资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台(总课时04)§1.2矩形的性质与判定 1一.选择题:1.如图,点E、F分别在矩形ABCD的边AD、AB上,连接EF,四边形ABFE沿EF翻折能与四边形A1B1FE重合,且A1B1与ED相交,若∠B1FC=50°,则∠A1ED=( )A.50° B.45° C.40° D.35°2.如图,在矩形ABCD中,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(2,4),则BD的长是( )A.6 B.5 C.3 D.43.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,P是CD边上的中点,E是BC边上的一动点,M,N分别是AE、PE的中点,则随着点E的运动,线段MN长为( )A. B. C. D.不确定4.下列说法中,正确的有( )①全等的两个三角形一定成轴对称;②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形;③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;④如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个5.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=16,F是线段DE上一点,连接AF、CF,DE=4DF,若∠AFC=90°,则AC的长度是( )A.6 B.8 C.10 D.12二.填空题6.如图在矩形ABCD中,对角线AC与BD 相交于O点,且AB=OA=2cm,则BD为 cm,BC cm.7.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按图示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF.则DE=____.8.如图,BD是Rt△ABC斜边上的中线,且AB=4cm,BD=3cm.则AC=_____;△ABD的面积=_____.9.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠DEF的度数为_______.10.如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=7,E为BC上的动点,将矩形沿直线AE翻折,使点B的对应点B'落在∠ADC的平分线上,过点B'作B'F⊥BC于点F,求△B'EF的周长______.三.解答题:11.已知四边形ABCD是矩形,O是对角线的交点.图中共有几对三角形全等 并选择一对加以证明.(1)有________对.(2)证明:12.如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.求证;四边形BEDF是平行四边形。13.如图:BE、CF是锐角△ABC的两条高,M、N分别是BC、EF的中点,若EF=6,BC=24.(1)证明:∠ABE=∠ACF;(2)判断EF与MN的位置关系,并证明你的结论;(3)求MN的长.四.提高题:14.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(Ⅰ)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;(Ⅱ)如图②,当点D落在线段BE上时, AD与BC交于点H.①求证△ADB≌△AOB;②求点H的坐标.(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).第9题第11题第12题第13题第14题21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台(总课时04)§1.2矩形的性质与判定 1一.选择题:1.如图,点E、F分别在矩形ABCD的边AD、AB上,连接EF,四边形ABFE沿EF翻折能与四边形A1B1FE重合,且A1B1与ED相交,若∠B1FC=50°,则∠A1ED=( A )A.50° B.45° C.40° D.35°2.如图,在矩形ABCD中,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(2,4),则BD的长是( B )A.6 B.5 C.3 D.43.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,P是CD边上的中点,E是BC边上的一动点,M,N分别是AE、PE的中点,则随着点E的运动,线段MN长为( A )A. B. C. D.不确定4.下列说法中,正确的有( D )①全等的两个三角形一定成轴对称;②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形;③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等;④如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个5.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BC=16,F是线段DE上一点,连接AF、CF,DE=4DF,若∠AFC=90°,则AC的长度是( D )A.6 B.8 C.10 D.12二.填空题:6.如图在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于O点,且AB=OA=2cm,则BD为 4 cm,BC 2 cm.7.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按图示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=__.8.