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内蒙古赤峰名校2022-2023学年高二下学期第一次月考
文科数学试题
满分：150分
一、单选题（共12小题，每题5分，共60分）
1．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个黑球与都是黑球 B．至少有1个黑球与至少有1个红球
C．至少有1个黑球与都是红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（ ）
第一种生产方式 第二种生产方式
8 9 7 6 2 9 8 7 7 6 4 5 3 3 2 2 1 1 0 0 6 7 8 9 5 5 6 8 9 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 0
A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟
B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高
C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟
5．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度．在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子．而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今．若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（ ）
A．一或三 B．二或三 C．二或五 D．四或六
7．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在区间内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点F为抛物线C：的焦点.若过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于点M，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数，则______．
14．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______．
15．若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是______．
16．点P为椭圆C：上的任意一点，AB为圆M：的任意一条直径，若的最大值为15，则______．
三、解答题（共70分，其中第17题10分，18-22题每题12分）
17．某校从高一年级学生中随机抽取40名中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40，50），［50，60），…，［90，100］］所得到如图所示的频率分布直图
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在［40，50）与［90，100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
18．每年的金秋十月，越野e族阿拉善英雄会在内蒙古自治区阿拉善盟阿左旗腾格里沙漠举行，该项目已打造成集沙漠竞技运动、汽车文化极致体验、主题休闲度假为一体的超级汽车文化赛事娱乐综合体．为了减少对环境的污染，某环保部门租用了特制环保车清洁现场垃圾．通过查阅近5年英雄会参会人数x（万人）与沙漠中所需环保车辆数量y（辆），得到如下统计表：
参会人数x（万人） 11 9 8 10 12
所需环保车辆y（辆） 28 23 20 25 29
（1）根据统计表所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程．
（2）已知租用的环保车平均每辆的费用C（元）与数量t（辆）的关系为．主办方根据实际参会人数为所需要投入使用的环保车，每辆支付费用6000元，超出实际需要的车辆，主办方不支付任何费用．预计本次英雄会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测环保部门在确保清洁任务完成的前提下，应租用多少辆环保车？获得的利润L是多少？（注：利润L=主办方支付费用-租用车辆的费用）．
参考公式：
，
19．如图，在三棱柱中，侧面底面ABC，，且点O为AC中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
20．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：
API ［0，50］ （50，100］ （100，150］ （150，200］ （200，250］ （250，300］ >300
空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染
天数 4 13 18 30 9 11 15
（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为）
的关系式为：
试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；
（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
非重度污染 重度污染 合计
供暖季
非供暖季
合计 100
附：
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．已知椭圆E的一个顶点为，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．
22．已知函数，，e为自然对数的底数．
（1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）若函数在内存在两个极值点，求a的取值范围．
参考答案
一、单选题（共0分）
1．【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析即可求解．
【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；
“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；
“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，
故选：D．
2．【答案】D
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算．
【详解】有三件正品（用1，2，3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，由古典概型得，，
故选：D．
3．【答案】C
【分析】根据题设定义的欧拉公式写出的三角形式，由复数的几何性质写出1-i的三角形式，进而求，即可知其虚部．
【详解】由题意知：，而，
∴，即虚部为．
故选：C．
4．【答案】D
【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择．
【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人，占，
第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为
，
第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为
，
所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，
这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为79，81，中位数为，
所以D错误．选D．
【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力．属基本题．
5．【答案】C
【分析】依题意可得，即可求出b、c，再根据，即可求出，从而求出双曲线方程，最后求出渐近线方程；
【详解】解：依题意，所以，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为；；
故选：C
6．【答案】B
【分析】利用排除法分析求解即可
【详解】解：设这个月有31天或30天，
因为4×7=28<30<31，所以这个月最多可能有4个完整的周，
若设该月3号为星期二，则该月1号为星期天，2号为星期一，所以从2号开始到该月29号，一共28天，为4个完整的周，
所以这时，2号到29号中星期一有4天，星期二有4天，星期三有4天，星期天有4天，
若该月有31天，则该月30号为星期一，31号为星期二，
所以该月1号到30号，共有5天星期一，4天星期三，5天星期二，5天星期天，
所以该月3号可能为星期三，故排除CD，
设该月3号为星期三，则1号为星期一，则该月1号到28号共28天为4个完整的周，
其中含有4个星期一、星期二、星期三、星期天，即该月29号为星期一，30号为星期二，
所以当该月有29天时，且该月3号为星期三时，一共有5个星期一，4个星期三，4个星期二和4个星期天，符合题意，故该月3号可能为星期二，所以排除A，故选：B
7．【答案】D
【分析】列举出所有基本事件和满足题意的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果．
【详解】记其他4名专家分别为a，b，c，d，将甲、乙分别记为A，B，
从6人中任选2人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况；
其中甲、乙至少有1人被选中的有，，，，，，，，，共9种情况，
∴甲、乙至少有1人被选中的概率．
故选：D．
8．【答案】B
【分析】先列出函数有零点的条件，再根据面积求几何概型概率．
【详解】因为函数有零点，所以 ∴，
所以所求概率为，选B．
