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课程主题：平行线
学习目标 1. 熟练找出“同位角、内错角、同旁内角”； 2. 区别平行线的判定与性质，能用性质和判定解决综合问题； 3. 通过具体实例巩固平移，理解平移的性质； 4. 会运用平行线和平移的知识解决有关的简单问题.
教学内容
【进门测试】 1、找出下图中的同位角、内错角、同旁内角 (只限用数字表示的角). 【答案】 解：图中同位角有: ∠1与∠4 内错角有: ∠1与∠7, ∠3与∠6 ,∠2与∠5 同旁内角有: ∠2与∠7, ∠7与∠6,∠2与∠6, ∠3与∠5, ∠3与∠4, ∠4与∠5 2.如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF. （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 【答案】 解：（1）∵CB∥OA， ∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°， ∵OE平分∠COF， ∴∠COE=∠EOF， ∵∠FOB=∠AOB， ∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°； （2）∵CB∥OA， ∴∠AOB=∠OBC， ∵∠FOB=∠AOB， ∴∠FOB=∠OBC， ∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC， ∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值； （3）在△COE和△AOB中， ∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB， ∴∠COE=∠AOB， ∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线， ∴∠COE=∠AOC=×80°=20°， ∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°， 故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60° 3、已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，有∠BED＝ ∠ABE+∠CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是( ). A．∠BED＝∠ABE+∠CDE或∠BED＝∠ABE-∠CDE B．∠BED＝∠ABE-∠CDE C．∠BED＝∠CDE-∠ABE或∠BED＝∠ABE-∠CDE D．∠BED＝∠CDE-∠ABE 【答案】C （提示：过点E作EF∥AB） 4．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（　　） A．120° B．108° C．126° D．114° 【答案】解：如图，设∠B′FE＝x， ∵纸条沿EF折叠， ∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF， ∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°， ∵纸条沿BF折叠， ∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°， 而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°， ∴x+x+x﹣18°＝180°， 解得x＝66°， ∵A′D′∥B′C′， ∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°， ∴∠AEF＝114°． 故选：D． 5.把一个含30°的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置放置，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40° 【答案】如图，∵直尺的两边互相平行，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=30°-∠3=30°-20°=10°．
故选A． 6.如图,△ABC中,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,则图中能用字母表示的相等的角的对数有()
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对 【答案】能用字母表示的相等的角的对数有6对。 ∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，∠DEC=∠ECB，∠EDB=∠DBC，∠ABD=∠EDB. 故选D. 一、平行线的定义及三线八角 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 要点诠释： （1）平行线定义中包含三层含义：在同一平面内、不相交、两条直线． （2）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2.三线八角： 二、平行线的判定和性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【要点诠释】 （1）两条平行线间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离：两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3） “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 三、图形的平移 定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移． 【要点诠释】 平移的性质： （1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等. 知识点一、同一平面内的两直线的位置关系 【例题精讲】 过一点画已知直线的平行线（ ）
A. 有且只有一条
B. 不存在
C. 有两条
D. 不存在或有且只有一条 【答案】若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线； 若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行。 故选D. 2.下列说法中，正确的是(　　) A.两条不相交的直线叫做平行线 B.同一平面内不相交的一条线段与一条直线平行 C.同一平面内的两条线段，若它们不相交，则一定互相平行 D.在同一平面内，两条直线不相交就平行 【答案】A．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，题干说法少前提条件“在同一平面内”，所以题干说法错误； B.线段延长后可以与直线相交，所以题干说法错误； C.线段延长后可以相交，所以题干说法错误； D.在同一平面内，两条直线不相交就平行，本选项正确. 故选：D. 3.判断题(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在同一平面内,两条直线有且只有一个公共点。（ ） (2)在同一平面内,不相交的两条射线互相平行。（ ） (3)一条直线的平行线有且只有一条。（ ） 【答案】 （1）重合时有无数交点，故错 （2）定义题，是直线，故错 （3）错 知识点二、三线八角 【例题精讲】 1.如图所示,同位角共有()
