是（ ）
A. 在△ ABC中，若 sin A sin B，则 A B
B. 在锐角△ ABC中，不等式 sin A cosB恒成立
C. 在△ ABC中，若acos A bcosB，则△ ABC必是等腰直角三角形
D. 在△ ABC中，若 B 60 ，b2 ac，则△ ABC必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得

A B 0，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，
2 2
结合三角形内角的性质判断内角 A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得 (a c)2 0，进而
判断△ ABC的形状.
【详解】A：若 sin A sin B a b，而 ，即 a b，故 A B ，正确；
sin A sin B
B：由锐角△ ABC知： A B
A ，即 B 0，则 sin A sin( B) cos B，正确；
2 2 2 2
C：由题设 sin Acos A sin BcosB，可得 sin 2A sin 2B，又 A,B (0, )，则 A B或 A B

，
2
故△ ABC为等腰或直角三角形，错误；
D：由题设，b2 ac a2 c2 ac，故 (a c)2 0，即a c，又 B 60 ，可知 a b c，故△ ABC
必是等边三角形，正确.
故选：ABD

12．已知四边形 ABCD是边长为 2的正方形， P为平面 ABCD内一点，则 PA PB PC PD
（ ）
A．最小值为 4 B．最大值为 4
C．无最小值 D．无最大值
【答案】AD
【详解】
建立如图所示的直角坐标系
则 A 0,0 ，B 2,0 ，C 2,2 ，D 0,2 .

设 P x, y ，则 PA x, y ， PB 2 x, y ， PC 2 x, 2 y ， PD x, 2 y ，

所以 PA PB PC PD 2 2x , 2y 2 2x , 4 2y 2 2x 2 2y 2 2 4 ，

所以当 x 1， y 1时， PA PB PC PD 取得最小值 4，无最大值.
故选：AD．
三、填空题（每题 5分，共 4小题）
13． i
a
14. 已知向量 ，b 满足| a |＝1，|b | ＝2，|a b |＝2，则| a b |＝ ▲ ．
【答案】 6
2 2 1
【详解】由题意知： | a b |2 a 2a b b 5 2a b 4，即 a b ，2
2 2
而 | a b |2 a 2a b b 5 2a b 6，

∴| a b | 6，
15．一船以 22 3 km/h的速度向正北航行，在 A处看灯塔 S在船的北偏东 45°，1小时 30分后航行到 B处，在 B处
看灯塔 S在船的南偏东 15°，则灯塔 S与 B之间的距离为 ▲ km．
【答案】33 2
【详解】
如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，根据航速为 22 3 km/h，
则 3 （ km），由正弦定理可得AB 22 3 33 3 33 3 SB
，所以 SB＝33 2 (km)，
2 sin120 sin 45
故答案为：33 2 .
16. 已知等边 ABC，D是 ABC外的一点，且 AD 2，CD 1，则平面四边形 ABCD的面积的最
大值是_________．
【答案】
2 5 3
4
【解析】
【分析】设等边三角形边长为 a 3，应用三角形面积公式、余弦定理有 S 2ABCD a sinD、4
5 4cosD a2，代换 a2后应用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值.
3
【详解】若等边三角形边长为 a，则 S 2ABCD S ABC S ACD a sinD，4
又 AC2 AD2 CD2 2AD CD cosD 5 4cosD a2，
S 5 3所以 ABCD 3cosD sinD 2sin(D
) 5 3 ，
4 3 4
2
而0 D ，则 D ，
3 3 3
D 所以当 时，平面四边形 ABCD S 2 5 3的面积的最大值是 ABCD .3 2 4
故答案为： 2 5 3
4
三、解答题（共 5题，共 70分）
17．已知m R，复数 z 2m2 m 1 m2 1 i（其中 i为虚数单位）
（1）当实数 m取何值时，复数 z是纯虚数；
（2）若复数 z1 z 3i在复平面内对应的点位于第一象限，求实数 m的取值范围.
1 1
【答案】（1） ；（2） 2, 1,2 .2 2
【解析】
【分析】（1）由复数 z是纯虚数，列出方程，解得即可得出答案；
（2）求出 z1，根据其在复平面内对应的点位于第一象限，列出不等式组，即可求出实数 m的取值范
围.
【详解】解：（1）因为复数 z是纯虚数，
2m2 m 1 0
所以 2 ，
m 1 0
m 1解得： ；
2
2 2
（2）由已知得 z1 z 3i 2m m 1 m 1 i 3i 2m2 m 1 4 m2 i，
因为其在复平面内对应的点位于第一象限，
2m2 m 1 0
所以 2 ，
4 m 0
解得： 2 m 1 或1 m 2
2

即实数 m的取值范围是 2,
1
1,2 .
2

18．（12分）已知 a (1,2)，b (2, 2)， c b a .

