资源简介

湘教版八年级数学下册第1章：直角三角形练习题
一、单选题
1．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）在中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB的长为6cm，则BC的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．
3．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其沿边AB上的中线CE折叠，使点A落在点处，则∠EB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．40°
4．（2022秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ）
A．AM＝CM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC
5．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）如图是屋架设计图的一部分，其中，D是斜梁AB的中点，，垂直于横梁AC，cm，则DE的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
6．（2022春·湖南湘西·八年级统考期末）下列各组数是勾股数的为（　　）
A．2，4，5 B．8，15，17 C．11，13，15 D．4，5，6
7．（2022春·湖南张家界·八年级统考期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，数轴上的点表示的数是-2，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）如图所示，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧、两点间的距离，工人师傅测得，，则，两点间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，中，，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使．分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线BF交AC于点G，若，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
12．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（　　）
A．2：1 B．：1 C．3：2 D．2：
二、填空题
13．（2022春·湖南常德·八年级校考期末）如图，在中，，平分，垂直平分于．若，则的值是______．
14．（2022春·湖南长沙·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则______．
15．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为______．
16．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，则的值为______．
17．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．
18．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，以下五个结论：①AD=BE；②PQ//AE；③连接CO，则OC平分∠AOE；④DE=DP；⑤△CPQ为等边三角形．恒成立的结论有___________________(把你认为正确的序号都填上)．
19．（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC 的周长为，面积为，则点O到AB的距离为_________cm．
三、解答题
20．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，在中，，，，是斜边上的中线，是高，是的中点．
(1)求的长；
(2)证明：为等边三角形．
21．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为；
（2）如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
22．（2022春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，小慧和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千的长．
23．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
24．（2022春·湖南常德·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
25．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米．求这块地草坪绿化的价钱．
26．（2022春·湖南永州·八年级统考期末）如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和黄家宝塔B，我区某镇准备开发某桑葚基地C，经测量C位于A的北偏东方向上，C位于B的北偏东的方向上，且
(1)求黄家宝塔B与桑葚基地C的距离；
(2)为了方便游客到C采摘桑葚，该镇准备由C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
27．（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．
28．（2022春·湖南张家界·八年级统考期末）如图，、相交于点O，，．
(1)求证：；
(2)若∠ABC=31°，求的度数．
29．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线，垂足为点E，交于D点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
30．（2022春·湖南张家界·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．
参考答案：
1．A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：设，则，
由题意得：，即，
解得，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
2．B
【分析】根据角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：在中，
∵，，斜边的长，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的直角三角形的性质，熟练掌握角对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
3．C
【分析】由折叠的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，然后结合三角形的内角和，等腰三角形的性质，即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，CE是中线，
∴，
有折叠的性质，则
，，
∴，
∵∠A=50°，
∴∠ACE=50°，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出角的度数．
4．D
【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高线，中线的性质逐项判定解答即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AM=BM=CM=AB，故A选项正确，不符合题意；
∠ACH+∠BCH=90°，
∵CH分别是斜边AB上的高线，
∴CH⊥AB，
∴∠AHC=∠BHC=90°，故B选项正确，不符合题意；
∴∠B+∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠B，故C选项正确，不符合题意；
只有当∠A=30°时，BC=AB=MC，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求出AB的长度，进而求出AD的长度，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出DE的长度．
【详解】解：∵BC⊥AC，D是斜梁AB的中点，，
∴．
∴．
∵∠A=30°，DE⊥AC，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，30°所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握这些知识点是解题关键．
6．B
【分析】勾股数是应该符合a2+b2＝c2的据此作答即可．
【详解】解：A、22+42＝20≠52，故A不是；
B、82+152＝289＝172，故B是勾股数；
C、112+132＝290≠152，故C不是；
D、42+52＝41≠62，故D不是；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股数的特点和判定方法是解题的关键．
7．A
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD
∴△CFE≌△AFD
∴EF=DF
设AF=xcm，则DF=（8-x）cm
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，
故选择A.
【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
8．A
【分析】由勾股定理可求得AC的长度， 再由AD=AC，OA=2即可求得OD的长，从而可得点D表示的数．
【详解】∵，AB=3，BC=2
∴由勾股定理得：
∴
∵OA=2
∴
∴点D表示的数是
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，运用勾股定理是关键．
9．A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，再求出答案即可．
【详解】∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=AB，
∵AC=3km，BC=4km，∠ACB=90°，
∴AB=5km，
∴CM=2.5（km），
即M，C两点间的距离为2.5km，
故选：A．
【点睛】考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质掌：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10．A
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度==12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
11．B
【分析】过点G作于H．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，过点G作于H．
由作图可知，GB平分，
∵，，
∴，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
12．B
