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(共23张PPT)
第八章排列组合
学习目标
重点：掌握排列组合相关概念及区别，掌握二项式定理及性质。
难点：运用排列组合及二项式定理和性质解决实际问题。
知识梳理
1．排列
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的__________．如果m＜n，这样的排列叫作________．如果m＝n，这样的排列叫作_________．
2．排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_____表示．
3．排列数公式
(1) ＝_______________________________________；
(2) ＝___________；(3)0！＝______.
排列与排列数公式
选排列
一个排列
全排列
n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)
1
知识梳理
1．组合
一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个______．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的________，用符号 表示．
组合与组合数公式及性质
组合数
组合
知识梳理
3．组合数公式
或 (n，m∈N＋，且m≤n)．
4．组合数性质
(1)_______；(2)__________________．
知识梳理
二项式定理
1．二项式定理
(a＋b)n＝ ， n∈N＋
其中， (m＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数；
Tm＋1_________＝叫做二项式展开式的通项公式．
2．二项式系数的性质
(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ；
(2)如果二项式的幂指数n是偶数，那么中间一项即第 项的系数最大；如果二项式的幂指数n是奇数，那么中间两项即第 项和第 项的二项式系数相等且最大；
(3)(a＋b)n的二项式系数之和为2n，
即 ＝_____；
(4)(a＋b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，
即 ＝________.
知识梳理
2n－1
2n
典例解析
【例1】　 4名男生和3名女生排成一排照相，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法．
(1)同学甲必须排在最左边或最右边；
(2)同学甲、乙均不在两端；
(3)同学甲、乙相邻；
(4)同学甲、乙不相邻．
(1)1440
(2)2400
(3)1440
(4)3600
【解析】　(1)甲排在两头，可先排甲同学，再排其他6名同学，即 ＝2×720＝1440(种)．
(2)第一步，在中间5个位置中选两个排甲、乙两人；第二步，剩余5人全排列，即 ＝20×120＝2400(种)．
典例题型
典例解析
【解析】　(3)相邻问题可采用捆绑法．第一步，把甲、乙看成一个元素，与其他5人共6个元素进行全排列；第二步，甲、乙二人进行全排列．即 ＝720×2＝1440(种)．
(4)不相邻问题可用插空法．第一步，把甲、乙之外的5名同学进行全排列；第二步，在5名同学之间或两端共6个空中插入甲、乙两名同学．即 ＝120×30＝3600(种)．
典例解析
【例2】　用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，求：
(1)组成的三位数的个数；
(2)组成的三位数中偶数的个数；
(3)组成的三位数中比200大的数字的个数；
(4)组成的三位数中奇数的个数．
(1)48　
　(2)30
　(3)36
　(4)18
【解析】　(1)应采用特殊位置优先法．因为0不能为首位(百位)，所以首位的排法有 种，其他两位是从剩余的4个数字中选2个的一个排列，有 种，所以共有 ＝48(种)．
典例解析
【解析】　(2)由于0的存在，应分两类：第一类个位是0，有 个；第二类，个位不是0，先确定个位，从2，4中选一个，有 种，再确定首位，有 种，剩余的一位是从3个数中选1个，有 种．所以共有 ＝30(种)．
(3)要组成比200大的数，首位应从2，3，4中选一个，有 种选法，其他两位有 排法，所以共有 ＝36(个)比200大的数．
(4)个位上的数字需从1，3中选一个，有 种选法，首位从剩余的3个不是0的数字中选一个，有种 选法，十位上的数有 种选法．所以共有 ＝18(个)奇数．
注意：对数字进行排列时，如果数字中含有0，应区别对待．因为0作为特殊元素，不能在首位出现．
典例解析
【例1】　 在产品检验中，常从产品中抽取一部分产品进行检验．现有100件产品，其中有2件次品，现从中任意抽取3件．问：
(1)一共有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法共有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法共有多少种？
(1)161700
(2)9506　
(3)9604
【解析】　(1)所求抽法的总数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，即 ＝161700(种)．
(2)分两步：第一步，从2件次品中抽取1件，有 抽法，所以，不同的抽取方法共有 ＝2×4753
＝9506(种)．
典例解析
【解析】　(3)方法一：从100件产品中抽出3件，至少有1件次品的抽法，包括抽取1件次品和2件次品两类抽法．因此，至少有1件次品的抽法种数为 ＝9506＋98＝9604(种)．
方法二：从100件产品中抽出3件的所有抽法中，除抽出3件都是合格品外，剩下的就是至少有1件次品的抽法，共有抽取方法 ＝161700－152096＝9604(种)．
注意：认真审题，确定好该问题是排列问题还是组合问题，含有限制条件时常常结合两个计数原理直接完成或采用间接法来完成．
典例解析
【例2】　学校组织一项活动，要从5名男同学，3名女同学中选4名．
(1)共有多少种选法？
(2)若甲同学必须去，有多少种选法？
(3)若甲、乙两人只能且必须去一人，有多少种选法？
(1)70　(2)35　(3)40
【解析】　(1)所有不同选法是从8人中选4人的组合数．
∴共有 ＝70种选法．
(2)若甲同学必须去，再从其他7人中选3人即可．
∴共有 ＝35种选法．
(3)甲、乙有1人去选法为 ，其他3人从其余6人中选有 种，∴共有选法 ＝2×20＝40种．
注意：认真审题，把握好问题的实质，分清是排列问题，还是组合问题．
典例解析
【例3】　从5名志愿者中选派4人在星期一、星期二、星期三参加公益活动，每人一天，要求星期一有一人参加，星期二有两人参加，星期三有一人参加，则不同的选派方法共有(　　)
A．30种 B．60种 C．360种 D．120种
B
【解析】星期一参加公益活动的人员，从5人中选1人，有 种选法；星期二参加公益活动的人员，从4人中选两人，有 种选法；星期三参加公益活动的人员，从2人中选1人，有种 选法．所以共有 ＝60(种)选法，故选B.
