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高一数学参考答案
一、选择题
1．∵a∥b，a＝(2，3)，b＝(x，－6)，∴x＝－4，故选 B
2
2．z＝ ＝1＋i，故选 C
1－i
3 1 1 π π
3．∵ ＝ ∴sinB＝ ，又∵B∈(0，π)且 A＝ ，∴B＝ 故选 B
π sinB 2 3 6
sin
3
4．由课本 p19 例 4 知选 A
2 π
5．由题可知：cos(α＋β)＝ ，α＋β∈(0，π)∴α＋β＝ 故选 A
2 4
6．分别作出 y＝lnx与 y＝2－x的图象，易知选 B
π 1
7．cosA＝2－2sinB＞0，知 A∈(0， )，又∵cosA∈(0，1)∴sinB∈( ，1)故选 C
2 2
→ → → → → → → → → → →
8．由EF＝EA＋AB＋BF又EF＝ED＋DC＋CF，得DC＝3EF－2AB故选 C
二、多选题
9．由(a－2b)⊥a得 x＝1 故选 ACD
2 2
10．z＝ ＋ i 也满足 A，由 a，b∈C知 D错，故选 BC
2 2
11．由 tan60°tan(－95)°tan35°＝tan60°＋tan(－95)°＋tan35°知 A对，B结果为－ 3，
故选 AC
12．由题中条件可算得 BC＝ 7，AC＝1，AB＝3，由投影向量的几何意义可得 D为正确，
故选 BD
三、填空题
b＋c a
13． ＝ ＝4 3
sinB＋sinC sinA
2 1 3
14．由(cosα－sinα) ＝ ，知 sin2α＝
4 4
2 5 2 5
15．在ΔAPB中，BP＝ ＝2 5，cosα＝ ，sinα＝
cosα 5 5
2
同理在ΔDCP中 PC＝ ＝2 10，
3π
cos( －α)
4
2 2 2
在ΔBPC中，BC ＝BP ＋PC －2BP·PC·cos∠BPC得
BC＝2 5
2x π 1
16．由 f(x)＝2cosx－4sin sin( －x)－1－ |ln(x＋1)|
2 2 2
第 1 页 共 6 页
π 1
＝2cosx－2(1－cosx)sin( －x)－1－ |ln(x＋1)|
2 2
1
＝2cosx－2(1－cosx)cosx－1－ |ln(x＋1)|
2
1
＝cos2x－ |ln(x＋1)|
2
易知零点个数为 6
四、解答题
2 2
17．解：(1)设 z a bi(a,b R)，所以 | z | a b 2 ，①
2 2 2
因为 z a b 2abi ，又 z2 的虚部为2 ，所以2ab 2，② ……………2 分
a 1 a 1
由①②解得 或 ，所以 z 1 i或 z 1 i ， ………………4 分
b 1 b 1
又 z 所对应的点 A在第三象限，所以 z 1 i ． ………………5 分
(mi z)2(2) (mi 1 i)2 [1 (m 1)i]2 m2 2m 2(m 1)i， ………8 分
因为复数 (mi z)2 在复平面上对应的点在第二象限，
m2 2m 0
所以 ，解得m 0，
2(m 1) 0
故实数m的取值范围为 (0, ) . ……………………………………………10 分
18． 解：(1)因为a b ( 3,1)，所以 | a b | 2，a2 2a b b2 4， ………2 分
将 | a | 1， | b | 3，代入得a b 0 ， ……………………………4 分
所以 | a b | (a b)2 a2 2a b b2 2 ， ………………………6 分
(2)因为 | a | 1， ，所以 (a b) (a b) a2| b | 3 b
2 1 3 2，…8 分
(a b) (a b) 1
设a b 与a b 夹角为 ，所以cos ， ………10 分
| a b || (a b | 2
2 2
又因为 [0, ]，所以 ，即a b 与a b 夹角为 ． ………12 分
3 3
第 2 页 共 6 页
19．解：(1)设D(x, y)，因为 A( 1,0)，B(1,2)，C(4,1) ，
则 AB (2,2)，BC (3, 1) ， DC (4 x,1 y)， AD (x 1, y) ， …2 分
在直角梯形 ABCD中， AB //DC ，且BA BC ( 2, 2) (3, 1) 4 0 ,
AB / /DC 2(1 y) 2(4 x) 0
所以 A, D为直角，则 ，即 ，
AB AD 2(x 1) 2y 0
解得 x 1， y 2，所以顶点 D的坐标为 (1, 2) ． ………………………6 分
(2)因为 E 为线段BC 上靠近点C 的三等分点，则BC 3EC ，
设 E(a,b)，则 (3, 1) 3(4 a,1 b) ，
4 4
所以a 3，b ，所以E 3, ， …………………………………………8 分
3 3
又因为F 为线段 AB 的中点，则F(0,1)，
10
所以DE 2, ， DF ( 1,3) ， ……………………………………10 分
3
10
则3DE 2DF 3 2, 2( 1,3) (8,4) ，
3
所以 3DE 2DF 8
2 42 4 5 …………………………………………12 分
20．解：(1)因为 (a b c)(b c a) 3bc ，
b2 c2 2bc a2 2 2 2所以 3bc ，即b c a bc．…………………………2 分
b2 c2 a2 bc 1
在△ABC 中，由余弦定理得cos A ，
2bc 2bc 2