A. 6对
B. 8对
C. 10对
D. 12对 【答案】 如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对， 射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角； 射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角； 射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角。 则总共10对。 故选C 2.如图所示，下列说法错误的是（　　） A．∠A和∠B是同旁内角 B．∠A和∠3是内错角 C．∠1和∠3是内错角 D．∠C和∠3是同位角 【答案】 解：根据内错角、同旁内角和同位角的定义可知：A、C、D均是正确的，只有B错误．故选B． 　 3．如图，若两条平行线EF，MN与直线AB，CD相交，则图中共有同旁内角的对数为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】解：以CD为截线， ①若以EF、MN为被截直线，有2对同旁内角， ②若以AB、EF为被截直线，有2对同旁内角， ③若以AB、MN为被截直线，有2对同旁内角； 综上，以CD为截线共有6对同旁内角． 同理：以AB为截线又有6对同旁内角． 以EF为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角， 以MN为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角， 综上，共有16对同旁内角．故选D． 4．如图，DE，BC被那条直线所截，得到哪些同位角，内错角或同旁内角？请一一指出． 【答案】解：DE，BC被直线AB所截，得到同位角是：∠1与∠B； DE，BC被直线AC所截，得到同位角是：∠3与∠C； DE，BC被直线BE所截，得到内错角是：∠4与∠5； DE，BC被直线AB所截，得到同旁内角是：∠2与∠DBC； DE，BC被直线AC所截，得到同旁内角是：∠C与∠DEC． 热点剖析：在复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角，需要先把多余的线略去，仅保留一组“三线八角”的基本图形，找完需要的角后再换一组基本图形，一定要做到不重不漏。 知识点三、平行线的性质与判定 【例题精讲】 1．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本小题正确； ②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本小题正确； ③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本小题正确； ④∵∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误； ⑤∵∠6＝∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确． 故选：B． 2.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】解：∠B＝∠DCE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）； ∠ACE＝∠DEC，则AC∥DE（内错角相等，两直线平行）． ∠EAC+∠ACD＝180°，则AE∥DB（同旁内角互补，两直线平行）． 则线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有：AB∥EC，AC∥DE，AE∥DB共3组． 故选：C． 3．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1＝42°，则∠2等于（　　） A．130° B．138° C．140° D．142° 【答案】解：如图： ∵AB⊥GH，CD⊥GH， ∴∠GMB＝∠GOD＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠BPF＝∠1＝42°， ∴∠2＝180°﹣∠BPF＝180°﹣42°＝138°， 故选：B． 如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，∠A＝50°，∠1＝60°，∠4＝50°，∠BFE＝120°． （1）求∠2的度数； （2）求证：DE∥BC； （3）求证：∠3＝∠B． 【答案】解：（1）∵∠A+∠1+2＝180°，∠A＝50°，∠1＝60°， ∴∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°； （2）∵∠4＝50°， ∴∠3＝60°， ∵∠BFE＝120°， ∴∠3+∠BFE＝180°， ∴DE∥BC； （3）∵∠A＝50°，∠4＝50°， ∴∠A＝∠4， ∴DB∥EF， ∴∠B＝60°， ∴∠3＝∠B． 如图,∠BEC=95°,∠C=45°,∠ABE=130°，则AB与CD平行吗 请说明理由。 【 【答案】解： AB∥CD. 理由：过点E作EF∥AB， ∵∠ABE=130°， ∴∠BEF=180° 130°=50°， ∵∠BEC=95°， ∴∠FEC=95° 50°=45°. ∵∠C=45°， ∴∠FEC=∠C， ∴EF∥CD， ∴AB∥CD. 6．如图，AB∥CD，点P，P1，P2，分别在两条平行线之间，∠P＝40°，∠P2＝130°，若∠PAP1＝∠PAP2，∠PCP1＝∠PCP2．则∠P1的度数为（　　） A．60° B．65° C．70° D．80° 【答案】解：∵∠P＝40°，∠P2＝130°， ∴∠PAC+∠PCA＝140°，∠P2AC+∠P2CA＝50°， ∴∠PAP2+∠PCP2＝140°﹣50°＝90°， 又∵∠PAP1＝∠PAP2，∠PCP1＝∠PCP2， ∴∠PAP1+∠PCP1＝30°， ∴∠P1AP2+∠P1CP2＝90°﹣30°＝60°， ∴∠P1AC+∠P1CA＝60°+50°＝110°， ∴∠P1的度数为70°， 故选：C． 7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β﹣γ＝90° 【答案】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ， 因为AB∥EF，所以∠1＝∠2，于是 90°﹣α＝β﹣γ，故α+β﹣γ＝90°． 故选：D． 8．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试猜想∠AED和∠C的关系，并证明你的结论． 