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变量之间的关系
【题型1 常量与变量】
【例1】球的体积是V，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是V，R；常量是， B．变量是R；常量是
C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是
【变式1-1】一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（　　）
A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：y
C．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5
【题型2 自变量与因变量】
【例2】某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（ ）
定价（元） 100 110 120 130 140 150
销量（台） 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量B．销量是自变量C．定价是自变量D．定价是因变量
【变式2-1】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化．在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____．
【题型3 用表格表示变量之间的关系】
【例3】某种蔬菜的价格随月份变化如下表所示，根据表中信息，下列结论错误的是（ ）
月份
价格元千克
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．月份这种蔬菜的价格最低，最低为元千克
C．月份这种蔬菜的价格一直在下跌
D．月份这种蔬菜的价格一直在上涨
【变式3-1】2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温 0 5 10 15 20 25
声音在空气中的传播速度 331 334 337 340 343 346
(1)在这个变化过程中，________是自变量，______________是因变量．
(2)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高__________m/s．
(3)声音在空气中的传播速度与气温t（℃）的关系式可以表示为____________；
(4)某日的气温为22℃，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
【题型4 用关系式表示变量之间的关系】
【例4】某种长途电话收费方式为按时收费，前3分钟收费1.8元，以后每加一分钟收费1元，当时间分钟时的电话费y（元）与t（分）之间的关系式是___________
【变式4-1】在一次实验中，A同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测弹簧长度y（cm）随所挂物体的质量x（kg）变化关系如下表：
根据表格中数据写出y与x关系式：　 　
【变式4-2】若长方形的周长为16，长为y，宽为x，则y与x的关系式为 　 　．
【变式4-3】如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．
(1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？
(2)当每增加1cm时，如何变化？
(3)当时，等于什么？此时表示的是什么？
【变式4-4】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间关系如表：
印刷数量（张） … 100 200 300 400 …
收费（元） … 15 30 45 60 …
（1）表格体现了哪两个变量之间的关系
（2）直接写出收费（元）与印刷数量（张）之间关系式；
（3）若收费为300元，求印刷宣传单的数量．
【题型5 用图象表示变量之间的关系】
【例5】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．
【变式5-1】姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图②所示，结合图象：
（1）变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m．
（2）当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同；
（3）秋千摆动第一个来回 s．
【题型6 根据变量之间的关系判断图象】
【例6】小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　）
B． C． D．
【练习6-1】下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（　　）
A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④②
【题型7 图象综合练习】
【例7】如图是一辆汽车行驶的速度（千米/时）与时间（分）之间变化图，下列说法正确的是（　　）
A．时间是因变量，速度是自变量
B．从3分到8分，汽车行驶的路程是150千米
C．时间每增加1分钟，汽车的速度增加10千米/时
D．第3分钟时汽车的速度是30千米/时
例7图 练习7-1图
【练习7-1】小红从家出发去晨跑，她离家的距离y（米）与时间x（分）的关系图象如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．出发10分钟时，小红距离家1000米
B．整个晨跑过程一共走了3600米
C．返回时速度为60米/分
D．去时的平均速度小于返回速度
【练习7-2】一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【练习7-3】小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km．
【巩固练习】
1．圆的周长公式C=2πR中，下列说法正确的是（ ）
A．π、R是自变量，2是常量 B．C是因变量，R是自变量，2π为常量
C．R为自变量，2π、C为常量 D．C是自变量，R为因变量，2π为常量
2．已知的底边上的高为8cm，当底边从16 cm变化到5 cm时，的面积 ( )
A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2
C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2
3.如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为－3℃ B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
4.数学兴趣小组用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示：
支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．支撑物高度为时，小车下滑时间为
B．支撑物高度越大，小车下滑时间越小
C．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间
D．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以小于的任意值
5.从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟关系式是（ ）．
A．B．C． D．
6.一辆汽车以70km/h的速度在高速路上行驶，则该汽车行驶的路程S（km）与时间t（h）之间的关系式是______．其中自变量是______，因变量是______
7.根据如图所示的程序计算值，若输入x的值1.5，则输出的y值为 __ ．
8.声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下：
从表中可知音速y随温度x的升高而_____.在气温为20 ℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点________米.