又 A (0, )，故 A ． ……………………………………………………4 分
3
3 5
(2)因 tan B 1，故B ，又因为 A ，所以C ．
5 4 3 12
第 3 页 共 6 页
所以 B 为最小角，C 为最大角，则b 为最短边，c为最大边．………………6 分

21sin B 3 sin B
3 14
由 tan B ，可得 cos B 5 ，解得 ……………8 分
5 5 7
sin
2 B cos2 B 1 cos B
14
sin C sin (A B) sin(A B) sin Acos B cos Asin B
3 5 7 1 21 3 21
． ……………………………………………10 分
2 14 2 14 14
c b
在△ABC 中，由正弦定理得 ，
sinC sin B
17 b 17
即 ，得b ． ……………………………………………12 分
3 21 21 3
14 14
2 1
21． 解：(1) f (x) 3sin xcos x cos x
2
3 1 cos2x 1
sin 2x
2 2 2
3 1
sin 2x cos2x
2 2

sin 2x …………………………………………………2 分
6
2
所以函数 f (x) 的最小正周期T ， ……………………………4 分
2

(2)因为 f 2x sin 2 2x sin 4x
3 3 6 2 3

cos 4x cos2 2x 1 2sin2

2x ………………6 分
3 6 6
第 4 页 共 6 页

所以mf (x) f 2x 2 0在 0, 上恒成立，，
3 3

即msin 2x 2sin
2
2x 1 0在 0, 上恒成立，
6 6 3
5 1
因为 x 0, ，所以2x , ，所以sin 2x ,1 ，
3 6 6 6

6 2
1
m 2sin 2x
所以 6 对 0,sin 2x 3
恒成立， ………………8 分

6
1
令 t sin 2x 则 t ,1 ，
6 2
1 1
则问题转化为m 2t 对 t ,1 恒成立，………………………………10 分 t 2
1 1 2 2
因为h t 2t 在 , 上单调递减，在 ,1 上单调递增，
t 2 2 2
1
又 h 3，h(1) 3，
2
1 1 1
所以h(t) 2t 在 t ,1 上的最大值为h(t)max h h 1 3， t 2 2
所以m 3，所以实数m的取值范围 3, ． ……………………………12 分
22． 解：(1) 去掉条件①：设 AB x ， AD y ，则 AC 3y．
在△ABD BD2中， AD2 AB2 2AD ABcos A
即13 x2 y2 2xycos60 x2 y2 xy ①…………………………2 分
2 2 2
同理在△ABC中BC AB AC 2AB AC cos A，
即13 x2 9y2 3xy ② …………………………………………………4 分
第 5 页 共 6 页
由①②联立可得 x 4， y 1．
即 AB 4， AD 1，故 AC 3． ………………………………………6 分
去掉条件④：设 AD x，则CD 2x ，在△ABD 中，
BD2 AD2 AB2 13 x2 16 x2 3
cos BDA ， ………………2 分
2BD AD 2 13x 2 13x
x
同理在△BCD 中，cos BDC ， ………………………………4 分
13
因为 ADB CDB，所以cos BDA cos CDB，
x2 3 x
即 ，解得： x 1．
2 13x 13
所以 AC 3x 3； …………………………………………………6 分
去掉②，③答案均不唯一，不成立．
(2)若删去①：
2
由(1)知 AD 1，设 AED ，因为 A ，则 ADE ．
3 3
DE AE 1
在△ADE 中，由正弦定理知
2 sin
sin sin
3

