资源简介

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））
专题1.4导数及其应用四大考点与真题训练
考点一：导数的概念和几何意义
一、填空题
1．（2022·上海青浦·统考一模）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.
2．（2022·上海虹口·统考一模）设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．
3．（2022·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．
4．（2022·上海崇明·统考一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
5．（2022·上海闵行·统考一模）若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．
6．（2022·上海金山·统考一模）已知，则曲线在处的切线方程是___________.
7．（2020·上海·模拟预测）计算：_______________
8．（2022·上海嘉定·统考一模）已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y=x+4，则f（2）+f′（2）=__．
二、解答题
10．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
11．（2022·上海徐汇·统考一模）已知.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间.
12．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；
（2）当时，求函数的单调区间与极值.
考点二：导数的计算
一、填空题
1．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，则函数的导数____________．
2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）定义在上的奇函数的导函数为，且.当时，，则不等式的解集为______.
二、解答题
3．（2022·上海青浦·统考一模）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．
(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；
(2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；
(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
4．（2022·上海嘉定·统考一模）已知，
(1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
(2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
(3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
5．（2022·上海松江·统考一模）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
(1)求函数的解析式；
(2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
(3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
考点三：导数在研究函数中的作用
一、单选题
1．（2022·上海金山·统考二模）对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数.下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·上海·统考模拟预测）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
二、填空题
3．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）函数在定义域上的最小值为_________.
4．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.
5．（2022·上海浦东新·统考一模）已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.
6．（2022·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知平面向量，满足，设与的夹角为，且，则的取值范围为______．
三、解答题
7．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
(2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．
8．（2022·上海松江·统考一模）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；
(1)求谷底到桥面的距离和桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：为多少米时，桥墩和的总造价最低？
9．（2022·上海·统考模拟预测）某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M、N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM、AN分别交于点D、E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设．
(1)当时，求池内休息区的总面积（Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)：
(2)当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．
10．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”，
(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；
(2)给定函数，
①若函数是区间上的“保值函数”，求实数的取值范围；
②若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
11．（2021·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）已知常数，，函数，.
（1）当，时，判断函数在区间的单调性；
（2）当时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.
12．（2021·上海·统考二模）将关于的函数（）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像记为，并设所对应的函数为.
（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；
（2）设，若函数（）对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
考点四：导数的综合应用
一、单选题
1．（2021·上海松江·统考二模）已知函数，若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·上海金山·统考二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2022·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.
5．（2021·上海长宁·统考二模）定义域为的奇函数在上单调递减．设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为_____．
6．（2020·上海黄浦·统考二模）已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则的取值范围是________．
三、解答题
7．（2022·上海普陀·统考一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
8．（2020·上海浦东新·统考二模）疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．
9．（2020·上海闵行·统考二模）如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．
（1）求函数的解析式;
（2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义．
【真题训练】
一．填空题（共1小题）
1．（2022 上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　　．
二．解答题（共2小题）
2．（2022 上海）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
3．（2023 上海）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y＝g（x）在x处取得的最小值记为（x）．
（1）若a＝2，g（x）＝x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由；
（2）若a＝0，曲线y＝f（x）在x＝处的切线为直线y＝h（x），证明：函数y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；
（3）若曲线y＝f（x）在x＝x0，x0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，证明：当且仅当c＝x0或c＝1时，（c）＝f（c）．2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））
专题1.4导数及其应用四大考点与真题训练
考点一：导数的概念和几何意义
一、填空题
1．（2022·上海青浦·统考一模）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求出在点处的切线的斜率，然后再根据斜率和倾斜角之间的关系，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，
所以在点切线的斜率为，
所以在点处的切线的倾斜角为.
故答案为：.
2．（2022·上海虹口·统考一模）设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．
【答案】
【分析】根据导数几何意义求解.
【详解】设切线与函数的切点为
又因为，所以在处的导数值为
所以，又因为切点在函数上，即
所以切点为，所以切线方程，即
故答案为：
3．（2022·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
4．（2022·上海崇明·统考一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
【答案】
【分析】求导得，从而可得切线的斜率，用点斜式写出切线方程再化简即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线方程为：，
即或.
故答案为：
5．（2022·上海闵行·统考一模）若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．
【答案】1
【分析】对函数求导得，令，求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
又因为直线的斜率为，
所以，
解得：，
即切点的横坐标为：1.
