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外接球
类型总览：
类型一、线垂直于面
长方体外接球半径
形态1：线垂直于直角三角形（可以补为长方体）
图1 图2 图3
图1：线垂直于直角顶点（墙角模型）
图2：线垂直于斜边顶点
图3：三个面为直角三角形（）
（2020连云港市期中卷）四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，，则球的体积是 ；
设、分别是、中点，则平面被球所截得的截面面积为 .
答案：
2.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
答案：解：（1），，，，选C；
3.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是 .
答案：
答案：三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则
，，，，，，，
若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
答案：
5.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（ ）
A. B. C. D.
解：【A】，
形态2：线垂直于一般三角形
对比形态1，当点在所在圆上运动时，外接球不变
在中，，
其中，分别为外接球半径和底面外接圆半径，一般可以通过底面三角形正弦定理求得。
1.已知三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的体积为　　
A． B． C． D．
【考点】：球的体积和表面积
【分析】直接利用三棱锥的性质和球的体积公式求出结果．
【解答】解：如图所示：
三棱锥 中，平面，且，，，
则：为直角三角形．
所以：．
所以：．
故选：．
2.已知直三棱柱中，，，侧棱，则该三棱柱外接球的体积为 ．
3.在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为
（ D ）
4.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为
解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，
底面积为，，，，
，球的体积为
5.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
解：，，，，
6（德州一模7）．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，可得，
所以可得，所以三角形的外接圆的圆心为的最中点，所以外接圆的半径
因为平面，所以三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，设为，设球的半径为，
则，
所以外接球的体积为，
故选：．
7.（线垂直于面）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 。
解析：，，，，
，
8.（线垂直于一般三角形）三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于 .
解析：，，，，外接球体积
9.（线垂直于面）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）A
A． B． C． D．
解：，，
10（新高考模拟十二6）如图，棱长为2的正方体中，点、分别为、的中点，则三棱锥的外接球体积为　　
A． B． C． D．
【考点】：球的体积和表面积
【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．
【解答】解：在正方体中，连接，，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，在中，取中点，连接，则为边的垂直平分线，
所以的外心在上，
设为点，同理可得△的外心，
连接，则三棱柱外接球的球心为的中点
设为点，由图可得，，又，，
如右图所示：
，
可得，
所以，
解得，
所以．
故选：．
类型二：面垂直于面
借助形态2，先解决底面，所有三角形转化为，同法，侧面全转化为，将面面垂直问题转化为墙角问题，三个边长分别为底面外接圆半径和侧面外接圆半径，公共边
特殊情况：面垂直于底面直角三角形的斜边，球心在侧面重心
1.（面垂直于直角三角形）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
解：（1），，，选C
2.（面垂直于面）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 。
解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，，
；法二：，，，，
3.（面垂直于直角面）三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为 .
解析：的外接圆是大圆，，，
4.（面垂直于直角三角形）三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .
解析：，，，
，
5.（新高考模拟五6）已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【考点】：球的体积和表面积；：球内接多面体
【分析】首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．
【解答】解：如图所示：
三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，
则：，
设外接球的半径为，
则：在中，利用勾股定理：，
解得：
所以：．
故选：．
6.（面垂直于直角三角形）三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .
解：是公共的斜边，的中点是球心，球半径为
吕叔湘中学（面垂直于面）
7．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，
平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________．
8.（面垂直于面）三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
解析：，，，
，；
法二：，，，
，
9.新高考模拟卷（二）7已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
徐州市（面垂直于面）
10．在平面四边形ABCD中，AB＝CD＝1，BC＝，AD＝2，∠ABC＝90°，将△ABC沿 AC折成三棱锥，当三棱锥B—ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．
（面垂直于面）11．三棱台中，，，侧面底面，为的中点，线段的长为　2　；该三棱台的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　．
【解答】解：三棱台中，，，
如图所示：
延长，，交于点，
根据平行线等分线段定理得：．
解得，
所以△为等边三角形．
侧面底面，
所以，
由于，
则△为直角三角形．
同理为直角三角形．
由于为的中点，线段．
由于为直角三角形，且侧面底面，
所以该棱台的外接球的球心在侧面中的垂直平分线上，
所以设球心为，且到 的距离，设球的半径为，
平行线和的距离为，
则：，，解得，
故．
即球心为的中点，
所以．
故答案为：2；
类型三：对棱相等模型
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出，
1.在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 。
解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，
，，，
，，
2.如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .
解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，，
【55；对称几何体；放到长方体中】
3.正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为
解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，
，，
类型四：作面面垂直或者线面垂直找出球心（轴截面）
1.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，
2.（轴截面）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A．　 B.　 C. 4　 D.