3
2
sin
3 3AE 则 DE ， ， ………………………………8 分
2sin sin
所以 ADE的周长 L AE DE AD
2
sin 3 1 cos sin
3
3
1 2 2
3
1
sin 2sin sin 2sin

2 3 cos2
3(1 cos ) 3 3 3 3
2 ……………10 分
2sin 2 2 4sin cos 22 tan
2 2 2
第 6 页 共 6 页

0 2

因为△ADE 为锐角三角形，则
2
，
0
3 2
7 13 π
所以 ，又∵cos∠ABD＝ ＞cos
6 2 26 6
π π
∴当 α∈( ， )时，E在边 AB上
6 2

所以 ，
12 2 4

因为 y tan x在 , 为单调增函数，则2 3 tan 1，
12 4 2
3 3 3 3
所以 3 3．
2 2
2 tan
2
3 3
所以△ADE 周长的取值范围为 ,3 3 ． ……………………12 分 2
若删去④：
由(1)知 AD 1，则在△ABD中由余弦定理得
AB2 AD2 BC2 16 1 13 1
cos A ，
2AB AD 8 2

因为 A (0, )，则 A ．
3
下面过程同删去①
第 7 页 共 6 页2022一2023学年度第二学期期中质量监测
高一年级数学试题
(本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效，
3.考试结束后，将答题卡交回，
一、
单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设x为实数，若向量a=(2,3),b=(x,-6),且a1/b,则x的值为
3
A.-
9
B.-4
D.4
2
2
2
2.已知复数z=一
'则下列结论正确的是
A.z的虚部为i
B.|z2
C.z2为纯虚数
D.z=-1+i
3.在△ABC中，若A=
3’a=V5,b=1,则B=
A.T或5z
B.Z
C.
2π
61
.6
6
3
D或
3
4.己知△ABC中，BD=1DC,则D=
A.3B+4C B.148+3AC C.4
D.4B+34C
4
4
5.已知sina=5
5,sinB10,a,B均为锐角，则a+B的值为
10
A.Z
c.
3π
、3π
D.
4
4
4
6.函数f(x)=lnx+x一2的零点所在的区间是
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(2,4)
7.在△ABC中，cosA+2siB=2,sinA+2cosB=V3,则C的大小为
5π
B.
π
6
c君
D.或
33
8.在任意四边形ABCD中，点E,F分别在线段AD,BC上，且AB=
AD,
BF=BC,AB=2,CD=6,EF=3,则AB与EF夹角的余弦值为
3
29
29
B.
则
c.2
D.
61
A.
48
48
72
高一数学第1页共4页
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的。全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.已知向量a=(-1,3),b=(x,2),且(a-2b)⊥a,则
A.b=(1,2)
B.|2a-b=25
C.向量a与向量b的夹角是45
D.向量Q在向量b上的投影向量坐标是(I,2)
10.下列结论中正确的是
A.若z=1,则z=士1或z=i
B.若z∈C,则z2日z2
C.若复数z满足|z=1,则川z+2的最大值为3
D.若a+bi=1+i(a,b∈C),则a=b=1
11.下列各式的值为√5的是
sin15°+cos15
A.tan95-tan35°-√3tan95°tan35
B,
sin15°-cos15
C.√2sin15°+√2cos15
D.sin215°-cos215°
12.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，
求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，
余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
现有△ABC满足sinA:sinB:sinC=√：l:3,且
33
S△ABc
则
A.△1BC外接圆的半径为2
B.若∠A的平分线与BC交于D,则AD的长为3N3
C.若D为BC的中点，则4D的长为
4
D.若O为△ABC的外心，则AO.(AB+AC)=5
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.在△ABC中，若a=2W3,A=30°，则
b+c
的值为
sin B+sin C
14.若cosa-sina=2则sin2a的值为—·
15.己知四边形ABCD中，AB IICD,AB⊥AD,P是AD的中点，∠BPC=T
AB=AD=4,则BC的长为
16.函数f闭=2cosx-45in2艺sn（行-81-n(x+0川的零点个数为
高一数学第2页共4页

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