典例解析
【例4】　(1)计算： ；
(2)计算： ；
(3)计算：
(4)若 ，则x＝_____.
(1)161700
(2)165
4
(3)4950
【解析】　　(1) ＝161700.
(2) ＝165.
(3)
(4)由组合数性质得x＝3x＋2或x＋(3x＋2)＝18，解得
x＝－1(舍)或x＝4，∴x＝4.
典例解析
【例1】　在二项式 的展开式，求：
(1)第4项；
(2)含x6的项；
(3)常数项；
(4)二项式系数最大的项．
(1)－3240x4　
(2)405x6
(3)－61236
(4)－61236
【解析】　(1)T4＝T3＋1＝ ＝－3240x4，∴第4项是－3240x4.
(2)∵Tm＋1＝ ，
∴10－2m＝6，即m＝2.∴含x6的项为T3＝T2＋1
＝(－3)2 x6＝405x6.
典例解析
【解析】　(3)由(2)知10－2m＝0，即m＝5.
∴展开式的第6项是常数项，
即T6＝T5＋1＝ ＝－61236.
(4)∵n＝10，∴展开式有11项，中间一项的二项式系数最大，中间一项为第 ＋1＝6项．
∴T6＝T5＋1＝ ＝－61236.
注意：要求熟练掌握二项展开式的通项公式，并且解决此类问题时一定做到思路清晰，特别是不要把求出的m值视为所求的项数．
典例解析
【例2】　已知二项式 ，求：
(1)第7项的二项式系数和系数；
(2)展开式的所有二项式系数之和与系数之和．
(1)210，1680　
　(2)1024，
【解析】　(1) 的第7项的二项式系数为 ＝210；
的第7项为T7＝T6＋1＝ ＝1680a4b6，∴ 的第7项的系数为1680.
(2) 的展开式的所有二项式系数之和为210＝1024，
令a＝1，b＝1，则 的展开式的所有系数之和为
.
注意：二项式系数与项的系数的区别；二项式系数之和与系数之和的计算方法．
典例解析
【例3】　若 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是．
10
【解析】　展开式中各项系数之和为
S＝ ＝2n＝32，∴n＝5，
∴Tr＋1＝ (x2)5－r ＝ x10－2r－3r＝ x10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，
∴展开式中的常数项为T3＝ ＝10.
课堂小结
由学生总结，教师补充
当堂达标
1．书架上有6本不同的杂志，现有4名同学，若每人从书架上任取一本，则不同的取法有(　　)
A．125种 B．360种 C．240种 D．120种
2．用1，2，3，4，5可组成没有重复数字的三位数的个数是(　　)
A．30个 B．120个 C．60个 D．15个
3．对6个不同的元素进行全排列，若其中A，B两个元素必须排两端，且C，D两元素必须相邻的排法种数有(　　)
A．12种 B．24种 C．360种 D．720种
4.现有10件不同的产品，其中有7件正品，3件次品，从中抽出3件，其中恰有1件次品的抽法种数是(　　)
A．21种 B．63种 C．35种 D．120种
5.某班级要组织一项活动，需从8名同学中选4名，若甲、乙两人只能且必须去1人，则不同的选法的种数是(　　)
A．6种 B．28种 C．35种 D．40种
6.从5名志愿者中选派4人在星期一、星期二、星期三参加公益活动，每人一天，要求星期一有一人参加，星期二有两人参加，星期三有一人参加，则不同的选派方法共有(　　)
A．30种 B．60种 C．360种 D．120种
7.若(a＋b)n展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有(　　)
A．8项 B．9项 C．10项 D．11项
8.(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是(　　)
9.(1－x)9的二项式展开式中第4项的系数是(　　)
A．－84 B．－126 C．84 D．126
10.二项式(1－x)15的展开式中，二项式系数最大的项是(　　)
A．第8项 B．第9项
C．第7项和第8项 D．第8项和第9项
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