【答案】解；猜想：∠AED=∠C， 理由：∵∠2+∠ADF=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知）， ∴∠1=∠ADF（同角的补角相等）， ∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3=∠B（已知）， ∴∠B=∠ADE（等量代换）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）． 【归纳总结】 常用的判定平行线的方法有： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 同位角相等，两直线平行 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 知识点四、常见辅助线做法 1．如图，AB∥CD，EC⊥CD于C，CF交AB于B，已知∠2=29°，则∠1的度数是（　　） A．58° B．59° C．61° D．62° 【答案】解：延长DC到F， ∵EC⊥CD， ∴∠DCE=90°， ∵∠2=29°， ∴∠3=61°， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠3=61°， 故选：C． 2．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为　80°　． 【答案】解：过点F作直线MF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MF， ∴∠1=∠ABF，∠2=∠CDF， ∵∠1+∠2=∠BFD=140°， ∴∠ABF+∠CDF=140°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF=∠EBF，∠CDF=∠EDF， ∴∠EBF+∠EDF=∠ABF+∠CDF=140°， ∴∠BED=360°﹣∠BFD﹣（∠EBF+∠EDF）=360°﹣140°﹣140°=80°． 故答案为：80°． 　 3．如图，直线MN∥PQ，∠ABM=30°，∠D=40°，∠EFQ=70°，则∠C+∠E=　140°　． 【答案】解：分别过点C、D、E作直线CK∥MN，DT∥CK，EL∥DT， ∵MN∥PQ， ∴CK∥MN∥DT∥EL∥PQ， ∵∠ABM=30°， ∴∠BCK=∠ABM=30°，∠KCD=∠CDT，∠DEH=∠TDE，∠HEF=∠EFQ=70°， ∴∠C+∠E=∠BCK+∠KCD+∠DEH+∠HEF=∠ABM+∠C+∠EFQ=30°+40°+70°=140°． 故答案为：140°． 4、如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点． （1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论． （2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是　∠P=∠C﹣∠A　，请写出你的猜想（不要求证明）． （3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种． 【答案】 证明：（1）∠P=∠A+∠C， 延长AP交CD与点E． ∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC． 又∵∠APC是△PCE的外角， ∴∠APC=∠C+∠AEC． ∴∠APC=∠A+∠C． （2）否；∠P=∠C﹣∠A． （3）∠P=360°﹣（∠A+∠C）． ①延长BA到E，延长DC到F， 由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF． ∵∠PAE=180°﹣∠PAB，∠PCF=180°﹣∠PCD， ∴∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）． ②连接AC． ∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°． ∵∠PAC+∠PCA=180°﹣∠P， ∴∠CAB+∠ACD+∠PAC+∠PCA=360°﹣∠P， 即∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）． 5．已知：如图，已知CD∥EF，∠C+∠F=∠ABC，若∠F=a°，a为关于x的一元一次方程=﹣+16的解 （1）求∠F的度数． （2）求证：AB∥GF． （3）若点P为直线EF上的动点（点P不在直线AB，FG上），连接BP，请你探究∠ABP与∠BPF之间的数量关系，要求画出图形并直接写出你的结论． 【答案】解：（1）=﹣+16， 2（x﹣12）=x﹣15+96 2x﹣24=﹣x+15+96 x=4， 即∠F=45°； （2）如图1，延长AB交CD于点M，延长FE交AM于点N， ∵CD∥EF， ∴∠1=∠2， ∵∠ABC=∠C+∠1， ∴∠ABC=∠C+∠2， 又∵∠C+∠F=∠ABC， ∴∠2=∠F， ∴AB∥GF； （3）①如图2，当点P在EF延长线上时， ∵∠EFQ=45°， ∴∠PFQ=135°， ∵AB∥GF， ∴∠ABP=∠GQF=∠BPF+∠PFQ， 即∠ABP=∠BPF+135°； ②如图3，延长AB交直线EF于点H，当点P在FH上时， 过点P作PQ∥FG， ∵∠EFG=45°， ∴∠FEQ=180°﹣∠EFG=135°， 则∠BPQ=∠BPF﹣∠FEQ=∠BPF﹣135°， 又∵AB∥FG， ∴AB∥PQ， 则∠ABP=180°﹣∠BPQ=180°﹣（∠BPF﹣135°）， 即∠ABP=315°﹣∠BPF； ③如图4，当点P在FH的延长线上时， ∵AB∥FG，且∠EFG=45°， ∴∠PHB=∠EFG=45°， ∵∠ABP=∠PHB+∠BPF，即∠ABP=45°+∠BPF， 综上，∠ABP=∠BPF+135°或∠ABP=315°﹣∠BPF或∠ABP=45°+∠BPF． 【归纳总结】 如何添加辅助线需要根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起，常见模型要熟悉。 【课堂检测】 1．如图，下列条件中，能得到DG∥BC的是（　　） A．CD⊥AB，EF⊥AB B．∠1=∠2 C．∠1=∠2，∠4+∠5=180° D．CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2 【答案】解：A不能；∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， 再没有条件得出DG∥BC； ∴A不能； B不能， ∵∠1=∠2不能得到DG∥BC， ∴B不能； C不能；∵∠4+∠5=180°， ∴DG∥CG， 不能得出DG∥BC， ∴C不能； D能；∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴DG∥BC， ∴D能； 故选：D． 2．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G．则图中与∠ECB相等的角有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】证明：∵∠EOD＝∠BOC，∠EOD+∠OBF＝180°， ∴∠BOC+∠OBF＝180°， ∴EC∥BF， ∴∠ECD＝∠F，∠ECB＝∠CBF， 又∵CE平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠ECB． 又∵∠F＝∠G， ∴∠G＝∠ECB． ∴DG∥CE， ∴∠CDG＝∠DCE， ∴∠CDG＝∠G＝∠F＝DCE＝∠CBF＝∠ECB， 故选：B． 3.如图,△ABC中,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,则图中能用字母表示的相等的角的对数有()