如图,BD是Rt△ABC斜边上的中线,且AB=4cm,BD=3cm.则AC=_6_;△ABD的面积=_4_.9.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF,若∠ABE=20°,那么∠DEF的度数为55 .10.如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=7,E为BC上的动点,将矩形沿直线AE翻折,使点B的对应点B'落在∠ADC的平分线上,过点B'作B'F⊥BC于点F,求△B'EF的周长_4或6_.三.解答题:11.已知四边形ABCD是矩形,O是对角线的交点.图中共有几对三角形全等 并选择一对加以证明.(1)有_8_对.(1)根据矩形的性质和全等三角形的性质可知,有△AOB≌△DOC,△AOD≌△BOC,△ABD≌△DCA,△ABD≌△CDB,△ABD≌△BAC,△DCA≌△CDB,△DCA≌△BAC,△CDB≌△BAC,共8对,故答案为:8;(2)△ABD≌△CDB,证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,又∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS).12.如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.求证;四边形BEDF是平行四边形.解:∵AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠BDC,∵BE平分∠ABD,DF平分BDC,∴∠EBD=∠FDB,∴BE∥DF,且BC∥DE,∴四边形BEDF是平行四边形.13.如图:BE、CF是锐角△ABC的两条高,M、N分别是BC、EF的中点,若EF=6,BC=24.(1)证明:∠ABE=∠ACF;(2)判断EF与MN的位置关系,并证明你的结论;(3)求MN的长.解:(1)∵∠ABE+∠A=90°,∠ACF+∠A=90°,∴∠ABE=∠ACF;(2)如图,连接EM、FM,∵BE、CF是锐角△ABC的两条高,M是BC的中点,∴EM=FM=0.5BC,∵N是EF的中点,∴MN垂直平分EF;(3)∵EF=6,BC=24,∴EM=0.5BC=12,EN=0.5EF=3,由勾股定理得,MN=.四、提高题:14.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;(2)如图②,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.①求证△ADB≌△AOB;②求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).解(1)如图①中,∵OA=5,OB=3,∴AC=OB=3,OA=BC=5,∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,∴AD=AO=5,在Rt△ADC中,CD=,∴BD=BC﹣CD=1,∴D(1,3);(2)①如图②中,连结AB,由四边形ADEF是矩形,得到∠ADE=90°,∵点D在线段BE上,∴∠ADB=90°,∵AD=AO,AB=AB,∠AOB=90°,∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL);②如图②中,由△ADB≌△AOB,得到∠BAD=∠BAO,∵OA∥BC,∴∠CBA=∠OAB,∴∠BAD=∠CBA,∴BH=AH,设AH=BH=m,则HC=BC﹣BH=5-m,在Rt△AHC中,∵m2=32+(5m)2,∴m=,即BH=,∴H(,3);(3)如图③中,当点D在线段BK上时,△DEK的面积最小,最小值=0.5DE DK=0.5×3×(5)=,当点D在BA的延长线上时,△D′E′K的面积最大,最大面积=0.5D′E′ KD′=0.5×3×(5+)=.综上所述,.2S的值等于3×KP,当P点与D点重合量KP最小,所以此时S是最小值。第9题第11题第12题第13题第14题21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台(总课时04)§1.2矩形的性质与判定 (1)【学习目标】理解矩形的概念,会证明矩形的性质定理;掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【学习重难点】理解矩形的概念;运用矩形性质定理解决问题.【导学过程】一.知识回顾:平行四边形的定义是:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;性质:①两组对边分别平行②两组对边分别相等③对角线互相平分④两组对角相等;判定方法:①定义②一组对边平行且相等③两组对边分别相等④对角线互相平分⑤两组对角分别相等。二.探究新知:1.引入:以课室为背景,观察门,窗,课桌面和课本封面这些图形,你能发现它们有什么样的共同特征?矩形的定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.2.探讨:(1)思考:①矩形具有平行四边形的性质吗?你能列举吗?②矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?是轴对称图形;有两条对称轴.③你猜想矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流.(2)例:已知,如图1,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;②AC=DB.