故答案为：1
6．（2022·上海金山·统考一模）已知，则曲线在处的切线方程是___________.
【答案】
【分析】首先求出原函数的导函数，然后将切点处的横坐标代入导函数中求出直线的斜率，再将切点的横坐标代入，求出切点的纵坐标，最后用点斜式求出切线方程.
【详解】因为，，所以，
即切点为，斜率为，代入点斜式直线方程中
则曲线在处的切线方程是.
故答案为：.
7．（2020·上海·模拟预测）计算：_______________
【答案】
【分析】对极限式分子分母同除以，再利用基本极限可求的值.
【详解】.
故答案为：
8．（2022·上海嘉定·统考一模）已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于点.当A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.
【答案】
【分析】根据进行求解.
【详解】不妨取点B为第一象限的点，则点C位于x轴正半轴，
由可得：，
，
当当A运动至时，B点的纵坐标为100，将其代入上式，
，即点的瞬时速度的大小为.
故答案为：
9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y=x+4，则f（2）+f′（2）=__．
【答案】7
【详解】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得，再由切点在切线上，可得，进而得到所求值.
详解：的图象在点处的切线方程是，可得，，则，所以答案是.
点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.
二、解答题
10．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，其中，为的导函数.
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)设函数，且恒成立.
①求的取值范围；
②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.
【答案】(1)
(2)①;②详见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.
（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；
②先设，求导得.
设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.
【详解】（1）时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.
（2）①由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
②设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由①可知，当时，，即，整理得，
所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，
即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.
11．（2022·上海徐汇·统考一模）已知.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）由导数与单调性的关系求解，
【详解】（1）当时，，，
所以，.
所以函数在点处的切线方程为.
（2）因为，定义域为，
所以.
①当时，与在上的变化情况如下：
1
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数在及内严格增，在内严格减；
②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为.
综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为；
当时，函数单调增区间为.
12．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；
（2）当时，求函数的单调区间与极值.
【答案】（1）3e. （2）见解析
【分析】（1）当时，，对求导，根据导函数的几何意义求解（2）对求导，分情况讨论，根据的正负求单调性和极值.
【详解】（1）当时，，所以 ，
故.
所以曲线在点处的切线的斜率为.
（2），
令，解得，或，
由知，.
以下分两种情况讨论：
①若，则，当变化时，，的变化情况如下表：
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以在，上是增函数，在上是减函数．
函数在处取得极大值为，且.
函数在处取得极小值为，且.
②若，则，当变化时，，的变化情况如下表：
+ 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以在，上是增函数，在上是减函数．
函数在处取得极大值，
且.
函数在处取得极小值，
且.
考点二：导数的计算
一、填空题
1．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，则函数的导数____________．
【答案】
【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为：.
2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）定义在上的奇函数的导函数为，且.当时，，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】令，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．
【详解】当时，由，得，得，所以在上递增，
∵为偶函数，∴在上递减，且，
或，
可得或，
所以，的解集为.
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题．
二、解答题
3．（2022·上海青浦·统考一模）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．
(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；
(2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；
(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，；
(3)存在，满足条件.
【分析】（1）按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.
（2）由（1）求出函数，求出的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答.
（3）由（1）结合已知，确定或，再分类讨论极值点的情况作答.
【详解】（1）依题意，，，，，
，因此，，即，
所以对任意实数，都有成立的最小整数的值是5.
（2）由（1）知，，，
，求导得，显然函数单调，当时，有唯一零点，
当时，，当时，，因此当时，函数都存在唯一极值点，依题意，
即，方程两边同时加上得，即，
所以点在一定直线上，该直线方程为.
（3）当，时，方程无解，因此要使，必有,
①当时，，即，解得，
而当时，时，，函数单调递减，无极值点，
严格递减，无极值点，且，当时，，当时，，
在上严格递增，在上严格递减，有一个极值点，
又，则恒成立，有单调递减，无极值点，
综上得存在，满足条件，
②当时，，即，解得或，
当时，，不符合题意，
当时，，解得，有，
单调递减，当时，，当，，当时，，
在上严格递增，在上严格递减，而，，
则存在，使得，在上，，在上，在上，，
则在上严格递减，在上严格递增，在上严格递减，有两个极值点，不符合题意，因此，
所以存在，满足条件．
【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧值的符号不同．
4．（2022·上海嘉定·统考一模）已知，
(1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；
(2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
(3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.