9.将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．
（1）根据图，将表格补充完整：
白纸张数
纸条长度
（2）设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？
（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？
10.已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框从B—C—D—E—F—A的路径运动，记三角形ABP的面积为S（cm2），S与运动时间t（s）的关系如图2所示，若AB＝6cm，请回答下列问题：
（1）图1中BC＝　 　cm，CD＝　 　cm，DE＝　 　cm；
（2）求图2中m，n的值．
（3）当点P运动到DE上时，求S与t的关系式．
第三章变量之间的关系答案
【题型1 常量与变量】
【例1】球的体积是V，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是V，R；常量是， B．变量是R；常量是
C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是【答案】A
【变式1-1】一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（　　）
A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：y
C．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5【答案】C
【题型2 自变量与因变量】
【例2】某销售商对某品牌豆浆机的销量与定价的关系进行了调查，结果如下表所示，则（ ）
定价（元） 100 110 120 130 140 150
销量（台） 80 100 110 100 80 60
A．定价是常量B．销量是自变量C．定价是自变量D．定价是因变量【答案】C
【变式2-1】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化．
在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____．【答案】 r V
【题型3 用表格表示变量之间的关系】
【例3】某种蔬菜的价格随月份变化如下表所示，根据表中信息，下列结论错误的是（ ）
月份
价格元千克
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．月份这种蔬菜的价格最低，最低为元千克
C．月份这种蔬菜的价格一直在下跌
D．月份这种蔬菜的价格一直在上涨【答案】C
【变式3-1】2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮．八（1）班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温 0 5 10 15 20 25
声音在空气中的传播速度 331 334 337 340 343 346
(1)在这个变化过程中，________是自变量，______________是因变量．
(2)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高__________m/s．
(3)声音在空气中的传播速度与气温t（℃）的关系式可以表示为____________；
(4)某日的气温为22℃，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度(2)0.6(3)v=0.6y+331(4)1721m
【题型4 用关系式表示变量之间的关系】
【例4】某种长途电话收费方式为按时收费，前3分钟收费1.8元，以后每加一分钟收费1元，当时间分钟时的电话费y（元）与t（分）之间的关系式是___________
【答案】
【变式4-1】在一次实验中，A同学把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测弹簧长度y（cm）随所挂物体的质量x（kg）变化关系如下表：
根据表格中数据写出y与x关系式：　 　 【答案】
【变式4-2】若长方形的周长为16，长为y，宽为x，则y与x的关系式为 　 　．
【答案】
【变式4-3】如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．
(1)梯形面积与上底长之间的关系式是什么？
(2)当每增加1cm时，如何变化？
(3)当时，等于什么？此时表示的是什么？
【答案】(1)
(2)当每增加1cm时，增加
(3)等于240，此时表示的是三角形的面积
【变式4-4】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间关系如表：
印刷数量（张） … 100 200 300 400 …
收费（元） … 15 30 45 60 …
（1）表格体现了哪两个变量之间的关系
（2）直接写出收费（元）与印刷数量（张）之间关系式；
（3）若收费为300元，求印刷宣传单的数量．
【答案】（1）上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；（2）；（3）花费300元时，印了2000张宣传单．
【题型5 用图象表示变量之间的关系】
【例5】图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．
【答案】
【变式5-1】姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图②所示，结合图象：
（1）变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m．
（2）当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同；
（3）秋千摆动第一个来回 s．
【答案】（1）t，h，1；（2）1，7；（3）2.8．
【题型6 根据变量之间的关系判断图象】
【例6】小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　）
A． B． C． D．【答案】D
下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（　　）
③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④②
【答案】A
【题型7 图象综合练习】
【例7】如图是一辆汽车行驶的速度（千米/时）与时间（分）之间变化图，下列说法正确的是（　　）【答案】D
A．时间是因变量，速度是自变量
B．从3分到8分，汽车行驶的路程是150千米
C．时间每增加1分钟，汽车的速度增加10千米/时
D．第3分钟时汽车的速度是30千米/时
例7图 练习7-1图
【练习7-1】小红从家出发去晨跑，她离家的距离y（米）与时间x（分）的关系图象如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．出发10分钟时，小红距离家1000米
B．整个晨跑过程一共走了3600米
C．返回时速度为60米/分
D．去时的平均速度小于返回速度【答案】C
【练习7-2】一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题：
（1）开始时，汽车的油量______升；
（2）在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______；
（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？
【答案】（1）42；（2）5 ， 24 ，；（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升．
【练习7-3】小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题：
(1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km．
(2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ．
(3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km．
【答案】（1）t，s，60；(2) 1,60,小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ;(3)30或45．
【巩固练习】
1．圆的周长公式C=2πR中，下列说法正确的是（ ）
A．π、R是自变量，2是常量 B．C是因变量，R是自变量，2π为常量
C．R为自变量，2π、C为常量 D．C是自变量，R为因变量，2π为常量
【答案】B
2．已知的底边上的高为8cm，当底边从16 cm变化到5 cm时，的面积 ( )
A．从20 cm2变化到64 cm2 B．从40 cm2变化到128 cm2
C．从128 cm2变化到40 cm2 D．从64 cm2变化到20 cm2【答案】D
3.如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为－3℃ B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升 D．从14时至24时，气温随时间增长而下降【答案】C
4.数学兴趣小组用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度与小车下滑时间之间的关系如下表所示：
支撑物高度 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．支撑物高度为时，小车下滑时间为
B．支撑物高度越大，小车下滑时间越小
C．若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间
D．若支撑物高度为，则小车下滑时间可以小于的任意值【答案】D
5.从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟关系式是（ ）．
A．B．C． D．【答案】C
6.一辆汽车以70km/h的速度在高速路上行驶，则该汽车行驶的路程S（km）与时间t（h）之间的关系式是______．其中自变量是______，因变量是______
【答案】 S＝70t 时间（t） 路程（S）
7.根据如图所示的程序计算函数值，若输入x的值1.5，则输出的y值为 __ ．
【答案】
8.声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下：
从表中可知音速y随温度x的升高而_____.在气温为20 ℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点________米.
【答案】 增大； 68.6.
9.将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．
（1）根据图，将表格补充完整：
白纸张数
纸条长度
（2）设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？
（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？
【答案】（1） ， ；（2）；（3）不可能，理由见解析
10.已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框从B—C—D—E—F—A的路径运动，记三角形ABP的面积为S（cm2），S与运动时间t（s）的关系如图2所示，若AB＝6cm，请回答下列问题：
（1）图1中BC＝　 　cm，CD＝　 　cm，DE＝　 　cm；
（2）求图2中m，n的值．
（3）当点P运动到DE上时，求S与t的关系式．

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