证:①∵四边形ABCD是矩形∴它是平行四边形∴AD‖BC∴∠ABC+∠BAD=180 ∵∠ABC=90°∴∠BAD=90 同理得:∠BCD=∠DAB=90°②易证Rt△ABC≌Rt△DCB∴AC=BD(3)总结:矩形特有的性质:定理1:矩形的四个角都是直角.定理2:矩形的对角线相等.结论:矩形是轴对称图形,对称轴有 两 条;矩形又是中心对称图形,对称中心为 两对角线的交点 .3.思考:如图1,矩形ABCD的对角线AC与DB相交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?你能说明理由吗?BO是Rt△ABC斜边上的中线,等于AC的一半.4.小结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三.典例与练习例1.已知:如图2,矩形ABCD中,AB=3,AD=4.(1)求矩形的周长、面积、对角线;(2)求S△ABC、S△BOC;(3)作BE⊥AC,求BE.解:(1)周长=14,面积=12,对角线=5;(2)6,3.(3)BE=2.4练习:1.已知:如图3,在矩形ABCD中,AB=3,∠AOB=60°,则矩形ABCD的对角线AC=_6_,周长=6+6.2.已知:如图4,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,OE⊥AC,垂足是O,OE交BC于点E,则AE=______.例2.将矩形OABC如图5放置,O为原点,若点A的坐标是(﹣1,2),点B的坐标是(2,),则点C的坐标是( D )A.(4,2) B.(2,4) C.(,3) D.(3,)练习3.如图6,在矩形ABCD中,AB=30,点E在AD上,且AE=18,连接EC,将矩形ABCD沿直线BE翻折,点A恰好落在EC上的点F处,则CF____16___.练习4.如图7,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,其中正确的有_①②③④_(填写正确结论的序号).四.课堂小结:定理1:矩形的四个角都是直角.定理2:矩形的对角线相等.定理3:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.结论:矩形是轴对称图形,对称轴有2条;矩形是中心对称图形,对称中心为对角线的交点.五.分层过关:1.矩形具有而菱形不具有的性质是( B )A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角2.已知,在矩形ABCD中,=48cm2,若BC=6cm,则对角线AC的长是__10_cm.3.已知□ABCD,请你添一个条件∠B=90 ,使它变为矩形.4.如图8,已知:在ΔABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,F是AB的中点,G是DE中点,连接FG。求证:FG⊥DE。证明:在△ABD中,AD⊥BD,则△ABD是直角三角形,AB是斜边.∵F是AB的中点,∴FD=AB.同理,FE=AB,∴FE=FD,∴△FDE是等腰三角形,∵G是DE的中点,∴FG⊥DE.5.如图9,在矩形ABCD中,AD=AE,DF⊥AE于点F.(1)求证:AB=DF;(2)连接DE,若∠AEB=30°,求∠CDE的度数.解:(1)证明:在矩形ABCD中,AD‖BC,∴∠DAF=∠AEB.易证得 ADF≌ EAB.∴AB=DF.(2)在矩形ABCD中,∴AB=DC.又∵AB=DF,∴DF=DC.易得:Rt△DEF≌△RrDEF.∴∠CDE=∠FDE.∵∠AEB=30°,∴∠FEC=150°.∴∠FDC=30 .∴∠CDE=∠FDC=15°.思考题:1.如图10所示,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=12cm,E为AB的中点,动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动,同时,动点Q在线段CD上由点C向点D运动,设运动时间为t(s).(1)当t=2时,求△EBP的面积;(2)若动点Q以与动点P不同的速度运动,经过多少秒,△EBP与△CQP全等?此时点Q的速度是多少?(3)若动点Q以(2)中的速度从点C出发,动点P以原来的速度从点B同时出发,都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动,经过多少秒,点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇?解(1)当t=2时,BP=2×4cm=8cm∵E为AB的中点,∴BE=AB=×8cm=4cm,S△EBP=BE BP=×4×8=16(cm2).(2)设点Q的速度是acm/s,则BP=4t(cm),CQ=at(cm),∴PC=(12-4t)(cm),∵△EBP与△CQP全等,∠B=∠C=90°∴△EBP≌△PCQ或△EBP≌△QCP当△EBP≌△PCQ时,PC=EB,CQ=BP∴12-4t=4,解得t=2,∴2a=4×2∴a=4,与动点Q以与动点P不同的速度运动矛盾.当△EBP≌△QCP时,CP=BP,CQ=BE∴12-4t=4t,解得t=,∴a=4,解得a=(cm/s);答:经过秒,△EBP与△CQP全等;此时点Q的速度是cm/s;(3)设经过x秒,点P与点Q第一次在长方形ABCD的边上相遇;则:4x=12+x,解得:x=9此时点P运动路程为:4×9=36(cm),∴点P在AB的中点处,答:经过9秒,点P与点Q第一次在长方形ABCD的边AB上相遇.2.如图11,四边形MNPE是长方形,BC为Rt△ABC的斜边,∠CBA=30°,△ABD,△ACF,△BCE均为正三角形,B点在EP上,点F在MN上,点D在NP上,若AC=2,求图中空白部分的面积.