【答案】(1)，证明见解析；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，有导函数的正负得到函数的单调性，从而得到在上是严格减函数；
（2）在第一问的基础上，得到，变形后得到，写出一般的结论；
（3）先得到满足要求，再证明唯一性，在第二问的基础上，得到若，可知，与矛盾；若，求出，与矛盾；若，则即，容易验证，成立，当，得到，于是，矛盾，故是满足条件的唯一一组值.
【详解】（1）的导函数为，令，得，
列表：
极大值
所以，函数在上是严格减函数；
（2）判断得到，
下面证明：
由（1），，即，所以，
由的单调递增，得到.
推广：对于实数，若，则即，
以下是证明过程：
由（1）知：在上是严格减函数，
因为，所以，则，，
因为单调递增，所以.
（3）因为，可见满足，
下面证明唯一性：
①若，由第二问的结论可知，与矛盾；
②若，则即，与矛盾；
③若，则即，
显然不满足，成立，
若，由第二问结论可知：，则，于是，与矛盾.
综上，是满足条件的唯一一组值.
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对与先取对数变形，再结合第一问中的结论即可证明.
5．（2022·上海松江·统考一模）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.
(1)求函数的解析式；
(2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；
(3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式；
（2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式；
（3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.
【详解】（1）解：因为，则，
若，即，解得，则，
因为，可得，因此，.
（2）解：当为奇数时，设，则，
此时，此时；
当为偶数时，设，则，
此时，，此时.
综上所述，.
（3）解：，
因为，，其中，
所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列，
数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，
①当为偶数时，，
则，
此时，随着的增大而增大，则；
②当为奇数时，，
，
此时，随着的增大而增大，则.
因此，当且，的值在区间内，则，
故集合“阈度”的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”.
考点三：导数在研究函数中的作用
一、单选题
1．（2022·上海金山·统考二模）对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数.下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】按照“等均”函数的定义，对四个函数一一验证，即可判断.
【详解】对于①：因为,所以的定义域为R.对任意的，,满足(1)；
所以存在,使得,满足(2).
所以为“等均”函数.
对于②：因为,所以的定义域为.所以当时，，此时不存在,不满足(1)；
所以不是“等均”函数.
对于③：因为,所以的定义域为.对任意的，,满足(1)；.
若满足,则有
所以.
又因为，所以，
所以，满足且.
所以为“等均”函数.
对于④：因为,所以的定义域为R.对任意的，,满足(1)；.
若满足,则有
设，则，所以在R上单调递减，所以，此时不满足（2）.
所以 不是“等均”函数.
故“等均”函数的个数是2.
故选：B.
2．（2022·上海·统考模拟预测）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【答案】C
【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案.
【详解】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增.
故至少有两个极小值点和一个极大值点.
故选：C.
二、填空题
3．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）函数在定义域上的最小值为_________.
【答案】
【分析】化简得，构造函数，再利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】解：
，
令，则，
令，则，
所以函数在上是增函数，
又，
则当时，，即，当时，，即，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
所以.
故答案为：.
4．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.
【详解】函数的导函数为.
当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意.
当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0.
令，解得：或.
列表：
0
+ 0 - 0 +
单增 极大值 单减 极小值 单增
所以极大值不符合题意.
所以极小值，解得：；
当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0.
.
令，解得：或.
列表：
0
- 0 + 0 -
单减 极小值 单增 极大值 单减
所以极大值不符合题意.
所以极小值，解得：.
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
5．（2022·上海浦东新·统考一模）已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.
【答案】和
【分析】由偶函数的性质求，再由导数与函数的单调性的关系求的严格递减区间.
【详解】因为函数在为偶函数，
所以恒成立，即，
所以，所以，又，故，
所以，其中，
所以，令，或，解得或，所以的严格递减区间为和，
故答案为：和.
6．（2022·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知平面向量，满足，设与的夹角为，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用数量积运算，结合，，由，得到，然后令，得到，解得，利用导数法求解.
【详解】因为平面向量，满足，
所以，
，
因为，
所以，
，
，
设，
则，即，
即，
，即，
又，则，
所以，
解得，
当时，，则y在上递减，
所以，
当时，，
令，得，
当时，，当时，，
又y(1)=-3, ,
所以，
综上：
故的取值范围为，
故答案为：
三、解答题
7．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R.
