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北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学 线段的垂直平分线 期中复习
一、单选题
1．（2022八下·抚州期末）如图，已知AB＝AC＝7，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BCD的周长是（　　）
A．12 B．14 C．15 D．17
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
又∵AB＝AC＝7，BC＝5
∴△BDC的周长=DB+DC+BC
=DA+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
=7+5
=12．
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DB，再利用三角形的周长公式和等量代换求出答案即可。
2．（2022八下·辽阳期末）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为8，则的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为8，
，
的周长，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的周长公式和等量代换可得答案。
3．（2022八下·文山期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（　　）
A． B．4 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=10，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，
∴CE=AE=5，
故答案为：D．
【分析】先求出AE=BE=10，再求出∠BAE=∠B=30°，最后计算求解即可。
4．（2022八下·定远期末）如图，在长方形ABCD中，，，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
∴DM=AD-AM=AD-CM=8-CM，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，
（8-CM）2+42=CM2，
解得：CM=5，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AM=CM，再利用勾股定理计算求解即可。
5．（2022八下·封开期末）如图，在中，，，分别以顶点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点、，作直线交边于点．若，，则的长是（　　）
A．10 B．8 C．12 D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD=5，CD=3，
∴AC=，
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB=5，
∴BC=CD+DB=3+5=8，
∴AB=．
故答案为：D．
【分析】先求出AC和BC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
6．（2022八下·浑南期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）
A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对每个选项一一判断即可。
7．（2022八下·自贡期末）如图，在△中，，斜边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接；则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴由勾股定理得AB＝，
设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，AD＝BD＝AB＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，
∵BE2＝BC2+CE2，
∴（3+x）2＝42+x2，
解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE＝．
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，先根据勾股勾股定理求得AB长，在Rt△BCE中，设CE=x，根据勾股定理建立方程求解，则可求出BE长，然后在Rt△BDE中，根据勾股定理得到DE的长，即可解答.
8．（2022八下·长安期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故答案为：C．
【分析】由AD+CD=BC且点D在BC边上，可知就是要使AD=BD，因此只需作出线段AB的垂直平分线，观察各选项中的作图，可得答案.
9．（2022八下·洋县期末）如图，在四边形中，与交于，，，下列结论不一定成立的是（　　）
A．平分 B．垂直平分
C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD，故A不符合题意，
∴AE⊥BD，BE=DE，
∴AC垂直平分BD，故B不符合题意；
∴∠BEC=∠DEC=90°，
∵CB=CD，CE=CE，
∴Rt△BEC≌Rt△DEC，故C不符合题意；
无法证出AB=BD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的性质得出AE⊥BD，BE=DE，再证出Rt△BEC≌Rt△DEC，即可得出ABC不符合题意，D符合题意.
10．（2022八下·南山期末）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据所给的步骤，结合图形，对每个选项一一判断即可。
二、填空题
11．（2023八下·西安月考）如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，.若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为　 　.
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E，
∴BC=2BE=10，BD=CD，
∵ △ABC的周长为30 ，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=20.
故答案为：20.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=2BE=10，BD=CD，由△ABC的周长为30 ，得AB+AC=20，然后把△ABD的周长转化为AB+AC，即可求出答案.
12．（2022八下·紫金期末）在ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则＝　 　．
【答案】60°或60度
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠AED=∠BED=90°-40°=50°，
∴∠BEC=180°-2×50°=80°，
∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC=80°，
故答案为：60°．
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠BEC=180°-2×50°=80°，再结合BE=BC，可得∠C=∠BEC=80°，最后求出即可。
13．（2022八下·滕州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知，则∠A＝　 　．
【答案】36°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠CBD=∠ABD，∠ABC=3∠CBD，
∴∠A=2∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
即2∠DBC+2∠DBC+∠DBC=90°，
解得，∠DBC=l8°，
∴∠A=36°，
故答案为：36°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得∠DAB=∠DBA，再根据，∠ABC=3∠CBD，可得∠A=2∠CBD，再利用三角的内角和可得∠A+∠ABC=90°，最后求出∠A的度数即可。
14．（2022八下·景谷期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再利用线段的和差可得。
15．（2022八下·甘孜期末）如图， 在 中， 边的垂直平分线分别交于点， 边的垂直平 分线分别交于点， 若， 则的周长为　 　
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线分别交于点，
，
的垂直平分线分别交于点，
，
的周长为，
故答案为：10.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=GC，则△AEG的周长可转化为BC，据此解答.