【分析】由已知条件可得点D到∠ABC两边距离相等，即两三角形的高相等，要求三角形的面积比，只要求出两个三角形的底的比即可．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DC
又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；发现并利用两个三角形等高是正确解答本题的关键．
13．6
【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，设，则，在中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：平分，
，
垂直平分，
，
，
，
又，
，
解得，
设，则，
在中，，，
，即，
解得，
即，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
14．13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
15．﹣9cm2
【分析】根据题意，得∠DCE=90°，结合勾股定理的性质，计算得CD2+CE2=DE2；再根据正方形的性质，得S1= CD2，S2= DE2，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：∠DCE=90°，
∴CD2+CE2=DE2
∵正方形ABCD的边长为CD，面积为S1；正方形DEFG的边长为DE，面积为S2，
∴S1= CD2，S2= DE2，
∵CE的长为3cm，
∴，
∴S1－S2=﹣9cm2，
故答案为：﹣9cm2．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理、正方形的性质，从而完成求解．
16．49
【分析】图中小正方形的边长是，图中直角三角形的面积是，根据面积的和差可得，勾股定理可得，进而根据完全平方公式即可求得答案．
【详解】由题意可知，图中小正方形的边长是，图中直角三角形的面积是，根据已知数量可得：
，，
解得，，
∴.
故答案为：49
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，掌握勾股定理是解题的关键．
17．4
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2
解得：x＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故答案为：4.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键．
18．①②③⑤
【分析】根据等边三角形的性质，证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；然后利用ASA证明△CQB≌△CPA，得到CQ＝CP，则△PCQ为等边三角形，⑤正确；然后求出∠CPQ＝∠ACP＝60°，可得PQ∥AE，②正确；根据∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，可知DC≠DP，则DE≠DP，④错误；连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，根据S△BCE＝S△ACD可得CM＝CN，进而可得OC平分∠AOE，③正确．
【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，①正确；
∵∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCQ＝60°，即∠BCQ＝∠ACP＝60°，
又∵AC＝BC，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CQ＝CP，
∴△PCQ为等边三角形，⑤正确；
∴∠CPQ＝60°，
∴∠CPQ＝∠ACP，
∴PQ//AE，②正确；
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠DPQ＋∠QPC＞60°，
∴DC≠DP，
∴DE≠DP，④错误；
连接CO，过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，
∴S△BCE＝S△ACD，BE＝AD，
∴×BE×CM＝×AD×CN，
∴CM＝CN，
∴OC平分∠AOE，③正确；
故正确的有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，等角对等边，角平分线的性质等知识，熟练应用全等三角形的判定和性质是正确解答本题的关键．
19．3
【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
同理，OD=OE=OF，
∵△ABC 的周长为，面积为，
则AB OD+AC OF+CB OE=36，即×（AB+AC+BC）×OD=36，
∴OD=3（cm），
∴点O到AB的距离为3
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；
（2）先根据直角三角形的性质可得，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据等边三角形的判定即可得证．
【详解】（1）解：在中，是斜边上的中线，，
．
（2）证明：在中，，，
，
是斜边上的中线，
，
是等边三角形，
，
又，是的中点，
，
为等边三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
21．（1）见解析；（2）45°
【分析】（1）以直角边构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为，再以2为边，即可求解；
（2）连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】解：（1）以直角边构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为，再以2为边，作图如下：
（2）连接，如下图：
由勾股定理可得：、、
∵
∴
∴为直角三角形，
又∵
∴为直角直角三角形
∴
【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
22．秋千的长为4m
【分析】设AB＝x，在Rt△AEB中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题
【详解】解：设，则，
由题意可得出：，
则，
在中，
，
则
解得：．
答：秋千的长为.
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．12m
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，
∴
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m.
【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长．
24．（1）5；（2）详见解析．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；
（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题关键．
25．3600元
【分析】用勾股定理计算AC的长，再用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再用三角形面积公式计算凹四边形ABCD的面积，最后计算这块地草坪绿化的价钱．
【详解】解：连接AC，，
∵，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴，
（元）．
答：这块地草坪绿化的价钱为3600元．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形面积公式，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练运用三角形面积公式，熟练计算绿地造价．
26．(1)
(2)
【分析】（1）先根据方向角的定义得出，，由三角形内角和定理求出，则，根据等角对等边求出；
（2）首先过点C作，垂足为D，然后在中，利用勾股定理求得答案．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴黄家宝塔到桑葚基地C的距离为；
（2）过点C作于点D
在中，，
∴
∴
∵ ，即
即C到公路l的最短距离为
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识．根据条件得出是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)等腰三角形，证明见解析
【分析】（1）利用HL公理证明 Rt△ABC≌Rt△DCB ；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB证明∠ACB＝∠DBC，从而证明△OBC是等腰三角形.
【详解】（1）证明：在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查斜边直角边判定两个直角三角形全等和等腰三角形的判定与性质，熟练掌握斜边直角边等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)28°
【分析】（1）利用斜边直角边定理证明两个三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的性质证明∠ABC=∠BAD=31°，再求解 再利用角的和差关系可得答案．
（1）
证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=31°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=59°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=28°．
【点睛】本题考查的是利用斜边直角边定理证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握“斜边直角边定理”是解本题的关键．
29．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，从而得到，进而得到，再利用角平分线的性质定理的逆定理，即可求证；
（2）根据直角三角形的性质可得，再由线段垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵是的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴，
在中，，
∴．
又∵，
∴；
（2）解∶∵在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．
30．10cm
【分析】先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠30°，
∴∠ABC=60°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°．
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=DB，
在Rt△CBD中，CD=5cm，∠CBD=30°，
∴BD=10cm．
由勾股定理得，BC=5，
∴AB=2BC=10（cm）．
【点睛】本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．

展开更多......

收起↑