(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；
(2)当a >0时，求函数g(x)的单调区间；
(3)若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可；
（2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可；
（3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【详解】（1）若是函数的驻点，则，可得，即得．
（2）函数的定义域为，
，
当时，令，可得或，
①当，即时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为．
②当，即时，
令，得或，
令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
③当，即时，令，得或；令，得，
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（3）由，可得，即，其中，
令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得，
当时，，当时，，
∴函数在上严格递增，在上严格递减，
∴函数在端点或处取得最小值．
∵，∴，
∴，∴，
因此，实数的取值范围是
【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论：
（1）存在；
（2）存在.
8．（2022·上海松江·统考一模）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；
(1)求谷底到桥面的距离和桥的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：为多少米时，桥墩和的总造价最低？
【答案】(1)谷底到桥面的距离为160米，桥的长度为120米
(2)当为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【分析】（1）作出辅助线，将代入解析式，求出，从而得到到桥面的距离为米，由，求出，从而求出的长度为120米；
（2）建立平面直角坐标系，表达出，，设桥墩CD与EF的总造价为万元，得到的解析式，求导后得到的单调性及极值，最值情况，求出为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
【详解】（1）设都与垂直，是相应的垂足，
由条件知：当米时，米，即米，
所以到桥面的距离为米，
由，解得：米，
所以米，
所以桥的长度为120米；
（2）以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设，，则，
，
因为，所以，
设，则，
所以，
设桥墩CD与EF的总造价为万元，
则
，
，
令，得，
当时，，当时，，
故在处取得极小值，也是最小值，
所以当为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.
9．（2022·上海·统考模拟预测）某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M、N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM、AN分别交于点D、E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设．
(1)当时，求池内休息区的总面积（Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)：
(2)当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)计算出的长，利用三角形的面积公式可求得池内休息区的总面积；
(2)将用含的代数式表示出来，可得到池内休息区的总面积关于的函数表达式，令，利用导数求出的最大值，并求出对应的值，由此可得到的长.
【详解】（1）因为为直径，所以，在中， 因为，
所以，，
所以池内休息区总面积；
（2）在中，因为，，
所以，，
，由，得，
则池内休息区总面积
，；
设，，
因为，
又，所以，使得，
则当时，在上单调增，
当时，在上单调递减，
即是极大值，也是最大值，所以，此时．
10．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”，
(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；
(2)给定函数，
①若函数是区间上的“保值函数”，求实数的取值范围；
②若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；
(2)①；②
【分析】（1）求解函数的值域，由“保值函数”的定义判断；（2）①由定义域和值域都是，将问题等价于方程有两个不等的实数根，根据判别式大于零计算即可；②将不等式化简为对恒成立，令新函数，，判断函数单调性并求解最值，代入不等式组计算即可.
【详解】（1），时，，
根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数.
（2）①由题意易知单调递增，且定义域和值域都是，得，
因此是方程的两个不等实数根，
等价于方程有两个不等的实数根，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.
②，则不等式对恒成立，
即，所以对恒成立，
令，则，在上单调递增，
令，可知在上单调递减，
，，
，解得
又，所以实数的取值范围为
11．（2021·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）已知常数，，函数，.
（1）当，时，判断函数在区间的单调性；
（2）当时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.
【答案】（1）增函数；（2）.
【分析】（1）求导数，确定导数的正负可得单调性；
（2）问题转化为在上有两个解，再转化为直线与函数图象在上有两个交点，通过研究函数的性质可得．
【详解】（1）由题意，，当时，，
所以在上是增函数；
（2）由对数运算法则得在上有两个解，即，
直线与的图象在上有两个交点．
设，则，，
，，，，所以．
【点睛】易错点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，考查方程根的个数问题，解题方法是把方程的根转化为直线与函数图象交点个数问题，解题关键是注意自变量的取值范围．否则会出错．
12．（2021·上海·统考二模）将关于的函数（）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像记为，并设所对应的函数为.
（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；
（2）设，若函数（）对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）和；（2）.