三、解答题
16．（2022八下·江城期末）如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
【答案】证明：连接CE，如图所示．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴，
∵中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
又∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质先求出 ， 再利用勾股定理计算求解即可。
17．（2022八下·兰州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【答案】证明：∵EG垂直平分BC，
∴BE=DE，
∴∠BEG=∠DEG，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，
∴∠EAF=∠AFE，
∴AE=EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得BE=DE，根据等腰三角形的性质可得∠BEG=∠DEG，易得EG∥AC，根据平行线的性质可得∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，则AE=EF，据此证明.
18．（2022八下·青羊月考）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点.求证：垂直平分.
【答案】证明∵平分，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴点D、点在的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°，则∠DEF=∠DFE，根据角的和差关系可得∠AEF=∠AFE，推出AE=AF，则点D、A在EF的垂直平分线上，据此证明.
四、综合题
19．（2022八下·枣庄期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
（1）若的周长为18cm，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AM=CM，BN=CN，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案；
（2）先求出∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，再结合∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，可得∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°。
20．（2022八下·高州期末）已知：如图，中， ， 且于交的延长线于.
（1）求证：
（2）如果连接，请写出与的关系并证明
【答案】（1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB；
（2）解：AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE=CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA=∠CBA=90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，CE=CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先证明AC是∠EAB的角平分线，再结合CE⊥AE，CB⊥AB，利用角平分线的性质可得CE=CB；
（2）先利用“HL”证明Rt△CEA≌Rt△CBA，可得AE=AB，CE=CB，证出点A、点C在线段BE的垂直平分线上，即可得到AC垂直平分BE。
21．（2022八下·新民期末）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E．
（1）求证：；
（2）若，，则　 　．
【答案】（1）证明：连接，，
垂直平分，，平分，，，，，在和中，，≌，；
（2）1cm
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（2）∵DE=DF，CD=CD，∠DEC=∠DFC=90°，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE=CF，设，则，，，，，．故答案为：．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，再求出，最后求解即可。
22．（2022八下·郑州期中）如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，连接 EF 交 AD于G.
（1）求证：AE＝AF.
（2）试判断 AD 与 EF 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴AF=AE
（2）解：AD垂直平分EF；
理由如下：
∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，得出DE=DF，利用HL证得Rt△ADF≌Rt△ADE，即可得出AF=AE；
（2）根据线段垂直平分线的判定，即可得出AD垂直平分EF.
23．（2022八下·漳浦期中）如图，中，.
（1）作BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E
（2）连接BE，若，求的度数.
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：如图：
垂直平分BC
又
故答案为：
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作已知线段垂直平分线步骤，即分别以C、B为圆心，大于BC一半长为半径，画圆弧在BC线段两侧各交一点，连接两点并延长交BC于点D，交AC于点E，即可画出线段BC的线段垂直平分线；
（2）由垂直平分线性质可得BE=CE，即而得∠C=∠CBE，由三角形外角性质得到∠AEB=2∠C，再由BA=BE，得∠A=
∠AEB=∠C，则∠ABC=2∠C，进而结合三角形内角和定理，即可求得∠C的度数.