解：选D，圆锥在以的圆上，
轴截面
3.（淄博三月模拟8）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　
A． B． C． D．
【考点】：球的体积和表面积
【分析】由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球的体积．
【解答】解：如图，
由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接 并延长，交于，
则，又，，可得平面，则，
，分别是，的中点，，
又，即，，得平面，
正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为．
半径为，则球的体积为．
故选：．
4．（轴截面）已知四棱台中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为　　．
【解答】解：根据题意，设该四棱台为，取正棱台的上下底面的中心、，
即上下底面外接圆的圆心也为、，
则，，
过点作，且交于点，
则有，
若球心在线段上，则有，此方程无解；
若球心在线段上，则有，解得．
该四棱台的外接球的表面积为．
故答案为：．
5．（轴截面）已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为，则正四棱台外接球的半径为　　．
【解答】解：根据题意，设该四棱台为，取正棱台的上下底面的中心、，
即上下底面外接圆的圆心也为、，
则，同理，
过点作，且交于点，
则有，
球心在线段上，则有，
解可得：；
故答案为：
6．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为　　平方分米．
【解答】解：设该方斗的高为，
由于一个方斗的容积为28升，上底边长为4分米，下底边长为2分米，
如图所示：
所以，解得．
设方斗的外接球的半径为，球心到边长为4的下底面的距离为，到边长为2的上底面的距离为，
所以，
解得，
所以球的半径为．
所以．
故答案为：．
7．（轴截面）已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为　　．
【解答】解：如图，
设下底面中心为，上底面中心为，连接，则球心在上，
连接，，则，
由已知求得，．
，解得．
．
则球的表面积为．
故答案为：．
（正椎体轴截面）8．如图所示，正三棱锥中，，，分别是棱，，上的点，且，平面底面，且三棱台与三棱锥的所有棱长之和相等，则三棱锥的外接球的表面积为　　．
【解答】解：根据题意，三棱锥是棱长为的正四面体，
设正四面体的外接球球心为，半径为，
且的延长线与底面交于点，
则为正四面体的高，底面，
且，，是正四面体内切球的半径，如图所示：
设正四面体的底面面积为．
将球心与四面体的4个顶点连接，
得到4个全等的小正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面，
每个小正三棱锥的体积为；
而正四面体体积为，
所以；
即，
化简得，
因为棱长为，所以，
所以，
所以，
所以正四面体外接球的表面积为
．
故答案为：．外接球
类型总览：
类型一、线垂直于面
长方体外接球半径
形态1：线垂直于直角三角形（可以补为长方体）
图1 图2 图3
图1：线垂直于直角顶点（墙角模型）
图2：线垂直于斜边顶点
图3：三个面为直角三角形（）
1.（2020连云港市期中卷）四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，，则球的体积是 ；
设、分别是、中点，则平面被球所截得的截面面积为 .
2.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是 .
若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
5.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（ ）
A. B. C. D.
形态2：线垂直于一般三角形
图1 图2 图3
图1：线面垂直；
图2：线垂直于一般三角形；
图3：线垂直于底面外接圆
在中，，
其中，分别为外接球半径和底面外接圆半径，一般可以通过底面三角形正弦定理求得。
1.（山东新高考模拟）已知三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的体积为　　
A． B． C． D．
2.（2020泰州市期中卷）已知直三棱柱中，，，侧棱，则该三棱柱外接球的体积为 ．
3.在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为( )
4.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .
5.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 .
6（德州一模）．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的体积为　　
A． B． C． D．
7.在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 .
8.三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于 .
9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
10.（山东新高考模拟卷）如图，棱长为2的正方体中，点、分别为、的中点，则三棱锥的外接球体积为　　
A． B． C． D．
类型二：面垂直于面
借助形态2，先解决底面，所有三角形转化为，同法，侧面全转化为，将面面垂直问题转化为墙角问题，三个边长分别为底面外接圆半径和侧面外接圆半径，公共边
特殊情况：面垂直于底面直角三角形的斜边，球心在侧面重心
1.在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2.已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 .
3.三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为 .
4.三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .
5.（山东新高考模拟卷）已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
6.三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .
7.（2020吕叔湘中学期中卷）三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________．
8.三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
9.已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
10．（2020徐州市期中卷）在平面四边形ABCD中，AB＝CD＝1，BC＝，AD＝2，∠ABC＝90°，将△ABC沿 AC折成三棱锥，当三棱锥B—ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．
11.三棱台中，，，侧面底面，为的中点，线段的长为　 　；该三棱台的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　．
类型三：对棱相等模型
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出，
在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 .
如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .
3.正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为 .
类型四：作面面垂直或者线面垂直找出球心（轴截面）
1.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
2.在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A．　 B.　 C. 4　 D.
3.（淄博三月模拟8）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为　　
A． B． C． D．
4.已知四棱台中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为　　．
已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，侧棱长为，则正四棱台外接球的半径为　 　．
6.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为　　平方分米．
7.已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为　 　．
8.如图所示，正三棱锥中，，，分别是棱，，上的点，且，平面底面，且三棱台与三棱锥的所有棱长之和相等，则三棱锥的外接球的表面积为　 　．

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