（1）求 a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若a c，求实数 的值和向量 c .
1 10【答案】（ ） ；（2）
2
， (12 , 6 ) .
10 5 5 5
【详解】

（1）由 a (1,2)，b (2, 2)，
a b 1 2 2 2
所以 cos a,b

10
a b 5 2 2 10
，

所以 a与b的夹角θ
10
的余弦值为 .
10

（2）若 a c，则 a c 0，
2所以 a b a a b a 0，
2
即 2 5 0，解得 .
5

c 2 b a b a 2, 2 2 1,2 (12 , 6 ) .
5 5 5 5
19. 已知函数 f x sin2x 3sinxcosx .
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若 f x 在区间 ,m
3
上的最大值为 ，求m的最小值. 3 2
π
【答案】（Ⅰ） π ；（Ⅱ） .
3
【解析】
2
【分析】（I）将 f (x)化简整理成 f (x) Asin( x )的形式，利用公式T 可求最小正周期；（II）
| |

根据 x [ ,m] ，可求 2x 的范围，结合函数图象的性质，可得参数m的取值范围.
3 6
f x 1 cos2x 3 3 1 1 π 1【详解】（Ⅰ） sin2x sin2x cos2x sin 2x ，2 2 2 2 2 6 2
所以 f x 的最小正周期为T 2π π .
2
f x sin 2x π 1（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
6 2
π π 5π π
因为 x ,m ，所以 2x , 2m . 3 6 6 6
要使得 f x π在 ,m
3
上的最大值为 ，
3 2

即 sin 2x
π π
在 ,m

上的最大值为 1.
6 3
2m π π π所以 ，即m .
6 2 3
π
所以m的最小值为 .
3
2 5
20.（本题 12分）在 ABC中， B 45 ， AC 10 ， cosC .
5
(1)求 BC边的长；
(2)求 AB边上的中线CD的长．
2 5 5
20.解（1）由 cosC ，得 sinC
5 5
sin A sin 180 45 2 3 10 C sinC cosC …………………………2分2 10
BC AC sin A 10 3 10由正弦定理，得 3 2 …………………………6分
sin B 2 10
2
AC 10 5
(2)由正弦定理，得 AB sinC 2 .
sin B 2 5
2
BD 1 AB 1 …………………………8分
2
由余弦定理，得CD BD2 BC 2 2BD BC cos B 13 …………………………12分
b cosB 1
21. 在① ，② 2bsin A a tan B，③ a c sin A csin A B bsin B这三个条件
a 3 sin A
中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 ABC的内角A， B，C所对的边分别是 a，b，c，若______.
（1）求角 B；
（2）若 a c 4，求 ABC周长的最小值，并求出此时 ABC的面积.
π
【答案】（1） B ；（2）
3 3
.
【解析】
【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；
（2）由余弦定理可得3ac 16 b2 ，利用基本不等式可求出b的最小值，即可求出周长最小值，再利
用面积公式求出面积.
sin B cos B 1
【详解】（1）选①，由正弦定理得 ，
sin A 3 sin A
π 1
∵ sin A 0 ，∴ 3 sin B cosB 1，即 sin B 6
，
2
∵0 B π π 5π π，∴ B ，
6 6 6
B π π∴ π，∴ B .
6 6 3
a sin B
选②，∵ 2bsin A a tan B， 2bsin A ，
cosB
sin B
由正弦定理可得 2sin B sin A sin A ，
cosB
1
∵ sin A 0，∴ cosB ，
2
π
∵ B 0, π ，∴ B .
3
选③，∵ sin A B sin π C sinC，
由已知结合正弦定理可得 a c a c2 b2，
a22 c
2 b2 ac 1
∴ a c2 b2 ac，∴ cos B ，
2ac 2ac 2
π
∵ B 0, π ，∴ B .
3
（2）∵b2 a2 c2 2ac cosB a c 2 3ac 16 3ac，即3ac 16 b2 ，
2
∴16 b2 3 a c ，解得b 2，当且仅当a c 2时取等号，
2
1
∴bmin 2， ABC周长的最小值为 6，此时 ABC的面积 S ac sin B 3 .2
22．（12分）目前，中国已经建成全球最大的 5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见
到 5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座 5G基站 AB，已知基站高
AB 50m，该同学眼高 1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在
初始位置 C处（眼睛所在位置）测得基站底部 B的仰角为 37°，
测得基站顶端 A的仰角为 45°.
（1）求出山高 BE（结果保留整数）；
（2）如图（第二幅），当该同学面向基站 AB前行时（保
持在同一铅垂面内），记该同学所在位置 C处（眼睛所
在位置）到基站 AB所在直线的距离CD xm，且记在
C处观测基站底部 B的仰角为 ，观测基站顶端 A的仰
角为 .试问当 x多大时，观测基站的视角 ACB最大
参考数据： sin 8 0.14， sin 37 0.6， sin 45 0.7， sin127 0.8 .
【答案】（1）152m；（2） x 100 3m.
【详解】
解：（1）由题知 ACB 8 , BAC 45 ，
在 AB BCABC 50 BC中，由正弦定理得 ，即 ，
sin ACB sin BAC sin8 sin 45
所以 BC 50 0.7 250
0.14
BD在 Rt BDC中， sin BCD ，即 sin 37 BD ，
BC 250
所以 BD 250 0.6 150，
所以山高 BE BD DE 150 1.5 151.5 152m.
（2）由题知 AMD ， BMD ，则
在 Rt BMD tan BD 150中，
MD x
Rt AMD tan AD 200在 中，
MD x
由题知 AMB ，则
200 150
tan AMB tan( ) tan tan

x x 50x
1 tan tan 1 200 150

x
2 30000
x x
50 50 50 3
30000 x 12
x 2 x
30000 200 3

x
x 30000当且仅当 即 x 100 3 m时， tan ACB取得最大值，即视角最大.x
2
已知 | a | 3， e (1,0)，向量 a与向量 e的夹角为 3 ，则向量 a在向量 e方向上的投影向量的坐标为
____________．
3
【答案】 ( ,0)
2
【解析】

【分析】由向量 a在向量 e方向上的投影向量为 a cos a,e e可得答案.

【详解】由向量 a在向量 e方向上的投影向量为

a cos a,e e 3 cos 2 e 3 1,0 3 ,0

3 2 2
3
故答案为： ,0
2

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