1 / 1北师大版2022-2023学年度第二学期八年级数学 线段的垂直平分线 期中复习
一、单选题
1．（2022八下·抚州期末）如图，已知AB＝AC＝7，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BCD的周长是（　　）
A．12 B．14 C．15 D．17
2．（2022八下·辽阳期末）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为8，则的周长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2022八下·文山期末）如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，ED垂直平分AB，若BE＝10，则CE的长为（　　）
A． B．4 C．6 D．5
4．（2022八下·定远期末）如图，在长方形ABCD中，，，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（　　）
A． B． C． D．5
5．（2022八下·封开期末）如图，在中，，，分别以顶点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点、，作直线交边于点．若，，则的长是（　　）
A．10 B．8 C．12 D．
6．（2022八下·浑南期末）如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）
A．的三条中线的交点处
B．三边的垂直平分线的交点处
C．三条角平分线的交点处
D．三条高所在直线的交点处
7．（2022八下·自贡期末）如图，在△中，，斜边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接；则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022八下·长安期末）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022八下·洋县期末）如图，在四边形中，与交于，，，下列结论不一定成立的是（　　）
A．平分 B．垂直平分
C． D．
10．（2022八下·南山期末）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是（　　）
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD
C．S△ABC=BC AH D．AB=AD
二、填空题
11．（2023八下·西安月考）如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，.若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为　 　.
12．（2022八下·紫金期末）在ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则＝　 　．
13．（2022八下·滕州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知，则∠A＝　 　．
14．（2022八下·景谷期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为　 　．
15．（2022八下·甘孜期末）如图， 在 中， 边的垂直平分线分别交于点， 边的垂直平 分线分别交于点， 若， 则的周长为　 　
三、解答题
16．（2022八下·江城期末）如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
17．（2022八下·兰州期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
18．（2022八下·青羊月考）如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点.求证：垂直平分.
四、综合题
19．（2022八下·枣庄期末）如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
（1）若的周长为18cm，求的长；
（2）若，求的度数．
20．（2022八下·高州期末）已知：如图，中， ， 且于交的延长线于.
（1）求证：
（2）如果连接，请写出与的关系并证明
21．（2022八下·新民期末）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E．
（1）求证：；
（2）若，，则　 　．
22．（2022八下·郑州期中）如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，连接 EF 交 AD于G.
（1）求证：AE＝AF.
（2）试判断 AD 与 EF 的位置关系，并说明理由.
23．（2022八下·漳浦期中）如图，中，.
（1）作BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E
（2）连接BE，若，求的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
又∵AB＝AC＝7，BC＝5
∴△BDC的周长=DB+DC+BC
=DA+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
=7+5
=12．
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DB，再利用三角形的周长公式和等量代换求出答案即可。
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为8，
，
的周长，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的周长公式和等量代换可得答案。
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°，
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE=10，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=60°-30°=30°，
∴CE=AE=5，
故答案为：D．
【分析】先求出AE=BE=10，再求出∠BAE=∠B=30°，最后计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
∴DM=AD-AM=AD-CM=8-CM，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，
（8-CM）2+42=CM2，
解得：CM=5，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AM=CM，再利用勾股定理计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD=5，CD=3，
∴AC=，
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB=5，
∴BC=CD+DB=3+5=8，
∴AB=．
故答案为：D．
【分析】先求出AC和BC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线的性质对每个选项一一判断即可。
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴由勾股定理得AB＝，
设CE＝x，
∵DE是线段AB的垂直平分线且AC＝3，
∴BE＝AE＝AC+CE＝3+x，AD＝BD＝AB＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，
∵BE2＝BC2+CE2，
∴（3+x）2＝42+x2，
解得：x＝，
∴BE＝3+＝，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE＝．
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，先根据勾股勾股定理求得AB长，在Rt△BCE中，设CE=x，根据勾股定理建立方程求解，则可求出BE长，然后在Rt△BDE中，根据勾股定理得到DE的长，即可解答.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故答案为：C．
【分析】由AD+CD=BC且点D在BC边上，可知就是要使AD=BD，因此只需作出线段AB的垂直平分线，观察各选项中的作图，可得答案.
9．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD，故A不符合题意，
∴AE⊥BD，BE=DE，
∴AC垂直平分BD，故B不符合题意；
∴∠BEC=∠DEC=90°，
∵CB=CD，CE=CE，
∴Rt△BEC≌Rt△DEC，故C不符合题意；
无法证出AB=BD，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先证出△ABC≌△ADC，得出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的性质得出AE⊥BD，BE=DE，再证出Rt△BEC≌Rt△DEC，即可得出ABC不符合题意，D符合题意.