解∵△ABD,△ACF,△BCE均为正三角形,∴BE=CE=BC,∠BCE=∠BEC=∠CBE=∠ABD=∠ACF=60°,CF=AC=2,BD=AB,∵BC为Rt△ABC的斜边,∠CBA=30°,∴∠ACB=60°,CE=BE=BC=2AC=4,BD=AB=AC=2,∵∠BCE+∠ACB+∠ACF=180°,∴E、C、F三点共线,∴EF=CE+CF=6,∵四边形MNPE是长方形,∴∠M=∠MEP=∠P=90°,∴∠MEF=90°﹣60°=30°,∴MF=EF=3,EM=MF=3,∵∠DBE=60°+30°+60°=150°,∴∠PBD=30°,∴PD=BD=,BP=PD=3,∴PE=BE+BP=7,∴图中空白部分的面积=矩形MNPE的面积﹣△BCE的面积﹣△ABD的面积﹣△ACF的面积=;故答案是:13.AACBDO图1图5E图4图3图6图7图10ABEDPQC图1121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台(总课时04)§1.2矩形的性质与判定 (1)【学习目标】理解矩形的概念,会证明矩形的性质定理;掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【学习重难点】理解矩形的概念;运用矩形性质定理解决问题.【导学过程】一.知识回顾:平行四边形的定义是 ;性质 ;判定方法 。二.探究新知1.引入:以课室为背景,观察门,窗,课桌面和课本封面这些图形,你能发现它们有什么样的共同特征?矩形的定义:有一个内角是________的_______________叫做矩形.2.探讨:(1)思考:①矩形具有平行四边形的性质吗?你能列举吗?②矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?③你猜想矩形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流.(2)例:已知,如图1,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;②AC=DB.(3)总结:矩形特有的性质:定理1:矩形的四个角都是直角.定理2:矩形的对角线相等.结论:矩形是轴对称图形,对称轴有 条;矩形是中心对称图形,对称中心为 .3.思考:如图1,矩形ABCD的对角线AC与DB相交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?你能说明理由吗?4.小结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三.典例与练习:例1.已知:如图2,矩形ABCD中,AB=3,AD=4.(1)求矩形的周长、面积、对角线;(2)求S△ABC、S△BOC;(3)作BE⊥AC,求BE.练习:1.已知:如图3,在矩形ABCD中,AB=3,∠AOB=60°,则矩形ABCD的对角线AC=____,周长=_____,面积=_____.2.已知:如图4,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,OE⊥AC,则AE=______.例2.将矩形OABC如图5放置,O为原点,若点A的坐标是(﹣1,2),点B的坐标是(2,),则点C的坐标是( )A.(4,2) B.(2,4) C.(,3) D.(3,)3.如图6,在矩形ABCD中,AB=30,点E在AD上,且AE=18,连接EC,将矩形ABCD沿直线BE翻折,点A恰好落在上的点F处,则CF__________.4.如图7,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②OE=OD;③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤AB=HF,其中正确的有_____(填写正确结论的序号).四.课堂小结:定理1:矩形的四个角都是直角.定理2:矩形的对角线相等.定理3:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.结论:矩形是轴对称图形,对称轴有2条;矩形是中心对称图形,对称中心为对角线的交点.五.分层过关:1.矩形具有而菱形不具有的性质是( )A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角2.已知,在矩形ABCD中,=48cm2,若BC=6cm,则对角线AC的长是________ cm.3.已知□ABCD,请你添一个条件 ,使它变为矩形.4.如图8,已知:在ΔABC中,AD、BE分别是边BC、AC上的高,F是AB的中点,G是DE中点,连接FG。求证:FG⊥DE。5.如图9,在矩形ABCD中,AD=AE,DF⊥AE于点F.(1)求证:AB=DF;(2)连接DE,若∠AEB=30°,求的度数.思考题:1.如图10所示,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=12cm,E为AB的中点,动点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向C运动,同时,动点Q在线段CD上由点C向点D运动,设运动时间为t(s).(1)当t=2时,求△EBP的面积;(2)若动点Q以与动点P不同的速度运动,经过多少秒,△EBP与△CQP全等?此时点Q的速度是多少?(3)若动点Q以(2)中的速度从点C出发,动点P以原来的速度从点B同时出发,都逆时针沿长方形ABCD的四边形运动,经过多少秒,点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇?2.如图11,四边形MNPE是长方形,BC为Rt△ABC的斜边,∠CBA=30°,△ABD,△ACF,△BCE均为正三角形,B点在EP上,点F在MN上,点D在NP上,若AC=2,求图中空白部分的面积.AACBDO图1E图4图5图6图7图10图10ABEDPQC图1121世纪教育网 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