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对 【答案】能用字母表示的相等的角的对数有6对。 ∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABC，∠ADE=∠ACB，∠DEC=∠ECB，∠EDB=∠DBC，∠ABD=∠EDB. 故选D. 4．如图是一架婴儿车，其中AB∥CD，∠AFG=130°，∠D=40°，那么∠AEF=（　　） A．80° B．90° C．100° D．102° 【答案】解：∵∠AFG=130°， ∴∠AFE=180°﹣130°=50°． ∵AB∥CD，∠D=40°， ∴∠A=40°， ∴∠AEF=180°﹣50°﹣40°=90°． 故选：B． 5．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD=15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为　45°，60°，105°，135°　． 【答案】解：如图， 当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°； 当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°； 当BC∥AE时，∵∠EAB=∠B=60°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°； 当AB∥DE时，∵∠E=∠EAB=90°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°． 故答案为：45°，60°，105°，135°． 6．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE． （1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数； （2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系； （3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）． 【答案】解：（1）∵CD∥OE， ∴∠AOE=∠OCD=120°， ∴∠BOE=360°﹣90°﹣120°=150°； （2）如图2，过O点作OF∥CD， ∵CD∥OE， ∴OF∥OE， ∴∠AOF=180°﹣∠OCD，∠BOF=∠EO′O=180°﹣∠BO′E， ∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E=360°﹣（∠OCD+∠BO′E）=120°， ∴∠OCD+∠BO′E=240°； （3）∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠OCP=∠OCD， ∴∠CPO′=360°﹣90°﹣120°﹣∠OCP =150°﹣∠OCD =150°﹣（240°﹣∠BO′E） =30°+α． 【归纳总结】 平行线的判定与性质是中考热点之一，题目难度一般不大，当已知条件中出现角相等或互补时，往往能得到两直线平行；当要说明两直角相等或互补时，往往需要利用两直线平行的性质。 【要点回顾】 【温故知新】 1．木匠有32米的木材，想要在花圃周围做边界，以下四种设计方案中，设计不合理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】解：A、∵垂线段最短， ∴平行四边形的另一边一定大于6m， ∵2（10+6）＝32m， ∴周长一定大于32m； B、周长＝2（10+6）＝32m； C、周长＝2（10+6）＝32m； D、周长＝2（10+6）＝32m； 故选：A． 2．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是　③⑤　． 【答案】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误； ②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误； ③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确； ④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确； ⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误． 综上所述，正确的有③⑤． 故答案为③⑤． 3.如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°30′,则∠4=()
A. 63°30′
B. 53°30′
C. 73°30′
D. 93°30′ 【答案】解： ∵∠1=40°,∠2=40°， ∴∠1=∠2， ∴a∥b， ∴∠3=∠5=116°30′， ∴∠4=180° 116°30′=63°30′， 故选A. 4.如图,∠B+∠C=180°,∠A=50°,∠D=40°，则∠AED=___. 【答案】解： 如图, 延长DE交AB于F， ∵∠B+∠C=180°， ∴AB∥CD， ∵∠D=45°， ∴∠AFD=∠D=45°， ∵∠A=50°， ∴∠AED=∠A+∠AFD=50°+40°=90°， 故答案为90°. 5.如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，试说明∠1=∠2. 【答案】解： ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴AD∥EF， ∴∠1=∠DAE. ∵∠3=∠C， ∴AC∥DG， ∴∠2=∠DAE， ∴∠1=∠2. 6.如图所示，点B. E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F. 【答案】证明： ∵∠2=∠3，∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴BD∥CE， ∴∠C=∠ABD； 又∵∠C=∠D， ∴∠D=∠ABD， ∴AB∥EF， ∴∠A=∠F. 7.如图,∠ABD和∠BDC的平分线交于E,BE交CD于点F,∠1+∠2=90°. (1)试说明：AB∥CD； (2)若∠2=25°，求∠BFC的度数。 【答案】（1）D和∠BDC的平分线交于E， ∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴AB∥CD； (2)∵DE平分∠BDC， ∴∠EDF=∠2=25°， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠FED=90°， ∴∠3=180° 90° 25°=65°. ∴∠BFC=180° ∠3=115°.

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