【分析】（1）易知，结合函数的定义域，通过求导得出函数的单调减区间；
（2）由，知，再根据（1）中结论，求得在，上的最值；根据二次函数的对称轴与单调性，可得在，上的最值，而原问题可转化为函数的值域是函数值域的子区间，然后解不等式，即可．
【详解】（1）由题意知，，定义域为，
，
令，
，且，
函数的单调递减区间为，和，．
（2），，解得，，
由（1）知，在，上单调递减，
，（1），
的对称轴为，且开口向上，
在，上单调递减，
，（1），
对于任意，，总存在，，使得成立，
，且，
即，且，
，
故的取值范围为，．
【点睛】关键点睛：本题主要函数的恒成立与存在性问题，将原问题转化为两个函数的值域之间的包含关系是解题的关键．
考点四：导数的综合应用
一、单选题
1．（2021·上海松江·统考二模）已知函数，若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】去绝对值，可得的分段函数形式，分别讨论，，，结合函数的导数和单调性，以及存在性问题解法，即可得到结论．
【详解】解：函数，
①当，时，，，在递减，不成立，舍去；
②当，时，则，，在递减，不成立，舍去；
③当，时，，当时，，在递减；
当时，，由，可得，
当，即时，，则恒成立，
当，即时，，则在单调递增，在单调递减.
则对于任意，，则满足题意.
存在相异的实数，使得成立，
此时，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的单调性，以及存在性问题解法，注意合理分类讨论及等价转化.
2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先分离转化研究在区间上函数的图象在直线的上方，利用导数研究函数单调性，结合图象确定满足题意的条件，解得结果.
【详解】设，则
当时，，当时，，
所以函数在为增函数，在为减函数，
的解集为等价于的解集为，
即当且仅当在区间上函数的图象在直线的上方，
函数的图象与直线的位置关系如图所示，
由图可知：，
解得：，
故选:D
【点睛】本题考查利用函数图象研究不等式解、利用导数研究函数图象，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．（2020·上海金山·统考二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，画出函数图象的草图，利用数形结合的方法找出当函数的图象与直线有3个交点时m的取值范围，即可得解.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，
，，
的对称轴为且周期为4，
又时，，可作出函数图象的草图，如下：
若函数有3个零点，则方程有3个实根，
函数的图象与直线有3个交点，
当时，，解得，即当直线与的图象相切时切点为，此时，
由图象的对称性可知当时，函数的图象与直线有3个交点，
再由周期性可知，当时，函数函数的图象与直线有3个交点.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数奇偶性、周期性与对称性的综合应用，考查了函数零点与方程根的关系，体现了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.
二、填空题
4．（2022·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.
【答案】200
【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意可知，设利润为，则，而，当时，，时，，即在单调递增，单调递减，所以时，利润最大.
故答案为：
5．（2021·上海长宁·统考二模）定义域为的奇函数在上单调递减．设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】证明函数为偶函数，再利用偶函数的性质，将问题转化为在上恒成立；
【详解】解：由题意得，
所以，即为偶函数，
因为奇函数在上单调递减且，
根据奇函数对称性可知，恒成立，
当时，
故在上单调递增，
根据偶函数对称性可知，在上单调递减，
因为对于任意，都有，
所以在上恒成立，
所以
所以在上恒成立，
所以．
故答案为：．
6．（2020·上海黄浦·统考二模）已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意即函数有3个不等实数根，然后当时，可得有一个实数根，所以当时，有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，研究函数的单调区间，即可得出答案.
【详解】存在不相等的实数，，，使得
即函数有3个不等实数根.
当时，即，即.
所以当时，有两个不等的实数根.
即在上有两个不等的实数根.
设函数，则.
令，得，，得
所以在上单调递增，在上单调递减，当时，.
又,的大致图象如下:
有两个不等的实数根,则
故的取值范围是是.
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的范围，属于中档题.
三、解答题
7．（2022·上海普陀·统考一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)函数在区间上具有性质；
(2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
(3)的最大值为.
【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可；
（2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围；
（3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值.
【详解】（1）令，，
则，，
，，
当时，恒成立，
∴函数在区间上具有性质；
（2）∵，
∴，
∵在处取得极值，且为奇函数，
∴在处也取得极值，
∴，解得，
∴， ，
当时，令，解得；令，解得；
故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值，
∴，
当时，恒成立，
∴存在实数，使在区间上恒成立，
∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是；
（3）∵，
∴，
令，
则，
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
又∵，，
∴存在，使，
∴当时，，，在区间上单调递减，
当时，，，在区间上单调递增，
∴当时，的最小值为，
由，有，
∴，
∵，∴，
又∵恒成立，
∴，
∵且，
∴的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.
8．（2020·上海浦东新·统考二模）疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．
（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；
（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．
【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）
【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；
（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.
【详解】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .
（2）由条件①可知，在上单调递增，
所以当时，满足条件；
当时，由可得
当时，单调递增，
，解得，
所以
由条件②可知，，即不等式在上恒成立，
等价于
当时，取最小值
综上，参数的取值范围是．
【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.
9．（2020·上海闵行·统考二模）如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．
（1）求函数的解析式;
（2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义．
【答案】（1）当，；当，；（2），见解析
【分析】（1）由题意，设f（x）＝，由f（50）＝2000，求得k1与k2的值，则函数解析式可求；
（2）求出g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，然后分段写出H（x），求导后再对n分类求解H（x）的最小值，并解释其实际意义.
【详解】解：（1）由题意，设f（x）＝，
由f（50）＝2000，求得k1＝k2＝100000.
∴f（x）＝；
（2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，
若0＜x≤50，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝，
H′（x）＝，由H′（x）＝0，得x＝100，
若n∈N*且n≤20，则H（x）在（0，50]上单调递减，H（x）min＝H（50）＝2000+150n；
若n∈N*且n＞20，则H（x）在（0，100）上单调递减，在（100，50）单调递增，
∴；
若50＜x＜100，则H（x）＝f（x）+ng（x）＝，
H′（x）＝＞0，H（x）在（50，100）上单调递增，
若n∈N*且n≤20，则H（x）＞2000+150n；
若n∈N*且n＞20，则H（x）＞50n+.
综上，若n∈N*且n≤20，则H（x）min＝2000+150n；
若n∈N*且n＞20，则.
实际意义：当储备仓库使用年数不超过20年时，仓库建在C处，花费在建造仓库和两地物资运输总费用取最小值2000+150n；
当储备仓库使用年数超过20年时，仓库建在A、C之间且与A相距处，花费在建造仓库和两地物资运输总费用取最小值.
【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题.
【真题训练】
一．填空题（共1小题）
1．（2022 上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　2　．
【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图像，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，
∴f（x）是周期为4的周期函数，图像如图：
将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，
则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
∴（xn+1﹣xn）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二．解答题（共2小题）
2．（2022 上海）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
【分析】（1）写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和a的值．
（2）不等式化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x，写出等价不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x），
将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像，
由函数图像经过点（3，0）和（5，0），
所以，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x，
等价于，
解得，
当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，
a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
3．（2023 上海）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y＝g（x）在x处取得的最小值记为（x）．
（1）若a＝2，g（x）＝x，试判断函数y＝g（x）是否为函数y＝f（x）的“控制函数”，并说明理由；
（2）若a＝0，曲线y＝f（x）在x＝处的切线为直线y＝h（x），证明：函数y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数”，并求（）的值；
（3）若曲线y＝f（x）在x＝x0，x0∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，证明：当且仅当c＝x0或c＝1时，（c）＝f（c）．
【分析】（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当x∈[0，1]时，易知h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即h（x）单调减，求得最值即可判断；
（2）根据题意得到f（x）≤h（x），即y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数“，代入即可求解；
（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），求导整理得到函数t（x）必是函数y＝f（x）的“控制函数“，又此时“控制函数“g（x）必与y＝f（x）相切于x点，t（x）与y＝f（x）在处相切，且过点（1，0），在之间的点不可能使得y＝f（x）在切线下方，所以或c＝1，即可得证．
【解答】解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2，
h′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），当x∈[0，1]时，易知h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即h（x）单调减，
∴h（x）max＝h（0）＝0，即f（x）﹣g（x）≤0 f（x）≤g（x），
∴g（x）是f（x）的“控制函数“；
（2），
∴，
∴f（x）≤h（x），即y＝h（x）为函数y＝f（x）的“控制函数“，
又，且，∴；
证明：（3）f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）＝3ax2﹣2（a+1）x+1，
y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线为t（x），
t（x）＝f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），t（x0）＝f（x0），t（1）＝0 f（1）＝0，
，
，
，
，
恒成立，
函数t（x）必是函数y＝f（x）的“控制函数“，
是函数y＝f（x）的“控制函数“，
此时“控制函数“g（x）必与y＝f（x）相切于x点，t（x）与y＝f（x）在处相切，且过点（1，0），
在之间的点不可能使得y＝f（x）在切线下方，所以或c＝1，
所以曲线y＝f（x）在x＝x0（x0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c∈[x0，1]，
当且仅当c＝x0或c＝1时，．
【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题．

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