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：A．如图连接CD、BD，
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B不符合题意；
C．应该是S△ABC= BC AH，故C不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据所给的步骤，结合图形，对每个选项一一判断即可。
11．【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E，
∴BC=2BE=10，BD=CD，
∵ △ABC的周长为30 ，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=20.
故答案为：20.
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=2BE=10，BD=CD，由△ABC的周长为30 ，得AB+AC=20，然后把△ABD的周长转化为AB+AC，即可求出答案.
12．【答案】60°或60度
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠AED=∠BED=90°-40°=50°，
∴∠BEC=180°-2×50°=80°，
∵AE=BC，
∴BE=BC，
∴∠C=∠BEC=80°，
故答案为：60°．
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠BEC=180°-2×50°=80°，再结合BE=BC，可得∠C=∠BEC=80°，最后求出即可。
13．【答案】36°
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠CBD=∠ABD，∠ABC=3∠CBD，
∴∠A=2∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
即2∠DBC+2∠DBC+∠DBC=90°，
解得，∠DBC=l8°，
∴∠A=36°，
故答案为：36°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得∠DAB=∠DBA，再根据，∠ABC=3∠CBD，可得∠A=2∠CBD，再利用三角的内角和可得∠A+∠ABC=90°，最后求出∠A的度数即可。
14．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再利用线段的和差可得。
15．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的垂直平分线分别交于点，
，
的垂直平分线分别交于点，
，
的周长为，
故答案为：10.
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，AG=GC，则△AEG的周长可转化为BC，据此解答.
16．【答案】证明：连接CE，如图所示．
∵DE是BC的垂直平分线，
∴，
∵中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
又∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质先求出 ， 再利用勾股定理计算求解即可。
17．【答案】证明：∵EG垂直平分BC，
∴BE=DE，
∴∠BEG=∠DEG，
∵∠ACB=90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，
∴∠EAF=∠AFE，
∴AE=EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得BE=DE，根据等腰三角形的性质可得∠BEG=∠DEG，易得EG∥AC，根据平行线的性质可得∠BEG=∠BAC，∠DEG=∠AFE，则AE=EF，据此证明.
18．【答案】证明∵平分，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴点D、点在的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°，则∠DEF=∠DFE，根据角的和差关系可得∠AEF=∠AFE，推出AE=AF，则点D、A在EF的垂直平分线上，据此证明.
19．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为18cm，
∴AB=18cm；
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AM=CM，BN=CN，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案；
（2）先求出∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，再结合∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，可得∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°。
20．【答案】（1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB；
（2）解：AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE=CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA=∠CBA=90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，CE=CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）先证明AC是∠EAB的角平分线，再结合CE⊥AE，CB⊥AB，利用角平分线的性质可得CE=CB；
（2）先利用“HL”证明Rt△CEA≌Rt△CBA，可得AE=AB，CE=CB，证出点A、点C在线段BE的垂直平分线上，即可得到AC垂直平分BE。
21．【答案】（1）证明：连接，，
垂直平分，，平分，，，，，在和中，，≌，；
（2）1cm
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：（2）∵DE=DF，CD=CD，∠DEC=∠DFC=90°，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE=CF，设，则，，，，，．故答案为：．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，再求出，最后求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE，
∴AF=AE
（2）解：AD垂直平分EF；
理由如下：
∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，得出DE=DF，利用HL证得Rt△ADF≌Rt△ADE，即可得出AF=AE；
（2）根据线段垂直平分线的判定，即可得出AD垂直平分EF.
23．【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：如图：
垂直平分BC
又
故答案为：
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作已知线段垂直平分线步骤，即分别以C、B为圆心，大于BC一半长为半径，画圆弧在BC线段两侧各交一点，连接两点并延长交BC于点D，交AC于点E，即可画出线段BC的线段垂直平分线；
（2）由垂直平分线性质可得BE=CE，即而得∠C=∠CBE，由三角形外角性质得到∠AEB=2∠C，再由BA=BE，得∠A=
∠AEB=∠C，则∠ABC=2∠C，进而结合三角形内角和定理，即可求得∠C的度数.
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