【点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
9．【答案】A
【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答．
【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，
则，令，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值，所以当每瓶液体材料的利润最大时，．故选：A
10．【答案】B
【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可．
【详解】分三类：
①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；
②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；
③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：．
故甲获胜的概率为：．故选：B．
11．【答案】B
【分析】先分离变量，再利用导数研究新函数单调性与最值，即得结果．
【详解】由恒成立可得恒成立，
令，则，
显然在上单调递增，又，
∴当时，，当时，，
∴当时，取得最小值．∴．
故选B．
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查基本分析求解能力，属中档题．
12．【答案】B
【分析】将长度利用相似转换为坐标关系，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求得答案．
【详解】易知：焦点F坐标为，设直线方程为： ，
如图利用和相似得到：
，
【点睛】本题考查了抛物线与直线的关系，相似，意在考查学生的计算能力．
三、填空题（共0分）
13．【答案】
【分析】根据复数的运算，化简得，得到，利用模的计算的公式，即可求解．
【详解】由题意，复数，则，
则．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力．
14．【答案】4
【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x，y的方程组，解方程即可得到答案．
【详解】由题意可得：，，
设，，则，解得，
∴
故答案为4．
【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题．
15．【答案】
【详解】函数的导数为，，
因为函数存在与直线平行的切线，
所以方程在区间上有解，
即在区间上有解，
因为，则，所以．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用问题，其中解答中涉及到函数的导数的求解，导数的几何意义的应用，以及存在性问题的转化等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中把存在性命题转化为方程的有解问题是解答的关键．
16．【答案】3
【解析】由圆的性质结合平面向量的线性运算、数量积运算可得，再由椭圆的性质可得，即可得解．
【详解】椭圆C：的焦点为，，半焦距，
圆M：的圆心，半径为1，
AB为圆M的直径，可得，
则，
又P为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得，
当P为椭圆的左顶点时，上式取得等号，
则，所以即．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆与椭圆性质的综合应用及平面向量的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题．
三、解答题（共0分）
17．【答案】（1）；（2）544人；（3）．
【分析】（1）根据图中所有小矩形的面积之和等于1求解．
（2）根据频率分布直方图，得到成绩不低于60分的频率，再根据该校高一年级共有学生640人求解．
（3）由频率分布直方图得到成绩在［40，50）和［90，100］分数段内的人数，先列举出从数学成绩在［40，50）与［90，100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生的基本事件总数，再得到两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”的基本事件数，代入古典概型概率求解．
【详解】（1）∵图中所有小矩形的面积之和等于1，
∴，
解得．
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为，
∵该校高一年级共有学生640人，
∴由样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．
（3）成绩在［40，50）分数段内的人数为人，分别记为A，B，成绩在［90，100］分数段内的人数为人，分别记为C，D，E，F．
若从数学成绩在［40，50）与［90，100］两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种．
如果两名学生的数学成绩都在［40，50）分数段内或都在［90，100］分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．
如果一个成绩在［40，50）分数段内，另一个成绩在［90，100］分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：，，，，，，共7种．
∴所求概率为．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及古典概型概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
18．【答案】（1） （2）需要租用35辆环保车，获得的利润为108500元
【分析】（1）利用表中所给数据，求出最小二乘法所需要的四个量，再利用线性回归方程计算公式分别求出、即可得回归方程．
（2）利用回归方程先算出需要的车辆数，然后用主办方支付的总费用减去租车费用即为获得利润．
【详解】（1）
y关于x的线性回归方程
（2）将代入得
为确保完成任务，需要租用35辆环保车，
所以
获得的利润元
【点睛】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法准确解出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）本题首先可根据以及O为AC的中点得出，然后根据平面平面ABC得出平面ABC，最后根据线面垂直的性质即可得出结果；
（2）本题首先可结合题意得出到平面ABC的距离等于到平面ABC的距离，然后将转化为，最后根据三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】（1）因为，且O为AC的中点，所以．
因为平面平面ABC，平面平面ABC=AC，
且平面，所以平面ABC．
因为平面ABC，所以．
（2）因为多面体是三棱柱，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
即到平面ABC的距离等于到平面ABC的距离，
由（1）知平面ABC，且，
故三棱锥的体积．
【点睛】本题考查线线垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查面面垂直的性质以及线面垂直的性质，若线面垂直，则直线垂直平面内的所有直线，考查推理能力，是中档题．
20．【答案】（1）；（2）有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
【分析】（1）先求出“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”的频数，进而可确定概率；
（2）依题意先完善列联表，再由计算出的观测值，结合临界值表，即可得出结论．
【详解】（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A
由，得，频数为39，
（2）根据以上数据得到如下列联表：
非重度污染 重度污染 合计
供暖季 22 8 30
非供暖季 63 7 70
合计 85 15 100
的观测值
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
【点睛】本题主要考查古典概型和独立性检验，熟记公式即可求解，属于常考题型．
21．【答案】（1） （2）或
【分析】（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；
（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．
【详解】（1）由题意，
右焦点到直线的距离，∴，
∴，
∵椭圆E的焦点在x轴上，所以椭圆E的方程为
（2）〖解法1〗当k不存在时，
当k存在时，设直线方程为，联立，得，
，
，
令，，则
所以，当，即，得时
的最大值为，即的最大值为
直线的方程为或．
（2）〖解法2〗设直线l的倾斜角为，则直线l的参数方程为（t为参数），
设A、B点对应的参数分别为，，且；
将参数方程代入椭圆方程可得：，
化简可得：，
若，则上面的方程为，则，矛盾
若，则，，
则弦AB长为
∵ ∴
∴上式
当且仅当即或，时等号成立．
∴直线l方程为：或
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
22．【答案】（1） （2）
【分析】（Ⅰ），由题设知，求得a的值；
（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，则方程
在内由两个不等实根，可列不等式组，即可求a的范围
【详解】解：（Ⅰ），由题设知，故
（Ⅱ）由题知，在内由两个不等实根，
∴∴．
【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用，利用极值求参数的范围．

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